Rachunek wektorowy 1. Podstawowe definicje dotycz

(1)

Rachunek wektorowy

1. Podstawowe definicje dotyczące wektorów

Niech A

(

xA,yA,zA

)

, B

(

xB,yB,zB

)

będą punktami w prostokątnym układzie współrzędnych.

Wektorem zaczepionym ur= AB^→ nazywamy uporządkowaną parę punktów A,B. Trójkę liczb

[

ux,uy,uz

]

gdzie

A B

x x x

u = − , u_y= y_B−y_A, uz=zB−zA nazywamy współrzędnymi wektora ur . Wektor w układzie OXYZ

Wektorem swobodnym wyznaczonym przez wektor zaczepiony ur nazywamy zbiór wszystkich wektorów posiadających te same współrzędne co wektor ur .

Wektor ur nazywamy reprezentantem wektora swobodnego.

Często utożsamiamy ur i odpowiedni wektor swobodny. Piszemy ur=

[

ux,uy,uz

]

wektory swobodne

Wektory zapisujemy małymi literami np. ur, vr, ar lub dużymi jeśli mamy ustalony początek i koniec wektora np. AB^→ - to wektor o początku w punkcie A i końcu w punkcie B; BA^→ - to wektor o początku w punkcie B i końcu w punkcie A.

Przykład 1 Dane są punkty A

(

2,− ,1−3

)

, B

(

−3,2,−5

)

. Wyznaczyć współrzędne wektorów AB^→ , BA^→ . Wektor 0r=

[

0,0,0

]

nazywamy wektorem zerowym.

Wektor − ru=

[

−ux,−uy,−uz

]

nazywamy wektorem przeciwnym do wektora ur=

[

ux,uy,uz

]

. Wektor AB^→ jest wektorami przeciwnym do wektora BA^→ i na odwrót.

Wektory ur=

[

ux,uy,uz

]

i vr=

[

vx,vy,vz

]

są równe wtedy i tylko wtedy jeśli ich składowe są równe, czyli xu =xv,

v

u y

y = , z_u =z_v.

Długość wektora ur=

[

ux,uy,uz

]

określona jest wzorem ur = u²_x+u²_y+u²_z . UWAGA.

♦ 0r =0

♦ ur = −ur

Przykład 2 Wyznaczyć długość wektor vr=

[

−2,3,−1

]

. X

Y Z

ur X

Y Z

) z , y , x (

A _A _A _A

) z , y , x (

B _B _B _B

(2)

Def. Wektor jednostkowy (wersor) to wektor o długości jeden.

Aby otrzymać wektor jednostkowy równoległy do danego wektora ur=

[

ux,uy,uz

]

należy współrzędne tego wektora podzielić przez jego długość, tzn.

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

±⎡

u ,u u ,u u

ux y _z

r r

r .

Przykładowymi wektorami jednostkowymi są wersory osi ÔX , ÔY , ÔZ, które oznaczamy odpowiednio ⁱ^r,

rj, kr

, gdzie ir=

[ ]

1 ,,00

, ^r^j ⁼

[ ]

^{0 ,}^,¹⁰ , kr=

[ ]

0 ,,01

.

Przykład 3 Znaleźć wektor jednostkowy równoległy do wektora vr=

[

2,1,−2

]

. Wyznaczanie środka odcinka AB:

Niech A

(

xA,yA,zA

)

, B

(

xB,yB,zB

)

.

Współrzędne punktu S

(

x_S,y_S,z_S

)

będącego środkiem odcinka AB możemy wyliczyć ze wzoru

⎪⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

= +

2 2 2

B A S

z z z

y y y

x x x

.

Przykład 4 Znaleźć środek odcinka AB jeśli A

(

5,−6,2

)

, B

(

−3 ,,84

)

.

Kąty, jakie tworzy wektor ur z osiami układu współrzędnych określają następujące wzory

u

cosα=ur^x - α kąt między wektorem a osią OX,

u

cosβ =ur^y - β kąt między wektorem a osią OY,

u

cosγ =ur^z - γ kąt między wektorem a osią OZ,

Ponieważ cosinusy te opisują kierunek wektora w przestrzeni nazywamy je cosinusami kierunkowymi.

