Formu la (D1.2)doty zy takze_ grani y w nieskon zonos i

Krzysztof Rejmer

Dodatek 1: Rozwini e ia asymptoty zne

Formu ly asymptoty zne

Nie h f i g beda funk jami rze zywistymi okreslonymi na podzbiorze

A zbioru li zb rze zywisty h (moze_ za hodzi takze_ przypadek A = R).

Zdeniujemy nastepuja e formu ly dlax ! x

0 :

f(x)  g(x) gdy lim

A3x!x

0 f(x)

g(x)

= 1 : (D1.1)

Mowimywtedy,ze_ figsawgrani yma ly hx x

0

wielkos iamitegosamego

rzedu. x

0

mo_ze nale_ze do dziedziny obu funk ji, mo_ze do niej nie nale_ze ,

byle tylko istnia la grani a ilorazu. Formu la (D1.2)doty zy takze_ grani y w

nieskon zonos i.

f(x) =o(g(x)) gdy lim

A3x!x

0 f(x)

g(x)

= 0 : (D1.2)

Formu ly te stosujemy w sytua ja h, gdy mamy do zynienia z funk jami

zanikaja ymi do zera, lub daz_a ymi do nieskon zonos i gdy x da_zy do x

0 .

Mozna_ powiedzie , ze_ jest toporownanie, ktora funk ja zanika lub wybu ha

szyb iej.

Przyk lady:

1) sinx  x gdy x ! 0 : (D1.3)

Powiemy, ze_ woto zeniu zera sinx i x sa ma lymitego samego rzedu.

2) x = o(sinx) gdy x ! 0 : (D1.4)

Powiemy, ze_ woto zeniu zera x 2

jestma lawy_zszego rzedu ni_z sinx.

3) lnx = o(x a

) x! 1 (a > 0) : (D1.5)

Powiemy, ze_ funk ja potegowa szyb iej zmierza do nieskon zonos i ni_z

funk ja logarytmi zna.

3) lnx = o(x a

) x!0 +

(a > 0) : (D1.6)

Tu rowniez_ powiemy, ze_ funk ja potegowa (inna mi_z w poptzednim

przyk ladzie), a dok ladniej - jej wartos bezwzgledna - szyb iej zmierza do

nieskon zonos i ni_z funk ja logarytmi zna. x

0

= 0 nie nalezy_ do dziedziny

obu funk ji, alegrani a ilorazuistnieje.

Ciagi asymptoty zne

Ciag funk ji f

n

(x) (n 2 N okreslony h na A nazwiemy iagiem asymp-

toty znym jesli

f

n+1

(x) = o(f

n

(x)) gdy x ! x

0

: (D1.7)

Przyk lady:

1) x n

gdy x ! 0 : (D1.8)

2) x n

gdy x ! 1 : (D1.9)

Naj zes iej mamy do zynienia z funk jami potegowymi, ale w gre

w hodza rownie_zinne funk je:

3) e gdy x ! 1 : (D1.10)

Szeregi asymptoty zne

Szeregiemasymptoty znym (w sensie Poin are)funk ji f(x)dlax ! x

0

nazywamy szereg

1

X

n=0 a

n '

n

(x) ; (D1.11)

jesli dladowolnego N  0 dlax ! x

0

f(x) N

X

n=0 a

n '

n

(x) = o('

N

(x)) gdy x ! x

0

: (D1.12)

Piszemy wtedy

f(x)  1

X

n=0 a

n '

n

(x) dla x ! x

0

: (D1.13)

Rozwinie iaasymptoty zne majadwie wa_zne w lasnos i:

1. Szereg asymptoty zny nie musiby zbiezny_ (inaj zes iej nie jest).

2. Rozwinie ie nafunk je f'

n g

n

jest jednozna zne.

3. Dla ka_zdej wartos i N szereg asymptory zny jest przyblizeniem_

wartos ifunk ji f(x) tym lepszym, immniejx ro_znisie odx

0 .

