Algebra 2
∗, seria 7
Zadania na 28 marca; k oznacza dowolne ciało.
Część pierwsza: kilka zadań powtórzeniowych przed kolokwium.
1. Wykaż, że jeśli radykał ideału I jest ideałem maksymalnym, to I jest prymarny.
2. Znajdź minimalny rozkład prymarny ideałów (a następnie sprawdź wyniki obliczeń w sage)
(a) I = (x2, xy, y2) ⊂ k[x, y], (b) J = (xy5, x3y4, x6y2) ⊂ k[x, y],
(c) K = (x5, x3yz, x4z) ⊂ k[x, y, z].
3. Rozpatrzmy ideał (xy, x − yz) w k[x, y, z].
(a) Pokaż, że (xy, x−yz) = (y2, x−yz)∩(x, z) jest minimalnym rozkładem prymarnym.
(b) Niech h : A → B będzie homomorfizmem pierścieni. Weźmy q/B p-prymarny ideał w B. Pokaż, że h−1(q) jest h−1(p)-prymarnym ideałem w A.
(c) Rozpatrzmy odwzorowanie k[x, y, z] → k[y, z] takie, że (x, y, z) 7→ (yz, y, z). Po- każ, że powyższy rozkład prymarny w k[x, y, z] można otrzymać, cofając rozkład pewnego ideału w k[y, z].
4. W sytuacji z zadania 5 z serii 6. chcemy znaleźć relacje między generatorami alge- bry niezmienników dla działania Gm na C[x1, x2] z podanymi w punkcie (c) wagami (czyli wykonać tę część zadania, której nie zrobiliśmy poprzednio). Dokładniej, jeśli w1, . . . , wn ∈ C[x1, x2] są generatorami algebry niezmienników rozpatrywanego działa- nia, to chcemy opisać ideał I ⊂ C[y1, . . . , yn] taki, że homomorfizm f : C[y1, . . . , yn] → C[x1, x2] przeprowadzający yi na wi dla 1 ¬ i ¬ n zadaje izomorfizm C[y1, . . . , yn]/I z algebrą niezmienników.
(a) Podaj generatory ideału relacji dla m ¬ 6.
(b) Opisz ideał relacji w ogólnym przypadku.
5. Znajdź generatory pierścienia niezmienników i relacje między nimi dla liniowego działa- nia grupy G na C[x1, x2], jeśli
(a) G ⊂ SL(2, C) jest generowana przez 0 −1 1 0
! ,
(b) G ⊂ GL(2, C) jest generowana przez 0 −1 1 −1
! .
Część druga: rozszerzenia ciał i pierścieni, normalizacja.
6. Czy pierścień k[x3, x2y, y3] jest normalny (czyli całkowicie domknięty w swoim ciele ułamków)?
7. Pokaż, że normalizacja następujących pierścieni ilorazowych jest izomorficzna z C[t], gdzie t = y/x:
(a) C[x, y]/(y2− x3) (b) C[x, y]/(y2− x3− x2)
8. Rozpatrzmy rozszerzenie ciał Q ⊂ Q(√
n), gdzie liczba naturalna n nie jest podzielna przez kwadrat liczby całkowitej.
(a) Pokaż, że jeśli 4 6 | n − 1, to całkowitym domknięciem Z w Q(√
n) jest Z[√ n].
(b) Pokaż, że jeśli 4 | n − 1, to całkowitym domknięciem Z w Q(√
n) jest Z[(1+√ n)/2].
9. Sprawdź bezpośrednio, że każdy element k[t] jest całkowity nad k[t2]: dla f ∈ k[t], f (t) =Paiti, znajdź wielomian unormowany stopnia 2 nad pierścieniem k[t2], którego pierwiastkiem jest f .
