Wektory losowe
Krótkie praktyczne przypomnienie pojęć z rachunku prawdopodobieństwa
Ω – przestrzeń zdarzeń elementarnych
F – σ-ciało zdarzeń (ustalona rodzina podzbiorów zbioru Ω będąca σ-ciałem)
B(Rn) – σ-ciało borelowskich podzbiorów Rn – wszystkie podzbiory Rn, jakie jesteśmy w stanie
„wyprodukować” z kostek; wszystkie „sensowne” podzbiory Rn, jakie jesteśmy sobie w stanie wyobrazić
Definicja 1 Wektorem losowym o wartościach w Rn nazywamy mierzalną funkcję X : Ω → Rn (mierzalną tzn. taką, że dla każdego B ∈ B(Rn) mamy X−1[B] = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ B} ∈ F ).
Równoważnie można powiedzieć, że wektorem losowym o wartościach w Rn nazywamy funkcję X : Ω → Rn postaci X = (X1, X2, . . . , Xn), gdzie X1, X2, . . . , Xn: Ω → R są zmiennymi loso- wymi.
W ścisłym ujęciu próba czyli skończony ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie jest wektorem losowym.
Definicja 2 Dystrybuantą wektora losowego X nazywamy funkcję FX: Rn → [0, 1] zadaną wzorem: FX(x) = FX(x1, x2, . . . , xn) = P (X1 ≤ x1, X2 ≤ x2, . . . , Xn ≤ xn).
Twierdzenie 1 (Własności dystrybuanty wektora losowego) Jeśli funkcja FX: Rn → [0, 1]
jest dystrybuantą pewnego wektora losowego X, to
FX jest funkcją niemalejącą po każdej współrzędnej,
FX jest funkcją prawostronnie ciągłą po każdej współrzędnej,
∀ i ∈ {1, 2, . . . , n} lim
xi→−∞F (x) = 0,
lim
x1→∞ lim
x2→∞. . . lim
xn→∞F (x) = 1.
Definicja 3 Jeśli dla danego wektora losowego X istnieje funkcja fX: Rn → [0, ∞) taka że
∀B ∈ B(Rn) P (X ∈ B) = Z
B
fX(x)dx, to funkcję fX nazywamy gęstością wektora losowego X.
Fakt 1 (Własności gęstości wektora losowego) Jeśli wektor losowy X ma gęstość fX, to wówczas
∀ i ∈ {1, 2, . . . , n} lim
xi→−∞fX(x) = lim
xi→∞fX(x) = 0,
RRnfX(x)dx = 1,
dla dowolnego x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn zachodzi
FX(x) = Z x1
−∞
Z x2
−∞
. . . Z xn
−∞
fX(u1, u2, . . . , un) dun . . . du2 du1.
Twierdzenie 2 Jeśli pochodna mieszana po wszystkich współrzędnych dystrybuanty FX istnieje w całym zbiorze Rn lub też wszędzie poza borelowskim zbiorem N ⊆ Rn o tej własności, że R
Rn1N(x)dx = 0 (gdzie 1N(x) = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ N ) iR
Rn\N
∂n
∂x1∂x2...∂xn FX(x)dx = 1, to wektor losowy X posiada gęstość i dla x ∈ Rn\N możemy przyjąć, że fX(x) = ∂x ∂n
1∂x2...∂xn FX(x).
Na zbiorze N gęstość fX możemy określić dowolnie.
Każdy wektor losowy ma dystrybuantę, ale nie każdy ma gęstość!
Definicja 4 Będziemy mówili, że wektor losowy X jest ciągły, jeśli ma gęstość.
Definicja 5 Będziemy mówili, że wektor losowy X jest dyskretny, jeśli istnieje co najwyżej przeliczalny zbiór SX⊆ Rn taki że P
x∈SXP (X = x) = 1.
Rozkład dyskretnego wektora losowego można w sposób kompletny opisać przez tzw. funkcję prawdopodobieństwa: pX(x) : SX → [0, 1], pX(x) = P (X = x). Widzimy, że P
x∈SXpX(x) = 1.
Definicja 6 Jeśli X = (X1, X2, . . . , Xn), to rozkłady zmiennych losowych X1, X2, . . . , Xn bę- dziemy nazywali (jednowymiarowymi) rozkładami brzegowymi wektora losowego X. W szcze- gólności ich dystrybuanty będziemy nazywali (jednowymiarowymi) dystrybuantami brzego- wymi wektora losowego X, natomiast jeśli te zmienne losowe są ciągłe, to ich gęstości będziemy nazywali (jednowymiarowymi) gęstościami brzegowymi wektora losowego X.
Zamiast oznaczać dystrybuanty brzegowe jako FX1, FX2, . . . , FXn, o ile nie będzie to prowadzić do nieporozumień, będziemy je oznaczać jako F1, F2, . . . , Fn. Podobnie gęstości brzegowe będziemy oznaczać jako f1, f2, . . . , fn w miejsce fX1, fX2, . . . , fXn.
Jeśli będziemy mieli do czynienia z dwuwymiarowym wektorem losowym X = (X, Y ), to wówczas jego dystrybuanty brzegowe oznaczymy: FX i FY a gęstości brzegowe (o ile istnieją): fX i fY. Twierdzenie 3 Zachodzi następująca zależność:
∀ t ∈ R Fi(t) = lim
x1→∞. . . lim
xi−1→∞ lim
xi+1→∞. . . lim
xn→∞FX(x1, . . . , xi−1, t, xi+1, . . . , xn).
Ponadto jeśli wektor losowy X jest ciągły, to dla każdego t ∈ R (ewentualnie dla każdego t ∈ R \ N , gdzie N ⊆ R jest zbiorem borelowskim o tej własności, że że R
R1N(x)dx = 0) zachodzi:
fi(t) = Z ∞
−∞
. . . Z ∞
−∞
Z ∞
−∞
. . . Z ∞
−∞
fX(x1, . . . , xi−1, t, xi+1, . . . , xn) dx1. . . dxi−1dxi+1. . . dxn. W analogiczny sposób do gęstości brzegowych można rozważać brzegowe funkcje prawdopodo- bieństwa w wypadku dyskretnych wektorów losowych.
Definicja 7 Mówimy, że zmienne losowe tworzące wektor losowy X są niezależne, jeśli
∀ x ∈ Rn FX(x) = F1(x1) · F2(x2) · · · Fn(xn).
Fakt 2 Jeśli wektor losowy X jest ciągły i dla każdego x ∈ Rnbądź też wszędzie poza borelowskim zbiorem N ⊆ Rn o tej własności, że R
Rn1N(x)dx = 0, zachodzi fX(x) = f1(x1) · f2(x2) · · · fn(xn), to zmienne losowe tworzące wektor X są niezależne.
Twierdzenie 4 Jeśli wektor losowy X o wartościach w Rn jest ciągły z gęstością fX, S jest otwartym podzbiorem Rn takim że P (X ∈ S) = 1, h : S → T , gdzie T jest otwartym podzbiorem Rn, jest wzajemnie jednoznacznym przekształceniem klasy C1 i Jh(x) 6= 0 dla każdego x ∈ S, to na zbiorze T jako gęstość wektora losowego Y = h(X) możemy położyć:
fY(y) = f (h−1(y)) · |Jh−1(y)|.
