Zadania omawiane na ćwiczeniach lub w w pracach domowych. Znakiem + staram się oznaczyć zadania (lub ich części) już omówione.
Porcja dotycząca twierdzenia Brouwera i pokrewnych. (Oznaczenia jak w notatkach do wykładu.) A. + Przypomnieć sobie wiadomości dotyczące homotopii przekształceń, ujęte w zadaniu na str. 1 notatek do wykładu.
B. a) + Własność punktu stałego ma charakter topologiczny: jeśli przysługuje ona pewnej przestrzeni X, to przysługuje też każdej przestrzeni homeomorficznej z X.
b) + Podobnie, jeśli nie istnieje ciągła retrakcja przestrzeni X na jej podprzestrzeń X0, to nie istnieje też ciągła retrakcja X0 na X00, gdy para (X0, X00) jest homomorficzna z parą (X, X0) (tzn., gdy X00 = f (X0) dla pewnego homeomorfizmu f : X → X0.)
c) Retrakt przestrzeni, mającej własność punktu stałego, też ma tę własność.
d) Retrakt przestrzeni ściągalnej też jest przestrzenią ściągalną.
Definicja. Zbiór I∞ = {x = (xn)∞n=1 : xn ∈ I dla każdego n} rozpatrujemy z topologią, wyznaczoną przez metrykę d(x, y) = maxn 1
n|xn−yn|. (Ta przestrzeń topologiczna nazywana jest kostką Hilberta.) 1. + a) Niech (X, d) będzie zwartą przestrzenią metryczną i niech dla każdej liczby ε > 0 istnieje przekształcenie fεz X w podprzestrzeń Xε⊂ X mającą własność punktu stałego, takie, że d(fε(x), x) <
ε dla x ∈ X. Dowieść, że X ma własność punktu stałego.
b) Wywnioskować, że kostka Hilberta I∞ ma własność punktu stałego. (Wskazówka: zbadać d(fn(x), x) dla x ∈ I∞ i fn będącego naturalnym rzutowaniem na {(xj)∞j=1 : xj = 0 dla j > n}.
2. + a) Dane jest przekształcenie f : Bn → Rn. Dowieść twierdzenia Bohla: istnieje punkt stały dla f lub punkt x ∈ Sn−1 taki, że f (x) = tx dla pewnego t > 1. ( Wskazówka: złożyć f z retrakcją r : Rn→ Bn, daną wzorem r(x) = x gdy kxk ≤ 1 i r(x) = x/kxk gdy kxk ≥ 1.)
b) Wywnioskować, że gdy przekształcenie f : Rn → Rn ma tę własność, że zbiór {x ∈ Rn : f (x) ∈ (1, ∞) · x} jest ograniczony, to ma ono punkt stały.
c) Wywnioskować też, że gdy przekształcenie f : Bn → Rn spełnia warunek f (Sn−1) ⊂ Bn, to ma ono punkt stały.
d) Ogólniej, jest tak i gdy hf (x), xi ≤ 1 dla x ∈ Sn−1. (Jak interpretować tę nierówność?)
3. + a) Oznaczmy przez C stożek [0, ∞)n \ {(0, ..., 0)}. Dowieść, że dla każdego przekształcenia f : C → C istnieje punkt x ∈ C i skalar t ≥ 0, dla którychf (x) = tx. (Wskazówka: rozważyć obcięcie f do sympleksu ∆ := {x ∈ C :P
ixi = 1}.)
b) Uzyskać stąd twierdzenie Frobeniusa: każda n × n–macierz o wyrazach nieujemnych ma pewną nieujemną wartość własną.
4. + a) Zauważyć, że gdy f : Bn→ Rnjest przekszałceniem takim, że 0 6∈ f (Sn−1) i f|Sn−1 : Sn−1 → Rn∗
jest istotne w Rn∗, to 0 ∈ f (Bn). Tak samo jest, gdy Bn zastąpić przez kostkę [−1, 1]n, a Sn−1 przez brzeg tej kostki w Rn.
b) Gdy f : Bn → Rn jest przekształceniem i dla każdego x ∈ Sn−1 kąt x0f (x) jest ostry lub f (x) = 0, to 0 ∈ f (Bn). (Wskazówka: a) i wniosek 1b) na str. 4 notatek do wykładu.)
5. + Oznaczmy przez Jn kostkę [−1, 1]n, a przez Fk+= {x ∈ Jn: xk = 1} i Fk− = {x ∈ Jn: xk = −1}
jej ściany (k = 1, ..., n).
a) Podobnie jak wyżej w 4b), dowieść twierdzenia Poincaré’go–Mirandy: jeśli przekształcenie f = (f1, ...., fn) : Jn → Rn jest takie, że fk(Fk−) ⊂ (−∞, 0] i fk(Fk+) ⊂ [0, ∞) dla k = 1, ..., n, to f (x) = 0 dla pewnego x ∈ Jn.
b) Niech Aεk będą takimi zwartymi podzbiorami kostki Jn, że Aεk ⊃ Fkε dla k = 1, ..., n i ε = +, −.
Dowieść, że jeśli A+k ∩ A−k = ∅ dla k = 1, ..., n, to Sn
k=1(A+k ∪ A−k) 6= [−1, 1]n. (Wskazówka: przyjąć
fi(x) = dist(x, A−i ) − dist(x, A+i ); zbadać, czy może być x ∈ A+i ∪ A−i jeśli fi(x) = 0.)
c) Wywnioskować też z a), że gdy przekształcenie g : Jn → Rn jest takie, że g(Fkε) ⊂ Fkε dla k = 1, ..., n i ε = ±, zaś przekształcenie h : Jn→ Jn jest dowolne, to g(x) = h(x) dla pewnego x ∈ Jn. W szczególności, g(Jn) ⊃ Jn. (Wskazówka: wziąć f = g − h.)
6. + Niech X będzie zwartym zbiorem wypukłym w przestrzeni Rn i niech p ∈ int(X). Dowieść, że czwórki (Rn, X, int(X), {p}) i (Rn, Bn, Bn, {0}) są homeomorficzne, tzn. istnieje homeomorfizm Rn na Rn, przeprowadzający X na Bn, wnętrze int(X) zbioru X na Bn, zaś p na 0.