Metoda Lapla e'a

Rozwa_zmy wielkos (li zby a i b moga by skon zone lub rowne 1,

odpowiednio

F(x) = b

Z

a

dxf(t)e xs(t)

: (D1.14)

gdzie x jest wielkim parametrem. Interesuje nas asymptoty zne wyra_zenie

dla F(x). Dla prostoty przyjmiemy, ze_ funk je f i s sa klasy C 1

, ale to

punktu t

0

, w ktorym funk ja s(t) osiaga maksimum. Mo_zliwe sa dwa

przypadki: funk ja osiaga maksimum we wnetrzu przedzia lu [a; b℄ lub te_z

na jego brzegu (powiedzmy, ze_ w punk ie a), w tym drugim przypadku

rozwa_zamy skon zonawartos a.

I)Nie h s(t)posiada maksimumwpunk iet

0

takim,ze_ a < t

0

< b oraz

s 00

(t

0

) < 0. Istnieje wtedy nastepuja e rozwine ie asymptoty zne

F(x)  f(t

0 )e

xs(t

0 )

1

X

k=0

k

x k+

1

2

: (D1.15)

Wyraz dominuja y rozwinie ia asymptoty znego maposta

F(x)  f(t

0 )e

xs(t

0 )

s

2

xjs 00

(t

0 )j

: (D1.16)

II) Jesli maksimum wypada nabrzegu przedzia lu w punk ie a, ale w iaz_

spe lniony jest warunek s 00

(a) < 0, wynik zawiera jesz ze u lamek 1=2.

III)W przypadkumaksimumniew las iwegowpunk iea(gdys 0

(a) 6= 0)

rozwinie ie asymptoty zne maposta

F(x)  f(t

0 )e

xs(t

0 )

1

X

k=0 b

k

x k+1

; (D1.17)

gdzie

b

k

= M

k

f(t)

s 0

(t)

!

t=a

; M = 1

s 0

(t) d

dt

: (D1.18)

Dominuja ywyraz rozwinie ia maposta

F(x) = 1

x e

xs(a) f(a)

js 0

(a)j

: (D1.19)

Przyk lad 1 (funk ja ):

Funk ja gammazdeniowana jestjako a lka

(x + 1) = 1

Z

0 dtt

x

e t

: (D1.20)

posta i Interesuja nas dodatnie wartos i x. Dokonamy zamiany zmienny h

t = ux. Otrzymujemy

(x + 1) = x x+1

1

Z

0 due

x(l nu u)

: (D1.21)

Funk ja s(u) = lnu uposiadamaksimum dlau

0

= 1,przy zym s(1) =

1, oraz s 00

(1) = 1. Dla wielki hx otrzymujemy wzor Stirlinga

(x + 1)  p

2xx x

e x

: (D1.22)

W sz zegolnos i dlali zb naturalny h

n!  p

2nn n

e n

; lnn!  n(lnn + 1) + 1

2

ln(2n) : (D1.23)

Poprawki sa rzedu 1=n. W wielu zastosowania h wystar za

lnn!  n(lnn + 1) : (D1.24)

Wykonajmy prosty ra hunek. Nie h n bedzie li zba rzedu jednego mola,

n = 10 23

. Mamy wtedy

nlnn =23
10 23

ln10' 1;2
10 26

;

n =10 23

;

lnn = 23ln10 ' 5;3
10 1

:

Pierwsze i drugie wyrazenie_ ro_znia sie o trzy rzady wielkos i, ale drugie i

trze ie juz_ o 22 rzedy, a zatem mo_zemy o nim zapomnie . Pominelismy

takze_ po lowe logarytmu 2. jest to li zba mniejsza od jedynki (' 0:9).

Wzor Stirlingadaje dobre przyblizenie_ dla li zb juz_ zna znie mniejszy h od

10 23

(wszystkie wyniki podajemy z dok ladnos ia do pierwszego miejs a po

prze inku).

ln(10 3

!) ' 5912;1 ;

10 3

(ln(10 3

) 1) = 10 3

(3ln10 1) ' 5907;8 :

B ladwynosi oko lo 7;3
10 4

.

ln(10 3

!) ' 82108;9;1 ;

10 4

(ln(10 4

) 1) = 10 4

(4ln10 1) ' 82103;4 :

B ladwynosi oko lo 6;6
10 .