Cosinusy te spełniają warunek cos²α+cos²β+cos²γ =1.

Przykład 5 Obliczyć cosinus kierunkowe wektora ^u^r⁼

[

²^,¹^,⁻¹

]

^.

2 . Działania na wektorach

Suma wektorów ur=

[

ux,uy,uz

]

ivr=

[

vx,vy,vz

]

to wektor określony wzoremur+ rv=

[

ux+vx,uy+vy,uz+vz

]

.

X

Y Z

ur vr ur +vr

X

Y Z

ir rj kr

X

Y Z

ur α γβ

(3)

Iloczyn wektora ur=

[

ux,uy,uz

]

przez liczbę α to wektor określony wzorem αur=

[

αux,αuy,αuz

]

. Własności działań na wektorach

Niech ur, vr, wr będą dowolnymi wektorami, α,β dowolnymi liczbami.

Wtedy:

1. ur+vr=vr+ur

2.

(

^u^r⁺^v^r

)

⁺^w^r⁼^u^r⁺

(

^v^r⁺^w^r

)

3. ^u^r+ 0^r=^u^r

4. ^u^r^{+ u}

( )

⁻^r ⁼⁰^r 5. 1⋅ur =ur

6. α

(

^u^r+^v^r

)

=α^u^r+α ^v^r

7.

(

α+β

)

ur=α ur+β ur

8. ^α

( ) ( )

^β^u^r ⁼ ^αβ ^u^r

Przykład 6 Dane są wektory ur=

[

⁰,²,−²

]

, vr=

[

−³,⁴,−¹

]

, wr= AB^→ , gdzie A(2,−1,3), B

(

−1,2,−1

)

. Obliczyć

w v uv r 2r 3 − − .

Def. Kombinacją liniową wektorów ur,ur ,...,urn 2

1 nazywamy wektor α₁ur₁+α₂ur₂+...+α_nur_n gdzie

R ,..., ,α α_n∈

α₁ ₂ .

Każdy wektor w układzie współrzędnych można przedstawić w postaci liniowej kombinacji wersorów ir,

rj, kr

w następujący sposób ^u

[

ûx^,ûy^,ûz

]

ûxⁱ ûy^j ûz^k

r r

r= = r+ + .

Przykład 7 Wektor ur=

[

3,1,−2

]

możemy zapisać w postaci ur=3ir+1rj−2kr, ale także ur=1rj+3ir−2kr. Wektor wr= rj−2ir+5kr możemy zapisać w postaci ^wr =

[

−^{2 ,}^,¹⁵

]

.

Def. Wektory ur ,ur ,...,ur_n

2

1 nazywamy liniowo niezależnymi, jeżeli jedyną kombinacją liniową dającą wektor zerowy jest kombinacja ze wszystkimi współczynnikami α_i_. równymi 0, tzn. jeśli 1 1 2 2 ⁰

r r r

r + u +...+ _nu_n=

u α α

α ,

to α₁,=α₂=...=α_n =0.

Wektory, które nie są liniowo niezależne nazywamy liniowo zależnymi.

Jeżeli wektory ur,ur ,...,ur_n

2

1 są liniowo zależne, to jeden z nich jest kombinacją liniową pozostałych.

Przykład 8 Dane są wektory ^ur=

[

^{4 ,}^,³⁵

]

, ^vr=

[ ]

^{1 ,}^,⁰² ^wr =

[

^{3 ,}^,³³

]

. Zbadać, czy wektory ur, vr, wr są liniowo niezależne. W przypadku odpowiedzi negatywnej przedstawić jeden z nich jako kombinację liniową pozostałych.

3 . Iloczyn skalarny

Def. Iloczynem skalarnym (oznaczanym u vr

ro ) dwóch wektorów u rr,v nazywamy liczbę równą iloczynowi długości tych wektorów ur , vr i cosinusa kąta ϕ zawartego między nimi, czyli u vr urvrcosϕ

ro = .

