Matematyka Dyskretna Wykªad: Kombinatoryka zbiorów

Matematyka Dyskretna

Wykªad: Kombinatoryka zbiorów

Tomasz Krawczyk

krawczyk@tcs.uj.edu.pl

Kraków, semestr letni 2020/21

Plan wykªadu

Plan wykªadu:

I Krata zbiorów B _n = (2 ^{[ n]} , ⊆) oraz nierówno±¢ LYM (Lubella, Yamamoto i Meshalkina),

I Twierdzenie Erd®sa-Ko-Rado.

Krata zbiorów B n

Dla ka»dego n ∈ N niech

B

= ( 2

, ⊆)

oznacza cz¦±ciowy porz¡dek skªadaj¡cy si¦ ze wszystkich podzbiorów zbioru [n]

uporz¡dkowany relacj¡ inkluzji ⊆.

Pytania:

I Jaka jest wysoko±¢ porz¡dku B

? I Jaka jest szeroko±¢ porz¡dku B

?

I wiele innych w kombinatoryce ekstremalnej.

Porz¡dki B n dla maªych warto±ci n

Wªasno±ci B

dla maªych warto±ci n (patrz rys. 1):

I Porz¡dek B

skªada si¦ z 1 elementu, zbioru pustego ∅, ma szeroko±¢ i wysoko±¢ 1.

I Porz¡dek B

skªada si¦ z 2 elementów, ∅ oraz {1}, ma szeroko±¢ 1 i wysoko±¢ 2.

I Porz¡dek B

skªada si¦ z 4 elementów, ∅, {1}, {2}, {1, 2}, ma szeroko±¢ 2 i wysoko±¢ 3.

I Porz¡dek B

skªada si¦ z 8 elementów,

∅, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}, ma szeroko±¢ 3 i wysoko±¢

4.

Obserwacja:

Porz¡dek B

ma wysoko±¢ n + 1.

Pytanie:

Jak¡ szeroko±¢ ma porz¡dek B

? Innymi sªowy, jaki jest rozmiar maksymalnego antyªa«cucha w B

?

Antyªa«cuchy w B

, to jest, rodziny zbiorów w których »aden zbiór nie zawiera

si¦ w drugim, nosz¡ nazw¦ rodzin Spernera.

Szeroko±¢ porz¡dku B n

Pytanie:

Jaki jest rozmiar maksymalnego antyªa«cucha w B

= ( 2

, ⊆) ? Spostrze»enia:

I rodzina

, rozmiaru

, skªadaj¡ca si¦ z k-elementowych podzbiorów zbioru [n] jest antyªa«cuchem w B

,

I zachodzi:

n 0

!

< n 1

!

< . . . < n b

c

!

= n

d

e

!

< . . . n n − 1

!

< n n

! , przy czym, gdy n jest nieparzyste mamy b

c 6= d

e oraz

2c

=

2e

oraz gdy n jest parzyste mamy b

c = d

e =

oraz b

c = d

e, I

2c

oraz

gdy n nieparzyste oraz

gdy n parzyste, s¡ dobrymi

kandydatami na antyªa«cuchy maksymalne w porz¡dku B

(patrz rys. 2).

Nierówno±¢ LYM

Nierówno±¢ LYM (Lubella, Yamamoto i Meshalkina):

Niech F b¦dzie antyªa«cuchem w kracie B

oraz niech f

b¦dzie liczb¡

wszystkich elementów z F o liczno±ci k. Wtedy:

n

X

k=0

f

6 1 (nierówno±¢ LYM) . W szczególno±ci,

|F | 6 n b

c

! .

Zauwa»my, »e nierówno±¢ LYM implikuje |F| 6

. Istotnie, z faktu

nk

6

otrzymujemy:

n

X

k=0

f

6

n

X

k=0

f

6 1, co dowodzi P

f

= |F | 6

.

dowód nierówno±ci LYM

Rozpatrzmy zbiór:

C =



( F , C) : F jest elementem z F a C jest maksymalnym na liczno±¢ ªa«cuchem w B

zawieraj¡cym F .



Zauwa»my, »e:

I ka»dy maksymalny na liczno±¢ ªa«cuch w B

zawiera dokªadnie n + 1 elementów i jest jednoznacznie wyznaczony przez permutacj¦ elementów [n] (przykªadowo, ªa«cuch ∅, {2}, {2, 3}, {2, 3, 1} w B

odpowiada permutacji 2, 3, 1),

I ka»dy maksymalny ªa«cuch z B

mo»e nale»e¢ do co najwy»ej jednej pary ze zbioru C (zatem |C| 6 n!),

I ka»dy element F z antyªa«cucha F mo»e nale»e¢ do dokªadnie

|F |! · (n − |F |)! par ze zbioru C. Istotnie, ka»dy ªa«cuch C taki, »e

( F , C) ∈ C, odpowiada permutacji [n], w której pierwsze |F | elementów

zajmuj¡ podzbiory F .

dowód nierówno±ci LYM

Zliczmy elementy zbioru C na dwa sposoby:

I zliczaj¡c liczb¦ elementów z C zawieraj¡cych ustalony element F z F: dla ka»dego F ∈ F mamy |F |!(n − |F |)! par w zbiorze C zawieraj¡cych zbiór F ,

I zliczaj¡c wszystkie maksymalne ªa«cuchy z B

wyst¦puj¡ce w C, których jest co najwy»ej n!, jako »e ka»dy ªa«cuch mo»e wyst¡pi¢ w c co najwy»ej jeden raz.