7. + (Podsumowanie kilku wcześniejszych zadań.) X i p są jak w zadaniu poprzednim.
a) Niech f : X → Rn będzie przekszałceniem takim, że p ∈ f (Fr(X)) albo przekształcenie f|Fr(X) : Fr(X) → Rn\ {p} jest istotne w Rn\ {p}. Dowieść, że p ∈ f (X).
b) Dowieść, że założenia w a) są spełnione, jeśli dla każdego punktu x ∈ Fr(X), punkt p nie leży na odcinku otwartym (x, f (x)). Dowieść też, że ma to miejsce w każdym z następujących przypadków:
i) kx − f (x)k ≤ kx − pk dla każdego punktu x ∈ Fr(X);
ii) dla każdego punktu x ∈ Fr(X), kąt pxf (x) jest niezerowy lub nieokreślony. (To ostatnie ma miejsce, gdy x = f (x).)
iii) X = [−1, 1]n, p = 0, zaś f ma tę własność, że f ({x ∈ X : xi = −1}) ⊂ {y ∈ Rn : yi ≤ 0} i f ({x ∈ X : xi = 1}) ⊂ {y ∈ Rn: yi ≥ 0}, dla i = 1, ..., n.
iv) X jest zwartym wielościanem wypukłym, a f przeprowadza każdą jego n − 1–ścianę w nią samą.
(Nie definiuję, czym jest taki wielościan i jego n − 1–ściany; wystarcza wiedzieć, że Fr(X) jest sumą tych ścian i że są one wypukłe. Obejmuje to przypadki gdy X = In czy X =sympleks.)
8. + Kostkę Jn pokryto n zbiorami domkniętymi. Dowieść, że któryś z nich zawiera zbiór spójny, przecinający dwie przeciwległe ściany kostki. (Wolno korzystać z tego, że gdy zbiór zwarty nie zawiera żadnego zwartego zbioru spójnego, przecinającego dane dwa rozłączne zbiory zwarte A, B ⊂ Jn, to jest on sumą dwóch rozłącznych zbiorów zwartych, z których każdy przecina tylko jeden ze zbiorów A, B.
Wskazówka do 6: 5b).)
9. + (Z Topologii 1, ale dość trudne. Wykorzystane było w zadaniu poprzednim.) A i B są domknię- tymi, rozłącznymi i niepustymi podzbiorami przestrzeni zwartej X. Dowieść, że albo istnieje zwarty zbiór spójny, przecinający A i B, albo też X jest sumą dwóch rozłącznych zbiorów zwartych, z których każdy przecina tylko jeden ze zbiorów A, B.
10. Piszmy X ∈ EN R jeśli przestrzeń X jest homeomorficzna z retraktem zbioru otwartego w którejś z przestrzeni Rn, n ∈ N. Udowodnić, że:
a) + Gdy X ∈ EN R i Y jest zbiorem otwartym w X, to Y ∈ EN R.
b) + Gdy Y jest retraktem przestrzeni X ∈ EN R, to Y ∈ EN R.
c) Dla X := Rn× {0} ∪ {0n} × R ⊂ Rn+1 udowodnić, że X ∈ EN R.
11. + a) Dowieść, że gdy zbiór X ⊂ Rn jest gwiaździsty względem pewnego punktu p ∈ Rn, to jest ściągalny. („Gwiaździstość” ta oznacza, że dla każdego punktu x ∈ X, odcinek [p, x] jest zawarty w X.)
b) Retrakt przestrzeni ściągalnej też jest przestrzenią ściągalną.
c) Niech X = [0, 1] × {0} ∪S
n∈N{1/n} × [−1/n, 1/n]. Dowieść, że X jest przestrzenią ściągalną z własnością punkt stałego. (Wskazówka: skonstruować retrakcję trójkąta conv(X) na X.)
d) Dowieść też, że powyższa przestrzeń X jest retraktem płaszczyzny R2. (Wskazówka: j.w.) 12. Niech A będzie zbiorem zwartym w C∗. Dowieść, że podniesienie włożenia iA: A ,→ C∗ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy 0 należy do nieograniczonej składowej zbioru C \ A. (Wskazówka: jedno z twierdzeń Borsuka .)
13. Niech zwarta przestrzeń metryczna X będzie sumą dwóch swych domkniętych podzbiorów A i B, mających spójne przecięcie A ∩ B. Udowodnić, że przekształcenie f : X → C∗, którego oba obcięcia f|A
i f|B są nieistotne, samo jest nieistotne. (Jest to lemat Eilenberga. Wskazówka: wziąć podniesienia funkcji f|A i f|B i dodając stałą do jednego z nich, uzyskać zgodność na A ∩ B.)
14. a) Niech przestrzeń X będzie zwarta. Dowieść, że przekształcenia f, g : X → C∗ są homotopijne w C∗ wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloraz f /g jest przekształceniem nieistotnym w C∗.
b) Wywnioskować, że zbiór zwarty Z ⊂ C rozcina C między p i q wtedy i tylko wtedy, gdy prze- kształcenie fZ := (iZ− p)/(iZ− q) jest istotne (w C∗).
c) Udowodnić twierdzenie Janiszewskiego: gdy A, B ⊂ C są zbiorami zwartymi o spójnym przecięciu A ∩ B, przy czym ani A, ani B nie rozcina płaszczyzny C między wskazanymi punktami p, q ∈ C \ (A ∪ B), to A ∪ B też nie rozcina C między p i q. (Wskazówka: w oparciu o lemat Eilenberga, zastosować b) przy Z = A, B, A ∪ B.)
15. + a) Przeczytać na str. 15 notatek lub przypomnieć sobie z zajęć Top. I, czym jest konkatenacja ścieżek i ścieżka przeciwna do danej.
b) Udowodnić, że gdy ścieżki γ, γ0 : [a, b] → C różnią się tylko na przedziale (t−, t+) ⊂ [a, b], to ind(γ, z) − ind(γ0, z) = ind(γ|[t−,t+]? (γ|[t0
−,t+])←, z) dla z 6∈ im(γ) ∪ im(γ0).
16. + (Zadanie to było wykorzystane w rozwiązaniu zadania 9.) Udowodnić, że składowa spójności punktu w przestrzeni zwartej X jest zarazem przecięciem wszystkich zbiorów domknięto–otwartych w X, do których ten punkt należy.
17. + Niech W = {(1, 0, ..., 0), ..., (0, ..., 0, 1)} ⊂ Rn. Dla skończonego zbioru E ⊂ W oznaczmy przez
∆(E) jego powłokę wypukłą w Rn. Niech też ∆ := ∆(W ).
a) Udowodnić zasadę Knastera – Kuratowskiego – Mazurkiewicza: gdy rodzina {Ke}e∈E zwartych zbiorów Ke ⊂ ∆ spełnia warunek ∆(E) ⊂ S
e∈EKe dla każdego E ⊂ W , to T
e∈W Ke 6= ∅.
