20marca2011 MichałLipnicki Logika

(1)

Logika

Michał Lipnicki

Zakład Logiki Stosowanej UAM

20 marca 2011

(2)

Semantyka KRP

Pojęcie prawdy w KRP jest relatywizowane do konkretnej interpretacji przyjmowanej dla określonego języka. Prawdziwość wyrażenia zależy od tego, co oznaczają występujące w nim symbole.

Niech hX , O, P, Q, . . . , R, F , G, . . . , Hi będzie dziedziną, gdzie X jest pewnym zbiorem, O — wyróżnionym elementem zbioru X, P, Q, . . . , R relacjami, a F , G, . . . , H funkcjami. Wówczas interpretacją =_n nazwiemy każde przyporządkowanie:

stałej indywiduowej a elementu O;

symbolom predykatywnym P, Q, . . . , R relacji P, Q, . . . , R;

symbolom funkcyjnym f , g , . . . , h funkcji F , G, . . . , H.

(3)

Semantyka KRP

Relacja spełniania

Wyrażenie α(x , y , . . . , z), zawierające symbole predykatywne P, Q, . . . , R i symbole funkcyjne f , g , . . . , h jestspełnionew dziedzinie

hX , P, Q, . . . , R, F , G, . . . , Hi przez elementy a, b, . . . , c przy interpretacji zgodnie z którą: symbole predykatywne P, Q, . . . , R są nazwami relacji

P, Q, . . . , R a symbole funkcyjne f , g , . . . , h — funkcji F , G, . . . , H wtedy i tylko wtedy, gdy elementy a, b, . . . , c ∈ X oraz razem z relacjami P, Q, . . . , R i funkcjami F , G, . . . , H tak się zachowują w zbiorze X, jak opisuje to zdanie α(x , y , . . . , z).

(Powyższa formuła wyraża sens relacji spełniania w sposób intuicyjny. Nie jest to jej ścisła definicja.)

Jeżeli wyrażenie α nie zawiera zmiennych wolnych i jest spełnione w pewnej dziedzinie D, to wówczas możemy powiedzieć, że α jestprawdziwe w dziedzinie D.

W dalszej części mówimy skrótowo o zdaniach prawdziwych przy pewnej interpretacji =n. Przy czym przez interpretację rozumiemy powiązanie języka z

(4)

Semantyka KRP Interpretacja

Interpretacja

Rozważmy formułę Q(a) ∧ ∀x[P(x) → Q(x)].

Niech =₁ będzie interpretacją, gdzie X przebiega zbiór ludzi, natomiast:

stała indywiduowa a — oznacza Stefana, predykat Q — oznacza własność bycia chciwym.

predykat P — oznacza własność bycia kapitalistą.

Niech =₂ będzie interpretacją, gdzie X przebiega zbiór ludzi, natomiast:

stała indywiduowa (a) — oznacza Mariannę;

predykat Q — oznacza bycie kobietą;

predykat P — oznacza bycie matką.

(5)

Semantyka KRP Interpretacja

Interpretacja

Rozważmy tą samą formułę Q(a) ∧ ∀x[P(x) → Q(x)].

Niech =₃ będzie interpretacją, gdzie X przebiega zbiór języków etnicznych, natomiast:

stała indywiduowa a — oznacza język kaszubski;

predykat Q — oznacza bycie językiem urzędowym;

predykat P — oznacza bycie językiem narodowym.

(6)

Semantyka KRP Pojęcie modelu

Model

Modelem formuły KRP α nazywamy taką interpretację =_n, dla której formuła zdaniowa α jest prawdziwa. Interpretację =_i nazwiemy kontrmodelem formuły KRP α, gdy α jest w niej fałszywa.

Modelem formuły ∀x[P(x) → Q(x)] jest interpretacja =₁, gdzie:

X przebiega zbiór liczb;

predykat P oznacza własność bycia podzielnym przez 4.

predykat Q oznacza własność bycia liczbą parzystą;

Kontrmodelem formuły ∀x[P(x) → Q(x)] jest interpretacja =₂, gdzie:

X przebiega zbiór polityków;

predykat P oznacza własność bycia posłem;

predykat Q oznacza własność bycia uczciwym.