Przyk lad 2 (funk ja b l edu):

Funk ja b ledu zdeniowana jest jako nastepuja a a lka

Erf (x) = 2

p

 1

Z

x dte

t 2

: (D1.25)

Dok ladniej, jest to uzupe lniaja a funk ja b ledu. Interesuje nas rozwinie ie

dlax ! 1:

I tym razem musimy przekszta l i a lke do posta i, ktora pozwoli sko-

rzysta z metody Lapla e'a. Dokonamy zamianyzmienny ht = ux. Otrzy-

mujemy

Erf (x) = 2x

p

 1

Z

1 due

x 2

u 2

: (D1.26)

Parametrem rozwinie iajest tu nie x alex 2

. Funk ja (u) = u 2

ma maksi-

mumnagrani yprzedzia lu a lkowaniawpunk ieu

0

= 1. Za hodzis(1) = 1

oraz s 0

(1) = 2. Dominuja ywyraz rozwinie ia maposta

Erf (x)  1

p

x e

x 2

: (D1.27)

Nietrudno znalez pe lne rozwinie ie (zrobi tojuz_ Lapla e)

Erf (x)  1

p

x e

x 2

1

X

k=0 ( 1)

k

(2k 1)!!

2 k

x 2k

: (D1.28)

Przedstawiona powy_zej metoda znajdowania rozwinie asymptoty zny h

funk ji zdeniowany h jako a lki ma wiele naturalny h uogolnien, na

przyk lad na przypadek a lek wielowymiarowy h, na przypadki gdy pier-

wszy h 2n 1 po hodny h funk ji s znika w punk ie t

0

, funk ja s posiada

kilkamaksimow, albogdy funk je f i s zale_zanietylko od t,aletakze_ odx,

przy zym w grani y nieskon zony h wartos ix tazalezn_ os znika.

W zy e statysty znej wa_zne jest znalezienie grani y

lim

x!1 8

<

: 1

x ln

2

4 b

Z

a

dtf(t)e xs(t)

3

5 9

=

; :

Otrzymamy wtedy (dla dowolnegoN)

lim

x!1 (

1

x ln

"

f(t

0 )e

xs(t0) N

X

k=0

k

x k+

1

2

# )

= s(t

0

) : (D1.29)

oraz

lim

x!1 (

1

x ln

"

f(t

0 )e

xs(t

0 )

N

X

k=0 b

k

x k+1

#)

= s(t

0

) : (D1.30)

Dowod jest prosty. Korzystamy ze znannej watros i logarytmu: logarytm

ilo zymu jest suma logarytmow. Nastepnie li zymy grani e dla N = 0.

Tylko jeden wyraz nieznika. Pozostaje pokaza , ze_ wynik nie zale_zy od N.

jest to prosta konsekwen ja faktu, ze_ wyrazemdominuja ymw grani y,jest

w lasnie wyraz N = 0.

Zwro my uwage na odmienne lozoe kryja e sie za poje iem szeregu

asymptoty znego i zbieznego_ szeregu funk yjnego (na przyk lad szereg Tay-

lora). W przypadku szeregu Taylora suma skon zona daje przyblizenie_

wartos ifunk jiwustalonympunk iextymlepsze,inwie ejwyrazowszeregu

dodamy do siebie. W przypadku szeregu asymptoty znego suma skon zona

o ustalonej li zbie dodawany h elementow daje przyblizenie_ tym lepsze, im

blizsza_ jest wartos x pewnej wartos i x

0 .