(Wskazówka: przy zaprzeczeniu tezy podporządkować pokryciu {∆ \ Ke : e ∈ W } podział jedynki (λe)e∈W i dowieść, że funkcja ∆ 3 x 7→P
eλe(x)e nie ma punktu stałego.1)
b) Wywnioskować, że gdy {Ke : e ∈ W } jest domkniętym pokryciem sympleksu ∆, takim, że Ke∩ ∆(W \ {e}) = ∅ dla każdego e ∈ W , to T
eKe6= ∅.
c) Dowieść dalej istnienia takiej liczby δ > 0, że każde skończone pokrycie K sympleksu ∆, złożone ze zbiorów domkniętych o średnicy < δ, zawiera n zbiorów z niepustym przecięciem. (Wskazówka:
dowieść, że jeśli liczba δ jest dostatecznie mała, to K można podzielić na takie podrodziny Ke, e ∈ W, by przy Ke:=S Ke spełnione były założenia w b).)
Uwaga. i) Część c) jest podstawą do zdefiniowania wymiaru Lebesgue’a zwartej przestrzeni me- tryzowalnej X: przyjmuje się dim X ≥ n − 1, jeśli zachodzi c) przy sympleksie ∆ zastąpionym przez X. (Wybór metryki d jest nieistotny, ze względu na zwartość X.)
ii) Rysunek z ćwiczeń pokazuje, że nie jest prawdą, by dim I2 ≥ 3, choć dim I2 ≥ 2 na podstawie zadania 17. (Dlaczego?) Podobnie jest w wyższych wymiarach.
18. Przypomnieć sobie wiadomości o stopniu przekształcenia okręgu w okrąg lub przeczytać to, co zapisałem w §3.5 notatek na str. 19.
19. + Niech f : S1 → S1 będzie przekształceniem. Dowieść, że:
a) Jeśli f (−z) = f (z) dla wszystkich z ∈ S1, to deg(f ) ∈ 2Z. (Wskazówka: zachodzi f (z) = g(z2) dla pewnego g : S1 → S1; skorzystać z wniosku 1b).)
b)Jeśli f (−z) = −f (z) dla wszystkich z ∈ S1, to deg(f ) ∈ 2Z + 1. (Jest to przypadek n = 1 twierdzenia Borsuka. Wskazówka: zastosować a) do pętli z 7→ zf (z).)
c) Jeśli deg(f ) 6= 0, to f jest „na”. Wywnioskować, że gdy deg(f ) 6= 1, to f ma punkt stały. Oboma razy, czy założenie o deg(f ) jest istotne?
1Można przyjąć bez dowodu, że gdy U jest skończonym pokryciem otwartym sympleksu ∆, to istnieje podporządko- wany mu podział jedynki: taki układ {λU}U ∈U funkcji ciągłych λU ≥ 0, żeP
UλU = 1 i λU(X \ U ) = {0} dla U ∈ U .
20. Niech n ∈ Z≥1. Dowieść, że każda z poniższych tez wynika z poprzedniej. Dowieść też tezy i) dla n = 1, 2 (gdy n = 2 skorzystać z części b) poprzedniego zadania):
i) Gdy przekształcenie f : Sn−1→ Rn∗ jest nieparzyste, tzn. takie, że f (−p) = −f (p) dla każdego punktu p dziedziny, to jest ono istotne (w Rn∗).
ii) Nie istnieje nieparzyste przekształcenie z Snw Rn∗. (Równoważnie: gdy przekształcenie f : Sn→ Rn jest nieparzyste, to f (p) = 0 dla pewnego p ∈ Sn.)
iii) Każde odwzorowanie f : Sn → Rn przeprowadza pewne dwa antypodyczne punkty p, −p w ten sam punkt. (Wskazówka: rozpatrzeć funkcję z 7→ f (z) − f (−z).)
iv) Gdy A0, A1, ..., An są zbiorami takimi, że A0 ∪Sn
i=1(Ai ∪ (−Ai)) = Sn, to A0 ∩ (−A0) 6= ∅ lub Ai ∩ (−Ai) 6= ∅ dla pewnego i = 1, 2, ..., n. (Wskazówka: wziąć za p punkt dany przez iii) dla f = (fi)ni=1 : Sn → Rn, gdzie fi(x) := dist(x, Ai) − dist(−x, Ai); zauważyć, że jeśli Ai∩ (−Ai) = ∅, to p, −p 6∈ Ai∪ (−Ai). Por. wskazówkę do zadania 5b) w §1.1.)
v) Gdy sferę Sn pokryć n + 1 zbiorami, z których każdy jest domknięty lub otwarty w Sn, to któryś z nich zawiera dwa antypodyczne punkty.
(O prawdziwości tych tez orzekają twierdzenia Borsuka–Ulama i Lusternika–Sznirelmana.) 21. + Niech f : S1 → S1 będzie przekształceniem.
a) Dowieść, że jeśli f jest nieistotne, to f (p) = f (−p) dla pewnego p ∈ S1. (Wskazówka: rozpatrzeć podniesienie f , skorzystać z powyższej tezy iii) dla n = 1.)
b) Dowieść tego samego, gdy deg(f ) ∈ 2Z. (Wskazówka: rozpatrzeć z 7→ f (z)z−n, gdzie n = deg(f ).) Co gdy deg(f ) ∈ 2Z + 1?
22. ∗ Udowodnić, że teza ii) w zadaniu 20 jest równoważna każdej z poniższych:
vi) gdy p1, ..., pn ∈ R[x1, ..., xn+1] są wielomianami jednorodnymi tego samego nieparzystego stopnia, to pewien punkt przestrzeni Rn\ {0} jest ich wspólnym zerem.
vii) gdy każdy z wielomianów p1, ..., pn ∈ R[x1, ..., xn+1] jest sumą jednomianów nieparzystych stopni, to pewien punkt sfery Sn jest ich wspólnym zerem.
Wskazówki: a) Wyprowadzając vii) z vi) skorzystać z tego, że wielomian x21+....x2n+1jest na Snstale równy 1. b) Nieparzystą funkcję ciągłą u : Sn → R można ε–aproksymować przez funkcję wielomianową v i wówczas |12(v(x) − v(−x)) − u(x)| < ε dla x ∈ Sn; w oparciu o to i vii) uzyskać ii).