Należy pamiętać, że iloczyn skalarny jest liczbą (skalarem), a nie wektorem.

Jeśli ur=

[

ux,uy,uz

]

i vr=

[

vx,vy,vz

]

, to iloczyn skalarny możemy wyliczyć ze wzoru u vr=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z

ro .

X

Y Z

ur vrϕ

(4)

Przykład 9 Obliczyć iloczyn skalarny wektorów ur,vr jeśli:

a) ur =2, vr =7, a kąt między wektorami ur,vr wynosi ϕ=30^o; b) ur=

[

0,2,−2

]

, vr=2ir−3kr+4rj.

Uwaga Przekształcając wzór u vr ur vrcosϕ

ro = otrzymamy wzór do wyznaczenia cosinusa kąta ϕ między wektorami ur,vr

v u

v cos ur r or r

= ⋅

ϕ .

Kąt między wektorami ur,vr symbolicznie zapisujemy ^∠

( )

^u^r^v^r .

Przykład 10 Obliczyć cosinus kąta między wektorami ^u^r^,^v^r jeśli: ur=3rj+2ir−kr,vr= AB^→ , gdzie A

(

−1 ,,64

)

,

(

3,5,−1

)

B .

Własności iloczynu skalarnego wektorów

Niech ur, vr, wr będą dowolnymi wektorami, α dowolną liczbą.

Wtedy:

1. u v v ur ro or

r =

2.

(

u v

)

w u w v wr ro or r or r

r+ = + ;

3.

(

^u ^vr

) ( )

^ur o^v^r

ro α

α = ;

4. u ur ur² ro = ; 5. r 0 r 0r

rou= ⇔u=

u ;

6. u vr ur vr ro = 0⇔ ⊥ .

7. Iloczyn skalarny jest dodatni jeśli kąt pomiędzy wektorami jest ostry i ujemny jeśli kąt ten jest rozwarty.

Przykład 11 Dla jakiej wartości parametru m wektory ur=

[

m,2m,m−2

]

, ^v^r⁼

[

⁴^,⁻⁵^,²

]

są prostopadłe?

Uwaga Korzystając z własności iloczynu skalarnego można wyprowadzić wzór na wektor ur_vr będący rzutem prostokątnym wektora ur na oś o kierunku wektora vr , mianowicie v

v v

u_v u r

r or r_r = r ₂ ⋅

lub

Przykład 12 Znaleźć rzut prostokątny wektora ur=

[

1,−3,2

]

na wektor vr=

[

4,−5,3

]

.

4. Iloczyn wektorowy

Mówimy, że wektory ur=

[

ux,uy,uz

]

, vr=

[

vx,vy,vz

]

, wr=

[

wx,wy,wz

]

tworzą układ o orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych, jeśli

>0

z y x

w w w

v v v

u u u

.

W przypadku, gdy wyznacznik jest mniejszy od zera mówimy, że orientacja układu wektorów ur, vr, wr jest przeciwna do orientacji układu współrzędnych. Jeśli wyznacznik zeruje się, to wektory leżą w jednej płaszczyźnie.

ur

vr urvr

urvr v vv urr

(5)

Def. Iloczynem wektorowym (oznaczanym ur ×vr) dwóch wektorów ur,vr nazywamy wektor wr, który spełnia warunki:

1. wr ⊥ur, wr ⊥vr, 2. ^w^r =^u^r^v^r^sin∠

( )

^u^r^v^r ,

3. orientacja wektorów ur,vr,wr jest zgodna z orientacją układu współrzędnych.

Należy pamiętać, że iloczyn wektorowy jest wektorem.

Jeśliur=

[

ux,uy,uz

]

i vr=

[

vx,vy,vz

]

, to iloczyn wektorowy możemy wyliczyć ze wzoru

z y x

v v v

u u u

k j i v u

r r r r r× =

Przy obliczaniu powyższego wyznacznika wersowy ir,rj,kr należy traktować formalnie tak jak liczby.

UWAGA.