Dodatek 2: Transforma ja Legendre'a

Rozwa_zmy funk je y(x)dwukrotnie ro_zni zkowalna w sposob iag ly,wy-

puk la lub wkles la. Przyjmiemy dodatkowo, ze_ funk ja ta nie posiada ek-

stremum w las iwego. Druga po hodna tej funk ji posiada ustalony znak,

a pierwsza po hodna jest funk ja s isle monotoni zna. Rys.1 przedstawia

wykrestakiejfunk jiododatniejdrugiejpo hodnej. Nie hAbedziepunktem

o wspo lrzedny h (x;y) nawykresie tejfunk ji. Nie hp bedzie na hyleniem

sty znej dowykresu funk jiwpunk ieA. Ch emyopisa krzywa zapomo a

inny hniz_ (x; y)zmienny h, wtaki sposob, aby jedna z nowy h zmienny h

by lazmiennap. Jakwybra drugazmienna? Dwanajprostszewybory(p; x)

i (p; y) sa niepoprawne. Przesuwaja w pionie wykres funk ji, z punktu

A otrzymujemy punkt A



o ty h samy h wspo lrzedny h (p; x). Tak wie

taki wyborwspo lrzedny h nie identykuje punktu na wykresie funk ji y(x).

punktu Aotrzymujemypunkt A



oty hsamy hwspo lrzedny h (p;y). Tak

wie itakiwyborwspo lrzedny hnieidentykuje punktuna wykresiefunk ji

y(x).

Druga wspo lrzedna wybierzemy ina zej. Nie h bedzie y-owa

wspo lrzednapunktu prze ie ia sty znejdowykresu funk ji zosiaOy. Popa-

trzmy narysunek. Na hylenie krzywej jest rowne

p = y

x

: (D2.1)

Otrzymujemy stad

= y px : (D2.2)

Rys.1 o zywis ie odpowiada przypadkowi x > 0. Czytelnik ze h e zas-

tanowissiesamodzielnienad przypadkiemx < 0. Nowawielkos mo_zemy

traktowa jak funk jep. Po pierwsze z warunku

dp

dx

= d

2

dx 2

> 0 ; (D2.3)

wynika, ze_ w miare jak rosnie x, zyli w miare jak punkt A przesuwa sie

na prawo, rosnie rartos p. Tak wie kazdemu_ punktowi A odpowiada inna

wartos p. Po drugie mo_zemy wyzna zy x jako funk je p. W ten sposob

otrzymujemy

(p) = y(x(p)) px(p) : (D2.4)

Tak zdeniowana transforma ja

y(x) ! (p) ; (D2.5)

nosinazwetransforma jiLegendre'a. Gdypopatrzymynawzor(D2.2),widz-

imy,ze_ przesuwaniex zyyosta lazmieniasiewartos . Poli zmypo hodna

funk ji wzgledem p. Otrzymujemy

d

dp

= dy

dx dx

dp p

dx

dp

x = x ; (D2.6)

poniewa_z po hodna y wzgledem x jest rowna p. Poli zmy jesz ze druga

po hodnafunk ji wzgledem p

d 2

dp 2

= dx

dp

=

dp

dx

!

1

= d

2

dx 2

!

1

: (D2.7)

A zatem transformata Legendre'a funk ji wypuk lej jest wkles la, a transfor-

mata Legendre'a funk ji wkles lej jest wypuk la. Rys.2 pokazuje gra zna

konstruk je transforma jiLegendre'a.

Zna zenie transforma ji Legendre'a polega na tym, ze_ ten sam uk lad

zy zny mo_zemy opisywa za pomo a ro_zny h zmienny h niezale_zny h i

odpowiedni hfunk jity hzmienny h. Zro_zny hzy zny hprzy zynpewien

wybor zmienny h mo_ze by bardziej wygodny ni_z inne. Funk ja y(x) i jej

transformata Legendre'a (p)izawierajatesamainforma jeouk ladziezy-

znym. O zywis ie transforma jaLegendre'a jest odwra alna.

Bez trudu mo_zemy rozpatrzy przypadek gdy y jest nie tylko funk ja

zmiennej x, ale zale_zy od inny h zmienny h u; v:::. Transforma je Leg-

endre'a wykonujemy przy ustalony h wartos ia h pozosta lu h zmienny h, a

zatem ni nieulega zmianie. W przypadku funk ji wielu zmienny h mo_zna

wykona wiele transforma jiLegendre'a.