23. ∗ + Odszukać dowód lub udowodnić „twierdzenie o kanapkach” („Ham–Sandwich Theorem”) dla n = 3: gdy każdy z trzech danych zbiorów mierzalnych w R3 ma miarę skończoną i dodatnią, to pewna płaszczyzna przepoławia każdy z nich (co do miary). Uogólnić na przypadek n > 3, przyjmując za prawdziwą którąś z tez zadania 20.
24. Niech p będzie punktem krzywej Jordana J , zaś f pętlą w ograniczonej składowej zbioru C \ J.
Dowieść, że ind(f, p) = 0.
25. We wstędze Möbiusa i płaszczyźnie rzutowej wskazać nierozcinającą krzywą Jordana, w przypadku wstęgi różną od krzywej brzegowej.
26. Dowieść, że z tezy v) w zadaniu 20 wynika ii), a z ii) wynika i). (Wskazówka: Rn∗ można pokryć n + 1 zbiorami domkniętymi, z których żaden nie zawiera dwóch antypodycznych punktów.)
27. + Niech X, T i Y będą przestrzeniami metryzowalnymi, przy czym przestrzeń X jest zwarta.
Na przestrzeni C(X, Y ) rozpatrujemy metrykę dsup(f, g) := supx∈Xd(f (x), g(x)), gdzie d jest ustaloną metryką, zadającą topologię przestrzeni Y .
a) Dla funkcji F : X ×T → Y i wszystkich t ∈ T określmy funkcję ft: X → Y wzorem ft(.) = F (., t).
Dowieść, że funkcja F jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy ciągła jest funkcja T 3 t 7→ ft∈ C(X, Y ).
b) Dowieść, że gdy metryki ρ i d wyznaczają na Y tę samą topologię, to ρsup i dsup wyznaczają tę samą topologię na C(X, Y ).
c)∗ Dowieść, że podbazą topologii C(X, Y ) jest rodzina zbiorów NK,U := {f ∈ C(X, Y ) : f (K) ⊂ U }, przy K przebiegającym wszystkie zbiory zwarte K ⊂ X, a U przebiegającym wszystkie zbiory otwarte U ⊂ Y .
Uwaga 1. Dla każdych przestrzeni topologicznych X, Y można w ten sposób zadać tzw. topologię zwarto–otwartą w C(X, Y ). By miała on dostatecznie dobre własności, nakłada się na X i Y pewne warunki, słabsze jednak od tych z zadania 27.
28. + (Wycofuję propozycję referatu „Twierdzenie Stone’a–Weierstassa” i dowód rozłożę na zadania.) Niech X będzie przestrzenia zwartą (jeśli wygodnie, można założyć też metryzowalność); przestrzeń C := C(X, R) rozpatrujemy z metryką „supremum”. Zbiór F ⊂ C jest domknięty w C, zamknięty względem brania kombinacji liniowych i iloczynów funkcji, oraz ma następującą własność: dla każdych x, y ∈ X, jeśli x 6= y, to f (x) 6= f (y) dla pewnej funkcji f ∈ F . Ponadto, F zawiera zbiór funkcji stałych.
a) Dowieść, że |f | ∈ F dla f ∈ F . (Można przyjąć bez dowodu że funkcja t 7→ |t| jest na każdym przedziale granicą jednostajną ciągu wielomianów.)
b) Wykorzystując równość min(s, t) = (s + t − |s − t|)/2 wywnioskować, że zbiór F jest zamknięty względem brania obwiedni górnej i dolnej każdych dwóch jego elementów.
c) Niech u ∈ C i ε > 0 będą dane. Wykorzystać założenia, by dla x, y ∈ X uzyskać funkcję fx,y ∈ F z fxy(y) = u(y) i fxy(x) = u(x). Przyjąć Ux = {s : (u − fxy)(s) < ε}.
d) Przez wybór z (Ux)x∈X pokrycia skończonego i korzystając z b), wywnioskować istnienie dla y ∈ X funkcji fy ∈ F takiej, że fy > u − ε i fy(y) = u(y).
e) Powtarzając to rozumowanie, uzyskać funkcję f ∈ F taką, że u − ε < f < u + ε.
29. Na okregu S1 obieramy ciąg punktów pn := (cos(1/n), sin(1/n)), zbieżny do p0 := (1, 0).
Przez X oznaczmy zbiór S
n[(0, 0), pn], traktowany jako podprzestrzeń płaszczyzny R2. (Inaczej:
X := {tpn : n ≥ 0, t ∈ [0, 1]}.) Dowieść, że retrakcja X na {p0} jest w X homotopijna z prze- kształceniem identycznościowym idX : X → X, ale nie jest z idX homotopijna relatywnie {p0}.
30. + Niech B będzie kulą domkniętą w przestrzeni euklidesowej Rn, a S będzie jej brzegiem. Dowieść, że istnieje retrakcja „pełnego walca” X = B × [0, 1] na podprzestrzeń X0 := B × {0} ∪ S × [0, 1], która relatywnie X0 jest w X homotopijna z idX. (Wskazówka: wziąć wpierw n = 1.)
31. a) Dowieść, że brzeg kwadratu jest retraktem deformacyjnym2kwadratu, nakłutego w jego środku.
b) Dowieść, że nakłuty torus (tzn. przestrzeń S1 × S1, z której usunięto punkt) deformacyjnie retrahuje się na bukiet S1∨ S1 –czyli zbiór, homeomorficzny ze znakiem ∞.
c) Na jaki jednowymiarowy zbiór można deformacyjnie zretrahować cylinder S1× [−1, 1] ⊂ C × R, nakłuty w (1, 0)?
d) Powtórzyć a), b) i c), gdy nakłuć jest n.
32. X = S1 ∨ S1, zaś Y jest sumą dwóch rozłącznych okręgów i łuku, mającego z każdym z tych okręgów 1 punkt wspólny. Dowieść, że przestrzenie X i Y są homotopijnie równoważne.
33. Oznaczmy przez π0(X) zbiór wszystkich składowych łukowej spójności danej przestrzeni X, zaś dla łukowo spójnego zbioru C ⊂ X oznaczmy przez [C] składową łukowej spójnosci przestrzeni X, zawierającą zbiór C. Udowodnić, że gdy przekształcenia f : X → Y i g : Y → X są wzajemnie homotopijnie odwrotne (tzn. gf ∼idX i f g∼idY), to funkcje A 7→ [f (A)] i B 7→ [g(B)] są poprawnie określonymi, wzajemnie odwrotnymi bijekcjami między zbiorami π0(X) i π0(Y ).
