Zbieżność szeregów

(1)

Zbieżność szeregów

Zad 1. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu potęgowego.

∑

n=1 +∞ nⁿ

n !zⁿ

Korzystamy z kryterium d’Alemberta.

q= lim

n →+∞

|

^a^aⁿ⁺¹ⁿ

|

^=lim^{n → ∞}

|

^{( n+ 1)}^{(n+1) !}^n!ⁿⁿⁿ⁺¹

|

^=lim^{n →∞} ^{(n+1 )}^{(n+1) ! n}ⁿ⁺¹^n!ⁿ ^=lim^{n →∞} ^{(n+1 )}^{(n+1) n}^{n +1}ⁿ^=¿

¿lim

n →∞

(n+1)ⁿ nⁿ =lim

n→ ∞

(

ⁿ⁺¹n

)

ⁿ⁼^{n→ ∞}^lim

(

¹⁺¹n

)

ⁿ⁼^e

Promień zbieżności R=1 q=1

e=e⁻¹ . Szereg jest zbieżny dla |z|<e⁻¹ . Zad. 2 Zbadaj zbieżność szeregu potęgowego i zachowanie na brzegu koła

∑

n=1

∞ (z−i)ⁿ n³(1+i)ⁿ

Z kryterium Cauchye'go q= lim

n →+∞

√

n

^|

^aⁿ

^|

⁼_{n →+ ∞}^lim

√

ⁿ

^|

ⁿ³⁽¹⁺ⁱ⁾¹ ⁿ

^|

⁼^{n →+∞}^lim

^√

ⁿⁿ³

^|

⁽¹⁺ⁱ⁾¹

^|

⁼

^√

¹²

R=1

q=

√

2 . Szereg jest zbieżny dla |z−i|<

√

^{2 .}

Niech w=z−i

1+1 . Wtedy

∑

n=1

∞ (z−i)ⁿ n³(1+i)ⁿ=

∑

n=1

∞ wⁿ

n³ jest zbieżny dla |w|=

|

1+i^z−i

|

⁼^||^z−i1+i|^|≤1 a stąd dla

|z−i|≤

√

²

ponieważ biorąc an=1

n³ i bn=wⁿ i |1−w|>ε>0 otrzymujemy

|

^sn

|

⁼

|

w+ w³+…+ wⁿ

|

=

|

^{w (1−w}1−w ⁿ⁾

|

^<²ε . Z kryterium Dirichleta mamy zbieżność dla

|w|≤1 poza w=1 . Natomiast dla w=1 szereg

∑

n=1

∞ 1

n³ jest zbieżny.

Z przedstawionego uzasadnienia wynika, że szereg

∑

n=1

∞ (z−i)ⁿ n^k(1+i)ⁿ=

∑

n=1

∞ wⁿ

n^k jest zbieżny na całym brzegu koła zbieżności dla k >1 a dla 0<k ≤ 1 jest zbieżny poza punktem

w=1 i z=1+2 i .

Zad. 3 Zbadaj zbieżność szeregu

∑

n=0

∞

(

3+2i

^√

²⁺ⁱ

)

^{2 n}

Stosując kryterium Cauchye'go mamy

(2)

| ^√

3+2i²⁺ⁱ

|

²^=¿

q= lim

n →+∞

√

n

^|

^aⁿ

^|

⁼_{n →+ ∞}^lim

√

ⁿ

^| ⁽ ^√

^{3+2 i}²⁺ⁱ

⁾

^{2 n}

^|

^=¿^{n →+∞}^lim

^√

ⁿ

^| ^√

^{3+2 i}²⁺ⁱ

^|

²ⁿ⁼^{n →+∞}^lim ^¿

¿

| ^√

3+2i²⁺ⁱ

|

²^<1

ponieważ 3=

| √

²⁺ⁱ

^|

^<^|³⁺²ⁱ^|=13 . Zatem szereg jest zbieżny.

W badaniu zbieżności szeregów badamy zbieżność bezwzględną szeregu biorąc moduły składników szeregów. Kryteria badania zbieżności są takie same jak w przypadku szeregów o wyrazach rzeczywistych. Więcej informacji na ten temat możesz znaleźć w dołączonym pliku

"Szeregi liczbowe i funkcyjne".

Granice ciągów i funkcji

Zad. 4 Obliczyć granicę lim

n →+∞

(

2∋+1^{3 n+i}

)

ⁿ

|

2∋+1^{3 n+i}

|

ⁿ⁼n →+ ∞^lim

(

|^|2∋+1^{3 n+i}^||

)

ⁿ^=¿

lim

n→+∞

| ⁽

^2∋+1^{3 n+i}

⁾

ⁿ

|

⁼^{n →+∞}^lim ^¿

( √

⁹⁺⁴⁺ⁿⁿ¹¹²²

⁾

ⁿ^=¿

⁽ ^√

⁹⁴

⁾

^∞⁼

⁽

³²

⁾

^∞⁼^∞

( √

^{9 n}^{4 n}²²⁺⁺¹¹

⁾

ⁿ^=¿^{n →+∞}^lim ^¿

( _√ ^√

^{9 n}4 n²²⁺+¹1

)