Zatem:

X

F ∈F

|F |!(n − |F |)! = |C| 6 n!

St¡d otrzymujemy:

X

F ∈F

| F |!(n − |F |)!

n! = X

F ∈F

1

n

|F |

6 1, co prowadzi do:

n

X

k=0

f

nk

6 1.

Twierdzenie Erd®sa-Ko-Rado

Rodzin¦ F podzbiorów zbioru [n] nazywamy parami przecinaj¡c¡ si¦ je»eli ka»de dwa zbiory z F maj¡ niepuste przeci¦cie.

Pytania:

I Jaki jest najwi¦kszy rozmiar rodziny parami przecinaj¡cych si¦ podzbiorów zbioru [n]?

I Jaki jest najwi¦kszy rozmiar rodziny parami przecinaj¡cych si¦

k-elementowych podzbiorów zbioru [n]?

Odpowiedzi:

I Pytanie 1: 2

(np. wszystkie podzbiory zbioru [n] zawieraj¡ce element 1),

I Pytanie 2: Je»eli n 6 2k − 1, odpowied¹ to

, gdy» wtedy ka»de dwa zbiory si¦ przecinaj¡. Je»eli n ≥ 2k, sugerowana odpowied¹ to

(realizowana przez wszystkie podzbiory k-elementowe zbioru [n]

zawieraj¡ce 1).

Twierdzenie Erd®sa-Ko-Rado

Twierdzenie Erd®sa-Ko-Rado:

Niech n, k ∈ N b¦d¡ takie, »e n ≥ 2k. Niech F b¦dzie rodzin¡

parami przecinaj¡cych si¦ podzbiorów k-elementowych zbioru [n].

Wtedy:

|F | 6

 n − 1 k − 1



.

dowód twierdzenie EKR

Permutacj¡ cykliczn¡ zbioru [n] nazywamy graf skierowany na zbiorze [n]

tworz¡cy cykl rozmiaru n.

Wszystkich permutacji cyklicznych zbioru [n] jest dokªadnie (n − 1)!.

Przykªad: [2, 1, 4, 3] to permutacja cykliczna reprezentuj¡ca graf skierowany 2 → 1 → 4 → 3 → 2. Zauwa»my, »e [2, 1, 4, 3] to to samo co [1, 4, 3, 2].

Dowód Twierdzenia Erd®sa-Ko-Rado:

Rozpatrzmy zbiór:

C =







( F , C) : F jest elementem z F a C jest cykliczn¡

permutacj¡ zbioru [n], w której elementy F tworz¡ spójny przedziaª.







Dla przykªadu, w permutacji cyklicznej [3, 1, 2, 4, 5, 6] zbioru [6] elementy 5, 6, 3

tworz¡ przedziaª spójny.

dowód twierdzenia EKR

Zliczamy elementy C na dwa sposoby:

I ka»dy element F ∈ F nale»y do dokªadnie k!(n − k)! par ze zbioru C (generujemy permutacj¦ cykliczn¡ [n] zawieraj¡c¡ F poprzez ustawienie najpierw k elementów z F w dowolnej kolejno±ci, a nast¦pnie elementów z [n] \ F w dowolnej kolejno±ci),

I ka»da permutacja cykliczna C mo»e nale»e¢ do co najwy»ej k par ze zbioru C:

I

zaªó»my, »e a

, a

, . . . , a

jest podci¡giem spójnym permutacji cyklicznej C taki, »e zbiór A = {a

, a

, . . . , a

} nale»y do F,

I

zauwa»my, »e dla ka»dego i ∈ [k − 1] istnieje dokªadnie jeden

element B z rodziny F taki, »e albo a

∈ B i a

∈ / B albo

a

∈ / B i a

∈ B.

dowód twierdzenia EKR

Korzystaj¡c z poprzednich uwag mamy:

X

F ∈F

k!(n − k)! 6 |C| 6 k · (n − 1)!,

co prowadzi do:

|F | 6 k(n − 1)!

k!(n − k)! = ( n − 1)!

( k − 1)!((n − 1) − (k − 1))! = n − 1 k − 1

!

.