34. a) Gdy istnieje homotopia ścieżek zamkniętych pomiędzy γ0 ∈ Ω(X, x0) i γ1 ∈ Ω(X, x1), to [γ1] = ω#([γ0]) dla pewnej ścieżki ω od x0 do x1.
2Definicja jest w notatkach, na str. 25.
b) Niech ścieżki ω, ν mają wspólny początek x0 i wspólny koniec x1. Dowieść, że izomorfizmy ω#, ν# : π1(X, x0) → π1(X, x1) różnią się o automorfizm wewnętrzny: ν# = ω# ◦ z, gdzie z jest operacją sprzęgania w grupie π1(X, x0) przez odpowiedni element [λ] tej grupy, tzn. z([γ]) = [λ][γ][λ]−1 dla wszystkich [γ] ∈ π1(X, x0).
c) ∗ Dowieść, że gdy elementy [λ], [µ] grupy π1(X, x0) są w niej sprzężone, to ścieżki λ i µ można połączyć homotopią ścieżek zamkniętych.
35. a) Niech r będzie retrakcją przestrzeni X na jej podprzestrzeń A, zaś i : A ,→ X włożeniem A w X.
Niech dalej a ∈ A. Dowieść, że r∗ : π1(X, a) → π1(A, a) jest epimorfizmem, zaś i∗ : π1(A, a) → π1(X, a) jest monomorfizmem.
b) Dowieść, że w każdy z następujących przypadków nie istnieje retrakcja X na A:
i) X = R3 i podprzestrzeń A jest homeomorficzna z S1; ii) X = S1× B2 i A = S1 × S1;
iii) X jest wstęgą Möbiusa i A jest jej „brzegiem”.
Problem 1. Na krzywej Jordana J dane są dwa punkty a, b, będące końcami danego łuku M , zawartego prócz końców w nieograniczonej składowej dopełnienia krzywej J . Dowieść, że:
a) Składowe zbioru J \ {a, b} można oznaczyć przez K i L tak, by łuk K leżał w nieograniczonej składowej dopełnienia krzywej Jordana L ∪ M , zaś L – w ograniczonej składowej dopełnienia krzywej K ∪ M .
b) Dopełnienie zbioru J ∪ M ma 3 składowe.
36. + (Przypomnienie Top. 1) Przypomnijmy, że przestrzeń jest lokalnie łukowo spójna, jeśli każdy jej punkt ma bazę otoczeń, złożoną ze zbiorów łukowo spójnych. Dowieść, że lokalnie łukowo spójna przestrzeń spójna jest łukowo spójna.3
37. Niech grupa G będzie generowana w sposób wolny przez zbiór S. Dowieść, że:
a) Każdy element grupy jednoznacznie przedstawia się jako zredukowany iloczyn 4 elementów zbioru S.
b) Dla każdej grupy H i każdej funkcji f : S → H, istnieje jedyny homomorfizm f : G → H taki, że f|S = f . (Jest to własność uniwersalności grupy G względem zbioru S jej wolnych generatorów.)
c) Przy oznaczeniach z b), jeśli funkcja f jest różnowartościowa i zbiór f (S) generuje grupę H w sposób wolny, to f jest izomorfizmem grup.
38. + W oparciu o twierdzenie van Kampena wyznaczyć grupę podstawową torusa.
39. Niech ścieżka ω przyjmuje wartości w podprzestrzeni X0 przestrzeni X. Zauważmy, że wyznacza ona izomorfizmy ω0#: π1(X0, ω(0)) → π1(X0, ω(1)) i ω# : (X, ω(0)) → π1(X, ω(1)). Podobnie, inkluzja i : X0 ,→ X wyznacza homomorfizmy i0∗ : π1(X0, ω(0)) → π1(X, ω(0)) i i1∗ : π1(X0, ω(1)) → π1(X, ω(1)).
a) Dowieść, że i1∗ ◦ ω#0 = ω#◦ i0∗.
b) Dowieść, że jądrem homomorfizmu i1∗ jest obraz, przy ω0#, jądra homomorfizmu i0∗. c) Sformułować zależność między obrazami i0∗ i i1∗ i dowieść jej.
40. a) Niech A i B będą podzbiorami grupy G. Dowieść, że grupa G/hhA ∪ Bii jest izomorficzna z (G/hhAii) /hhp(B)ii, gdzie p : G → G/hhAii jest rzutowaniem ilorazowym.
b) Niech w diagramie wypchnięcia (7) zachodzi G2 = {1}. Dowieść, że wówczas v1jest epimorfizmem i ker(v1) = hhu1(G0)ii. W szczególności, jeśli dodatkowo grupa G0jest cykliczna i s jest jej generatorem, to ker(v1) = hhu1(s)ii.
3Mimo, że na ćwiczeniach się zawahałem, jest to poprawna definicja; pewna subtelność pojawia się przy pojęciu lokalnej spójności w punkcie. Rozwiązanie podane przez Państwa kolegę było całkowicie poprawne.
4To zadanie nieco wyprzedza materiał przedstawiony na wykładzie. Potrzebnia definicja jest na str. 28 notatek.
41. ∗ a) Dowieść, że każdy element grupy ha, b|aba−1 = b−1, a3, b3i można zapisać jako słowo bkal, gdzie k i l są nieujemne. Wyznaczyć też liczbę elementów tej grupy.
b) Dowieść, że grupa G := ha, b|a2, b3, (ab)2i jest izomorficzna z grupą symetryczną S3. (Wskazówka:
elementom a, b ∈ F (a, b) przyporządkować odpowiednie cykle w S3 i dowieść, że wyznaczony przez to przyporządkowanie homomorfizm ϕ : F (a, b) → S3 wyznacza też homomorfizm z G w S3.)
42. + Niech X0 będzie silnym retraktem deformacyjnym przestrzeni X (patrz str. 25 notatek) i niech f : X → Y będzie surjekcją, spełniającą 3 warunki: a) f|X\X0 jest 1-1, b) f (x) 6∈ f (X0) gdy x 6∈ X0, i c) f jest przekształceniem ilorazowym. Udowodnić, że f (X0) jest silnym retraktem deformacyjnym przestrzeni Y . (Przypomnienie wiadomości o przekształceniach ilorazowych podaję na str. 40 notatek.