ⁿ^=¿^{n →+∞}^lim ^¿

lim

n →+∞

¿

ponieważ

|

³2

|

^>^{1. Zatem}

lim

n →+∞

(

2∋+1^{3 n+i}

)

ⁿ^=∞

n →+∞

(

^{3 n−4 i}5∋+2

)

ⁿ

(3)

( ^√ √

^{9 n}²⁵ⁿ²⁺¹⁶²⁺⁴

)

ⁿ^=¿

|

^{3 n−4 i}5∋+2

|

ⁿ⁼n →+∞^lim

(

^||^{3 n−4 i}5∋+2|^|

)

ⁿ⁼^¿^{n →+ ∞}^lim ^¿

lim

n →+∞

| ⁽

^{3 n−4 i}^5∋+2

⁾

ⁿ

|

⁼^{n →+ ∞}^lim ^¿

( √

²⁵⁺⁹⁺¹⁶ⁿⁿ⁴²²

⁾

ⁿ⁼^¿

⁽ ^√

²⁵⁹

⁾

^∞⁼

⁽

³⁵

⁾

^∞⁼⁰

( ^√ √

^{25 n}^{9 n}²⁺¹⁶²⁺⁴

)

ⁿ^=¿^{n →+∞}^lim ^¿

lim

n →+ ∞¿

ponieważ 0<

|

³5

|

^<1 . Zatem lim

n →+∞

(

2∋+1^{3 n+i}

)

ⁿ^=∞

z → i

z⁴+1 z³+i=2

0=∞

Zad. 7 Obliczyć granicę z

z (¿¿2−1) (¿¿2+1)

( z−i )( z²+zi−1)=¿

¿¿

lim

z →i

z⁴−1

z³+i =

[

⁰0

]

⁼^limz →i ¿

(4)

z z z z i i (¿¿2−1) (¿¿+i)

(i²+ii−1)=−4 i

−3 =4 3i

¿ ¿ (¿¿2−1) (¿¿+i)

(z²+zi−1)¿

¿ (¿¿2−1) (¿¿+i)(z−i)

( z−i )( z²+zi−1)=¿lim

z → i¿

¿¿ lim

z →i

¿ Sposób II

4 z³ 3 z²=lim

z → i

4 3z =¿4

3i lim

z → i

z⁴−1

z³+i=

[

⁰0

]

^=lim^{z → i} ^¿

Z przedstawionych przykładów wynika, że obowiązują wyrażenia oznaczone. W przypadku granic funkcji o wartościach zespolonych występuje tylko ∞ i nie ma −∞ i

+∞ .

Twierdzenia o granicach niewłaściwych funkcji i ciągów.

Stosując twierdzenie o granicach właściwych funkcji i ciągów możemy to twierdzenie rozszerzyć dopuszczając granice niewłaściwe dla funkcji i ciągów

f

_i g . Wtedy wyniki uzyskanych działań arytmetycznych są następujące: Jeżeli granice funkcje i ciągów

f

_i

g uzyskują następujące wartości

g∈C i g≠0

_, ∞ to

1

⁰

g+∞=∞

2⁰ 0+∞=∞ 3⁰ ∞+∞=∞

4

⁰

g∞=∞

5⁰ ∞∞=∞

6

⁰

g

∞=0

7

⁰

0 ∞=0

8⁰ g 0=∞

9

⁰

g

^∞

=0 dla |g|∈(0,1) 10

⁰

g

^∞

=∞ dla |g|∈(1,+∞)

W przypadku gdy uzyskamy wyrażenia postaci:

1⁰ ∞−∞ 2⁰ 0∞

4 ⁰ ∞∞

⁵

⁰

^g

^∞

i |g|=1

6⁰ ∞⁰ 7⁰ 0⁰

wartość granicy może być różna lub granica może nie istnieć. Należy wtedy dalej znajdować granicę. Powyższe wyrażenia są to tak zwane wyrażenia nieoznaczone.

Można również stosować regułę de L’Hospitala przy obliczaniu wyrażeń nieoznaczonych pod warunkiem istnienia pochodnych funkcji zespolonych.

0 0 3⁰

(5)

Zad. 8 Obliczyć granicę z

z (¿¿2+1) (¿¿2−1)¿

¿¿ z z (¿¿+i)(z−i)

(¿¿2−1)¿

¿¿

lim

z → i

|

z⁴−1

|

z³+i =

[

⁰0

]

⁼^lim^{z →i} ^¿

lim

z → i

|

z²−1

||

z +i

|

|z−i| (z−i)(z²+zi−1)¿lim

z → i

|

z²−1

||

z +i

|

(z²+zi−1) lim

z →i

|

z−i

|

z−i = 4

−3lim

z → i

|

z −i

|

z −i Natomiast granica lim

z → i

|

z−i

|

z−i nie istnieje, ponieważ dla z=x +(mx+1) i gdy x → 0 i x >0 x∈ R to z → i . Wtedy

x → 0^+¿

|

x (1+mi)

|

x (1+mi)=

|

(1+mi)

|

1+mi x → 0^+¿

|

x+(mx+1) i−i

|

x+(mx+1) i−i =lim

¿

lim

z →i

|z−i| z−i =lim

¿

zależy od drogi granicy. Zatem granica lim

z → i

|

z⁴−1

|

z³+i nie istnieje.

Zbieżność szeregów