Kolejność wykonywania działań na wektorach:

1. iloczyn wektorowy ur ×vr

2. iloczyn skalarny u vr ro

Przykład 13 Wyznaczyć iloczyn wektorowy wektorów ur,vr jeśli: ur=

[

0,2,−2

]

, vr=2ir−3kr+4rj.

Własności iloczynu wektorowego

Niech ur, vr, wr będą dowolnymi wektorami, α dowolną liczbą.

Wtedy:

1. ur×vr=−vr×ur

2.

(

^u^r+^v^r

)

×^w^r=^u^r×^w^r+^v^r×^w^r; ^w^r×

(

^u^r+^v^r

)

=^w^r×^u^r+^w^r×^v^r

3.α

(

ur×vr

) ( )

= αur ×vr=ur×

( )

α vr

4. ur×vr=0r⇔ur vr

5. ur× ur=0r

6. ur×rv=P gdzie P to pole równoległoboku zbudowanego na wektorach u rr,v

Przykład 14 Wyznaczyć pole trójkąta ABC jeśli A

(

2,−4,3

)

, B

(

−2,−3,5

)

, C

(

0,−3,2

)

. v

u P= r ×r vr

X

Y Z

ur v ur × r

X

Y Z

ur v vr

ur × r

. .

(6)

ur wr H

v u P= r ×r

Przykład 15 Dla jakiej wartości parametru m wektory ur=

[

m,2,−1

]

, vr=

[

2,−4,2

]

są równoległe?

5 Iloczyn mieszany wektorów

Def. Iloczyn mieszanym wektorów ur,vr,wr określamy wzorem

(

^u^r^,^v^r^,^w^r

) (

⁼ ^u^r^×^v^r

)

_o^w^r

Jeśli ur=

[

ux,uy,uz

]

, vr=

[

vx,vy,vz

]

, wr=

[

wx,wy,wz

]

to iloczyn wektorowy możemy wyliczyć ze wzoru

( )

z y x

w w w

v v v

u u u w , v , ur r r =

Należy pamiętać, że iloczyn mieszany jest liczbą.

Przykład 16 Wyznaczyć iloczyn mieszany wektorów ar, br

, cr jeśli ar=−kr−3rj+2ir , br ir kr rj

− +

−

= 2 ,

i k j

cr=2r−r+2r.

Własności iloczynu mieszanego

Niech ur, vr, wr, rr będą dowolnymi wektorami, α dowolną liczbą.

Wtedy:

1.

(

ur,vr,wr

) (

= vr,wr,ur

) (

= wr,ur,vr

)

2.

(

^u^r^,^v^r^,^w^r

) (

⁼⁻^v^r^,^u^r^,^w^r

)

3.

(

^u^r+^r^r^,^v^r^,^w^r

) (

= ^u^r^,^v^r^,^w^r

) (

+ ^r^r^,^v^r^,^w^r

)

4. α

(

ur,vr,wr

) (

= αur,vr,wr

)

5. wektory ur, vr, wr leżą w jednej płaszczyźnie wtedy i tylko wtedy gdy

(

ur,vr,wr

)

=0 (stąd wynika jeszcze jedna własność - jeżeli w iloczynie mieszanym powtórzy się jakiś wektor, to iloczyn będzie równy zero, czyli np.

(

ur,vr,ur

)

=0)

6. wartość bezwzględna iloczynu mieszanego wektorów jest równa objętości równoległościanu rozpiętego na wektorach ur, vr , wr, czyli

(

u,v,w

)

V = r r r

Przykład 17 Wyznaczyć objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach

2 0 =15

= ,a b

a r r

ro , br

, cr jeśli

[

2−1−2

]

= , ,

ar , br ur vr wr 3 2 + +

= , cr= rj−kr+2ir.

Przykład 18 Wyznaczyć długość dowolnej wysokości równoległościanu rozpiętego na wektorach ur , vr , wr jeśli ur=

[ ]

2 ,,13 , vr=

[

−1 ,,23

]

, wr=

[

2,−3,−1

]

.

ur vr wr