Wskazówka: odpowiednią homotopię przestrzeni Y uzyskać z homotopii przestrzeni X, „przeniesionej”
przez f .)
43. + a) Niech Z = (Bn × I) ∪H X będzie przestrzenią, powstałą przez przyklejenie do X walca Bn × I wzdłuż pewnego przekształcenia H : Sn−1 × I → X. Niech dalej H0 oznacza obcięcie H do podprzestrzeni Bn × {0}, i niech Z0 := (Bn × {0}) ∪H0 X. Dowieść, że przestrzenie Z0 i Z są homotopijnie równoważne. (Wskazówka: zadania 42 i 30.)
b) Dla i = 0, 1 niech Zi = Bn ∪hi X będzie przestrzenią, powstałą przez przyklejenie do X kuli Bn, wzdłuż przekształcenia hi : Sn−1 → X. Dowieść, że jeśli h0 ∼ h1, to przestrzenie Z0 i Z1 są homotopijnie równoważne.
44. Znaleźć prezentację grupy π1(X) w następujących przypadkach:
a) + X jest obrazem n–kąta foremnego po dokonaniu w nim minimalnych identyfikacji, które każdy bok liniowo i bijektywnie identyfikują z kolejnym bokiem, z zachowaniem orientacji.
b) X jest „trąbką Borsuka” (w literaturze częściej nazywaną „dunce hat”), czyli jest obrazem trójkąta ABC po dokonaniu w nim minimalnych identyfikacji, które bok AB liniowo i bijektywnie identyfikują z bokiem BC zachowując orientację, zaś z bokiem CA zmieniając orientację.
c) X jest butelką Kleina.
(Wskazówka: traktować X jako obraz wielokąta, wyznaczyć obraz Y brzegu tego wielokąta, który okaże się bukietem okręgów, i zastosować wniosek 3 ze str. 32 notatek do wykładu.)
d)∗ Dowieść, że w przypadku c) prezentacją może też być ha, b|a2b2i.
45. + Ogólniej, identyfikacje dokonywane w podobnych sytuacjach na zorientowanym brzegu n–
kąta można oznaczać następująco: wypisujemy przy każdym boku literę, symbolizującą zorientowany okrąg, do którego bok ten jest przyklejany, przy czym literę tę opatrujemy dodatkowo znakiem −1, jeśli sklejenie odwraca orientację. Dla przykładu, w poprzednim zadaniu identyfikacje byłyby opisane ciągiem (słowem) aa....a w części a), słowem aaa−1 w części b), zaś słowem aba−1b w części c).
Znaleźć prezentacje grup podstawowych w przypadkach, gdy n = 6, zaś identyfikacje są opisane słowami: 1) aaabbb, 2) aaaa−1bb−1, 3) aabbcc.
46. + (ciąg dalszy zadania 35). Nie istnieje też retrakcja X na A gdy:
iv) X = S1× B2 i A jest okręgiem, który narysuję na tablicy lub można go zobaczyć na str. 16 pod https://www.math.cornell.edu/ hatcher/AT/ATchapters.html
v) X = B2∨ B2 i A = S1 ∨ S1 jest bukietem okręgów brzegowych.
vi)∗ X = B2/{i, −i} (dysk z utożsamionymi dwoma punktami na brzegu) i A ∼= S1∨S1jest obrazem S1 w X.
47. + a) Przeczytać informacje o skończonych CW-kompleksach ze str. 33-34 notatek. (Na wykładzie przedstawiłem je skrótowo.)
b) Zadać dwie różne struktury CW-kompleksu na sferze S2.
c) Zadać strukturę CW-kompleksu na S2∪ J, gdzie J to odcinek, którego końcami są południowy
i północny biegun sfery, oraz na przestrzeni ilorazowej S2/S0, gdzie S0 to dwupunktowy podzbiór S2. 48. Niech p ∈ U , gdzie U jest zbiorem otwartym w Rn i n ≥ 3. Dowieść, że inkluzja U \ {p} ,→ U indukuje izomorfizm π1(U \{p}, x) → π1(U, x), dla x ∈ U \{p}. (Wskazówka: w notatkach twierdzenie 3 na str. 32 lub dowód twierdzenia 1 na str. 26.)
Uwaga 2. Niech X będzie CW–przestrzenią, a X0 ⊂ X zwartym zbiorem ściągalnym, będącym sumą pewnych doklejanych komórek jej CW-kompleksu. Można dowieść, że przestrzeń ilorazowa X/X0 jest homotopijnie równoważna przestrzeni X. Będziemy z tego korzystać, odkładając dowód na później.
49. + Opierając się na tej uwadze i na zadaniu 41c) dowieść, że w każdym z następujących przypadków przestrzenie X, Y czy Z są homotopijnie równoważne:
a) X i Y to przestrzenie, którym w zadaniu 46c) nadawano CW–strukturę.
b) X = S2/S0, a Z to bukiet S2∨ S1.
c) X jest przestrzenią ilorazową (S1 × S1)/(S1× {s0}) i Y = S2∨ S1.
d) X = Sn= Sn/Sk i Y = Sn∨ Sk+1, gdzie Sk = {(xi) ∈ Sn: xi = 0 dla i ≥ k + 2} ⊂ Sn⊂ Rn+1. e) X jest wynikiem doklejenia 3–komórki do sfery S3, wzdłuż przekształcenia określonego na brzegu S2 tej komórki, zaś Y = S3∨ S3.
f)∗ X = (B2× S1)/(S1× S1) i Y = S3∨ S2.
Uwaga 3. Gdy na ćwiczeniach dyskutowane było zadanie 42 pomyślałem, że przejrzyściej było zamie- ścić szczególną jego wersję, którą bezpośrednio wykorzystano w rozwiązaniu zadania 43: gdy X0 jest silnym retraktem deformacyjnym zwartej przestrzeni X, zaś f : A → Y jest przekształceniem zbioru domkniętego A ⊂ X0, to X0∪fY jest silnym retraktem deformacyjnym przestrzeni X ∪fY . (W zadaniu 43 przyjmujmy wyżej X = Bn× I, A = Sn−1× I i X0 = A ∪ (Bn× {ε}), gdzie raz ε = 0, a raz ε = 1.) 50. + Zauważyć, że homomorfizm grup przeprowadza każdy komutator na komutator, więc komutant w komutant. W oparciu o to dowieść, że komutant grupy jest jej podgrupą normalną.
