1 Przydatne deﬁnicje i pojęcia

(1)

Funkcje wielu zmiennych o wartościach rzeczywistych (pochodne cząstkowe wyższych rzędów, wzór Taylora)

1 Przydatne deﬁnicje i pojęcia

Deﬁnicja 1.1.

Niech dana będzie funkcja f : D ⊂ Rⁿ → R p-krotnie różniczkowalna w punkcie a ∈ IntD. Dla każdego wektora h = (h1, h2, . . . , hn)∈Rⁿ oznaczmy

d^pf (a)(h) =

n i1=1. . .

n

ip=1hi1. . . hip

∂^pf

∂xi1 . . . xip

(a).

Funkcję d^pf (a) : ^Rⁿ →^R określoną wzorem powyżej, nazywamyróżniczką rzędu p funkcji f w punkcie a.

Dla p = 1 mamy

d¹f (a)(h) = h1 ∂f

∂x1(a) + . . . + hn ∂f

∂xn(a).

Dla p = 2 mamy

d²f (a)(h) =

n i=1h²_i∂²f

∂x²_i (a) + 2

i<jhihj ∂²f

∂xi∂xj(a).

W przypadku funkcji dwóch zmiennych, czyli dla a = (a1, a2) ∈ R² i dowolnego p możemy napisać:

d^pf (a1, a2)(h1, h2) =

h1 ∂

∂x + h2 ∂

∂y

_n

f

(a1,a2)

Twierdzenie 1.1. Wzór Taylora z resztą w postaci Peano

Niech dana będzie funkcja f : D ⊂ ^Rⁿ → R p-krotnie różniczkowalna w punkcie a ∈ IntD.

Można ją wówczas przedstawić wzorem f (x) = f (a) + d¹f (a)(x − a)

1! +d²f (a)(x − a)

2! + . . . +d^pf (a)(x − a)

p! + Rp(x), gdzie reszta Rp(x) spełnia warunek

Rp(x)

||x − a||^p → 0 przy x → a.

Twierdzenie 1.2. Wzór Taylora z resztą w postaci Lagrange’a

Niech dana będzie funkcja f : D ⊂ ^Rⁿ → R p + 1-krotnie różniczkowalna, niech dany będzie punkt a ∈ D i punkt x ∈ D taki, że odcinek [a, x] ⊂ D. Załóżmy, że x = a. Istnieje wówczas punkt y należący do odcinka otwartego (a, x) taki, że

f (x) = f (a) + d¹f (a)(x − a)

1! +d²f (a)(x − a)

2! + . . . +d^pf (a)(x − a)

p! + d^p+1f (y)(x − a) (p + 1)! .

Strona 27

(2)

2 Zadania

1. Uzasadnić, że nie istnieje funkcja f : ^R² → R spełniająca układ warunków: _∂x∂y^∂²^f = xe^xy i

∂²f

∂y² = ye^xy.

2. Niech funkcja z : U ⊂ ^R² → R lub z : U ⊂ ^R³ → R. Obliczyć nastepuj ace pochodne czastkowe: ^∂_∂x²^z2, _∂y^∂²^z₂, _∂x∂y^∂²^z , _∂x^∂₂³^z_∂y , _∂x∂y∂u^∂³^z , _∂x∂y^∂³^z₂, jeżeli:

(i) z(x, y) = ¹₃

x² + y²³, (ii) z(x, y) = arctg_1−xy^x+y , (iii) z(x, y) = ln(e^x+ e^y), (iv) z(x, y) = e^xe^y, (v) z(x, y, u) =√

x²+ y²+ u²− 2xu, (vi) z(x, y) = sin²(ax + by), (vii) z(x, y) = ln(x +√

x²+ y²), (viii) z(x, y, u) = e^xyu, (ix) z(x, y, u) = _x−y¹ +_y−u¹ +_u−x¹ .

3. Napisać wzór Taylora dla funkcji:

(i) f (x, y) = sinxcosy, (ii) f (x, y) = e^xln(1 + y), (iii) f (x, y) = sin(x²+ y²), (iv) f (x, y) = arctg_1+xy^x−y,

w otoczeniu punktu (0, 0) w przypadkach: p = 2, 3 z resztą w postaci Peano i resztą w postaci Lagrange’a.

4. Napisać wzór Taylora dla funkcji

(i) f (x, y) = sin(x) · e^2y, a = (0, 0), p = 3, (ii) f (x) = e^x¹^+···+x^k, a, p dowolne,

(iii) f (x, y) = xsiny, a = (0, π), p = 3,

(iv) f (x, y) = x²y, a = (−1, 1), p = 2, p = 3,

(v) f (x, y) = −x² + 2xy + 3y²− 6x − 2y − 4, a = (−2, 1), p = 3, (vi) f (x, y) = (x + y)³, a = (−1, 1), p = 4

z resztą w postaci Peano i resztą w posatci Lagrange’a.

Strona 28