Xn są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 1)

Rozkład gamma, chi-kwadrat, t-Studenta, F-Snedecora.

Definicja 1. Rozkładem gamma Gamma(α, λ) nazywamy rozkład o gęstości f (x) = λ^α

Γ(α)x^α−1e^−λx, x > 0, gdzie

Γ(α) =

∞

Z

0

t^α−1e^−tdt.

EX = α

λ, V arX = α λ².

Definicja 2. Rozkładem chi-kwadrat o n stopniach swobody χ²(n) nazywamy rozkład zmiennej losowej

Y =

n

X

i=1

X_i²,

gdzie X₁, . . . , X_n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie N (0, 1). Gęstość i momenty tego rozkładu dane są wzorami:

f (x) =

1 2

k/2

Γ ^k₂
x

k/2−1e^−x/2, EX = n, V arX = 2n.

Definicja 3. Rozkładem t-Studenta o n stopniach swobody t(n) nazywamy rozkład zmien- nej losowej

T = X

pY /n,

gdzie X ∼ N (0, 1), zaś Y ∼ χ²(n). Gęstość tego rozkładu dana jest wzorem:

f (x) = Γ ⁿ⁺¹₂

√nπΓ ⁿ₂

 1 + x²

n

−ⁿ⁺¹₂

.

Gdy n > 1, to EX = 0 (dla n = 1 nie istnieje), zaś gdy n > 2, to V arX = _n−2ⁿ (dla n = 1, 2 nie istnieje).

Definicja 4. Rozkładem F-Snedecora (Fishera-Snedecora) o m i n stopniach swobody nazywamy rozkład zmiennej losowej

Z = X/m Y /n ,

gdzie X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach chi-kwadrat z odpowiednio m i n stopniami swobody.

1

FAKT

(1) E(λ) = Gamma(1, λ), (2) χ²(n) = Gamma ⁿ₂,¹₂
.

(3) Jeżeli X1, . . . , Xn są niezależne o tym samym rozkładzie Gamma(α, λ), to

n

P

i=1

Xi

ma rozkład Gamma(nα, λ).

Twierdzenie 1. Niech X₁, . . . , X_n^iid∼ N (µ, σ²). Wówczas

X¯n = 1 n

n

X

i=1

Xi,

S² = 1 n − 1

n

X

i=1

(X_i− ¯X_n)²

są niezależnymi zmiennymi losowymi oraz X¯_n ∼ N

 µ,σ²

n

 , n − 1

σ² S² ∼ χ²(n − 1),

√n

X¯n− µ

S ∼ t(n − 1).

Wynika stąd, że ES² = σ², V arS² = 2σ⁴ (n − 1).

2