51. Zadanie 1 na str. 40 notatek. (Należy też przeczytać poprzedzającą definicję.)
52. + Zadanie 2 na str. 41 notatek. (Por. zaznaczony na niebiesko zmieniony fragment notatek na str. 41.)
53. + X = Y / ∼, gdzie Y jest domkniętym pięciokątem, z którego usunięto wnętrze trójkąta (wierz- chołki trójkąta nie leżą na brzegu pięciokąta), zaś ∼ jest minimalną relacją równoważności, która każdy bok pięciokąta afinicznie utożsamia z kolejnym jego bokiem, a też każdy bok trójkąta afinicznie utożsa- mia z kolejnym jego bokiem, w obu przypadkach z zachowaniem orientacji i surjektywnie. (Orientacje na brzegach pięciokąta i trójkąta są zgodne.) Wyznaczyć prezentację grupy π1(X)
Uwaga i wskazówka. Zadanie to można rozwiązać na różne sposoby, lecz następujące spojrzenie ma zastosowanie w wielu podobnych sytuacjach. Oznaczmy przez P pięciokąt z usuniętym trójkątem (bez utożsamień). Na przestrzeń X można spojrzeć jako na wynik dolepienia przestrzeni P do dwóch zorientowanych okręgów A i B, przy czym kolejne boki pięciokąta nawijamy na A, a boki trójkąta na B, z zachowaniem orientacji. W zastosowaniu twierdzenia ze str. 32 notatek przeszkadza to, że P nie jest 2-komórką. Możemy jednak rozciąć P wzdłuż odcinka L, łączącego pewien wierzchołek pięciokąta z bliskim mu wierzchołkiem trójkąta, i wtedy otrzymamy 2-komórkę. Inaczej to ujmując, P jest obrazem (5+1+3+1)-kąta, następująco: kolejnych 5 boków dziesięciokąta przyklejamy do kolejnych
„zewnętrznych” boków figury P , następny bok do odcinka L, kolejne 3 boki do kolejnych „wewnętrznych”
boków figury P , a ostatni znów do L, odwracając orientację.
To pozwala spojrzeć na X jako na wynik doklejenia dziesięciokąta do figury F , wyglądającej jak O–O, przy czym każdy bok dziesięciokąta jest doklejony do okręgu A lub do okręgu B lub do łączącego je łącznika C. Gdy okręgi i łącznik są zorientujemy, to doklejenie odbywa się wzdłuż ścieżki A5CB3C←, przy czym grupa odstawowa figury F ma 2 wolne generatory, którymi są A i CBC←.(Za punkt bazowy
rzyjmujemy punkt z A ∩ C.) Teraz wymienione twierdzenie powinno bez kłopotu dać się zastosować, por. zadania 44 i 45.
54. Wyznaczyć prezentację grupy π1(X) w następujących przypadkach:
a) + X jest torusem S1× S1, z którego wycięto dziurę J × J , gdzie J jest małym łukiem otwartym w S1.
b) + X = Y / ∼, gdzie Y jest domkniętym kwadratem, z którego usunięto wnętrze trójkąta (wierz- chołki trójkąta nie leżą na brzegu kwadratu), zaś ∼ jest minimalną relacją równoważności, która każdy bok kwadratu afinicznie utożsamia z kolejnym jego bokiem, a też każdy bok trójkąta afinicznie utoż- samia z kolejnym jego bokiem, w obu przypadkach z zachowaniem orientacji i surjektywnie.
c) X jest dwupreclem, tzn. jest sumą dwóch powyżej opisanych przestrzeni, zlepionych wzdłuż brzegów wyciętych dziur.
55. ∗Do bukietu ∨4i=1S1dolepiono ośmiokąt foremny przekształcając jego kolejne boki na a, b, a←, b←, c, d, c←, d←, gdzie a, b, c, d to zorientowane okręgi bukietu. Dowieść, że otrzymana przestrzeń jest dwupreclem z za-
dania 54b) i ponownie wyznaczyć prezentację jej grupy podstawowej.
56. Przyswoić sobie §III.2.1 notatek o działaniach grup.
57. Opierając się na konstrukcji z twierdzenia 2 na str. 34 notatek (należy ją przeczytać, na wykładzie ją opuściłem), podać przykład spójnej przestrzeni X, dla której π1(X) = Z3⊕ Z4.
58. + Dowieść, że jeśli p : eX → X jest nakryciem, przestrzeń X jest łukowo spójna i x ∈ X, to włókno p−1(x) przecina każdą składową łukowej spójności przestrzeni eX.
59. + Niech p : eX → X będzie nakryciem k–krotnym.
a) Dowieść, że jeśli X jest skończonym CW–kompleksem wymiaru 1, mającym jn n–komórek dla n = 0, 1, to podobnie jest dla eX, przy jn zastąpionym przez kjn.
b)∗ Uogólnić na przypadek, gdy 1 ≤ dim X < ∞.
60. + Przekształcenie f : eX → X nazywamy lokalnym homeomorfizmem, jeśli każdy punkt w X ma otwarte otoczenie w ee X, na którym f jest homeomorfizmem na zbiór otwarty w X. Natomiast powiemy, że f jest lokalnie 1-1, jeśli każdy punkt w eX ma otoczenie, na którym f jest różnowarto- ściowe.
a) Znaleźć przekształcenie S1 → S1∨ S1, które jest lokalnie 1-1, lecz nie jest lokalnym homeomor- fizmem.
b) Znaleźć lokalny homeomorfizm p : (−10, 10) → S1, ścieżkę λ : I → S1 i punktx ∈ pe −1(λ(0)), dla których nie istnieje podniesienie eλ ścieżki λ względem p, spełniające warunek eλ(0) = ex.
61. Wyobrazić sobie 3–krotne5 nakrycie przestrzeni S1 ∨ S1 takie, że przestrzenią nakrywającą jest:
a) suma okręgów S1, S2, S3, S4, z których każdy prócz ostatniego jest zewnętrznie styczny do na- stępnego, i Si∩ Sj = ∅ gdy |i − j| ≥ 2;
b) suma okręgów S1, S2, S3, S4, z których S2, S3, S4 są parami rozłączne i zewnętrznie styczne do S1. W a) tworzyć nakrycie tak, by S1 i S3 przeszły przy p na jeden z okręgów bukietu, a S2 i S4 na drugi; w b) niech S1 przejdzie na jeden z okręgów, a S2, S3 i S4 na drugi.
62. + Niech p : eX → X będzie nakryciem, a Y i Z będą składowymi łukowej spójności przestrzeni eX.
a) Dowieść, że zbiory p(Y ) i p(Z) są równe lub rozłączne.
b) Dowieść, że jeśli przestrzeń X jest spójna i lokalnie łukowo spójna, to p|Y : Y → X jest nakryciem (w tym p(Y ) = X). Wskazówka: zauważyć wpierw, że składowe łukowej spójności przestrzeni eX są otwarte; skorzystać z a).
5nakrycie p : eX → X jest n–krotne, jeśli każde jego włokno p−1(x) jest n–elementowe.
63. + (Zadanie rozwiązywane na ćwiczeniach.) Znaleźć grupę podstawową „dętki z n szprychami, przecinającymi się w punkcie”.
64. a) Niech p ∈ C[x] będzie wielomianem stopnia dodatniego i niech S oznacza zbiór jego wartości krytycznych, tzn. S = {p(z) : p0(z) = 0}. Przyjmijmy T := C \ p−1(S). Dowieść, że p|T : T → C \ S jest nakryciem.
b) Dowieść, że nakryciem jest przekształcenie p : S1×S1 → S1×S1, dane wzorem p(z1, z2) = (z31, z22).
Ilukrotne jest to nakrycie?
65. + Niech p : eX → X będzie nakryciem i niech ścieżka α : I → X będzie zamknięta.
a) Czy może się zdarzyć, że α ma dwa podniesienia (zaczepione być może w różnych punktach), z których jedno jest ścieżką zamkniętą, a drugie – niezamkniętą? (Wskazówka: zbadać np. jedno z nakryć z zadania 61.)
b) Dowieść, że odpowiedź na powyższe pytanie jest negatywna, jeśli przestrzeń eX jest łukowo spójna i dla pewnego punktu x ∈ pe −1(α(0)), grupa Hex := p∗(π1( eX,x)) jest dzielnikiem normalnyme grupy π1(X, x).
66. Dowieść, że każde wolne działanie grupy skończonej na przestrzeni Hausdorffa przez jej home- omorfizmy jest nakrywające.
67. + a) Znaleźć nakrywające działanie grupy na płaszczyznę przez jej izometrie, takie, że przestrzeń orbit jest torusem.
b) To samo przy S1× S1 zastąpionym butelką Kleina.
68. ∗ + Niech G będzie grupą, a S pewnym zbiorem jej generatorów, takim, że 1G 6∈ S. Tworzymy przestrzeń C = Cay(G, S) następująco. Do zbioru G doklejamy rodzinę odcinków {[0, 1]g,s: g ∈ G, s ∈ S}, każdy krańcem 0 do g, a krańcem 1 do iloczynu gs.
Otrzymany zbiór C nazywamy grafem Cayleya pary (G, S), przyklejone odcinki [0, 1]g,s – jego krawędziami, a elementy g ∈ G wierzchołkami.
Na krawędziach zachowajmy metrykę d0 odcinka [0, 1], wyznaczając w ten sposób d0(x, y) dla x, y ∈ C takich, że x i y należą do wspólnej krawędzi (w tym, być może, są jej krańcami). Następnie na C określmy metrykę d wzorem d(x, y) = inf{Pn
i=1d0(xi−1, xi)}, gdzie infimum jest brane po n≥ 1 i takich układach (x0, ..., xn) ∈ Cn+1, że x0 = x, xn = y i każde dwa punkty xi−1 i xi należą do wspólnej krawędzi.
Każdy element h ∈ G działa na krańce każdej krawędzi [0, 1]g,s, mnożąc je z lewej strony przez h;
przy tym hg i hgs są znów krańcami pewnej krawędzi. Dla x ∈ [0, 1]g,s przyjmijmy za hx jedyny punkt krawędzi [0, 1]hg,s , dla którego d(hx, hg) = d(x, g) (a przez to i d(hx, hgs) = d(x, gs)).
Udowodnić, że:
a) Przekształcenie G×C 3 (h, x) 7→ hx ∈ C jest działaniem nakrywającym, przez izometrie grafu C.
b) Gdy zbiór S jest n–elementowy i generuje G w sposób wolny, to przestrzeń C/G jest homeomor- ficzna z bukietem n okręgów. (Wziąć wpierw n = 2 i naszkicować graf C.)
c) Gdy G i S są jak w b), to graf C nie zawiera zamkniętych dróg krawędziowych.
69. Niech p : ( eX,x) → (X, x) będzie nakryciem punktowanym, z łukowo spójną przestrzenią ee X.
a) Dowieść, że p jest homeomorfizmem jeśli p∗(π1( eX,ex)) = π1(X, x).
b) Dowieść, że p jest homeomorfizmem jeśli przestrzeń X jest jednospójna.
70. a) Niech p i p0 będą nakryciami nad X i niech λ, µ ∈ XI.
a) Dla f ∈ M(p, p0) i ex ∈ eX dowieść, że f (x[λ]) = f (e x)[λ] gdy któraś ze stron ma sens.e
b) Dowieść, że przez działanie monodromii, klasa [λ] wyznacza pewną bijekcję u[λ] zbioru p−1(λ(0)) na p−1(λ(1)), przy czym jeśli λ ? µ ma sens, to u[λ?µ] = u[µ]◦ u[λ].
71. Wyznaczyć wszystkie, z dokładnością do izomorfizmu, nakrycia następujących przestrzeni:
a) przestrzeni RPn, gdzie n ≥ 2 jest dane, b) okręgu S1, c) pierścienia B2\ 12B2, d) torusa.
(Wskazówka: twierdzenie 1 na str. 51.)
72. ∗ Niech f : eX → Z i g : Z → X będą przekształceniami, których złożenie p : eX → X jest nakryciem. Zakładamy też, że przestrzeń Z jest spójna i lokalnie łukowo spójna. Dowieść, że f jest nakryciem wtedy i tylko wtedy, gdy jest nim g. (Wskazówka: dowodząc, że f ( eX) = Z, wykorzystać rozumowanie z zadania 62.)
73. Znaleźć dwukrotne nakrycie butelki Kleina torusem.
74. ∗ Niech p : eX → X będzie nakryciem dodatniej skończonej krotności. Dowieść, że jeśli przestrzeń X jest spójna, to istnieje ścieżka zamknięta w X, której żadne podniesienie nie jest ścieżką zamkniętą.e Uwaga. Na ćwiczeniach, proszę zgłaszać też nierozwiązane zadania wcześniejszych serii (dotyczy to i
„życzeń”).