(7)

Model

Modelem formuły ∃x[P(x) ∧ Q(x)] jest interpretacja =₁, gdzie:

X przebiega zbiór głosek;

predykat P oznacza własność bycia spółgłoską dwuwargową.

predykat Q oznacza własność bycia spółgłoską nosową;

Kontrmodelem formuły ∃x[P(x) ∧ Q(x)] jest interpretacja =₂, gdzie:

predykat P oznacza własność bycia spółgłoską retrofleksyjną;

predykat Q oznacza własność bycia spółgłoską drżącą.

(8)

Medele — ćwiczenia

Znajdź model oraz kontrmodel dla poniższych formuł:

(1) ∃xP(x);

(2) ¬∃x(P(x) ∧ Q(x));

(3) ∀x(P(x) ∨ Q(x));

(4) ¬∀x(P(x) ≡ Q(x));

(5) ∃x(R(x, x))

(6) ∀x∀y (R(x, y ) → R(y , x)) (7) ∀x∃y (P(x) → R(x, y ));

(8) ∃x∀y (P(x) ∧ Q(y ) → R(x, y )).

(9)

Prawda czy fałsz

Chcąc okręślić wartość logiczną formuły KRP korzystamy z pojęcia modelu.

Znalezienie przykładu pozwala stwierdzić prawdziwośćzdania egzystencjalnego.

∃x[P(x) ∧ ∃y (Q(y ) ∧ R(x, y ))].

Rozważmy interpretację =, gdzie:

X przebiega zbiór języków etnicznych;

P oznacza własność bycia językiem europejskim;

Q oznacza własność bycia językiem słowiańskim;

R oznacza relację posiadania poświadczonego wspólnego przodka.

(10)

Prawda czy fałsz

Znalezienie kontrprzykładu pozwala stwierdzić fałszywość zdania uniwersalnego.

Rozważmy interpretację = taką samą, jak w poprzednim przykładzie dla formuły:

∀x[P(x) → ∃y (Q(y ) ∧ R(x, y ))].

Nie dysponujemy metodą rozstrzygania o fałszywości zdań egzystencjalnych oraz prawdziwości zdań uniwersalnych.

(11)

Prawda czy fałsz

Aby określić prawdziwość zdań, które powstały przez powiązanie ich skwantyfikowanych części spójnikami logicznymi, należy odwołać się do tabelek zero-jedynkowych dla odpowiedniego spójnika.

Aby pokazać pokazać fałszywość formuły (w interpretacji =_n):

∀x(P(x) ∨ Q(x)) → (∀xP(x) ∨ ∀xQ(x)),

musimy znaleźć kontrmodel, gdzie poprzednik implikacji będzie zdaniem prawdziwym, zaś następnik zdaniem fałszywym.

Kontrmodelem jest na przykład interpretacja =₁ gdzie:

P oznacza własność bycia dźwięczną;

Q oznacza własność bycia bezdźwięczną.

(12)

Semantyka KRP Tautologie KRP

Tautologie KRP

Tautologią KRP nazywamy taką formułę, która jest schematem wyłącznie zdań prawdziwych (dla której nie istnieje kontrmodel, tj. wszystkie

interpretacje są jej modelami).

Kontrtautologią KRP nazywamy taką formułę, która jest schematem wyłącznie zdań fałszywych (dla której nie istnieje model, czyli wszystkie możliwe interpretacje są jej kontrmodelami).

Podstawowe tautologie KRP:

∀xP(x) ≡ ¬∃x¬P(x).

¬∃P(x) ≡ ∀x¬P(x).

∃x∀yR(x, y ) ≡ ∀y ∃xR(x, y ).

(13)

Tautologie KRP

Uwaga!

KRP jest rachunkiem nierozstrzygalnym. Znaczy to, iż nie dysponujemy efektywną metodą pozwalającą dla dowolnej formuły α określić, czy jest ona tautologią lub kontrtautologią.

Można natomiast wskazać pewne rozstrzygalne podzbiory formuł KRP, np.

wszystkie tautologie KRZ są również tautologiami KRP.

P(x) → ∃yQ(y ) ∨ P(x), P(x) → ∃x∀yR(x, y ) ∨ P(x),

P(x) → ∀xP(x) → ∃y [Q(y ) ∧ R(x, y )] ∨ P(x)

Powyższe formuły są tautologiami KRP, ponieważ stanowią podstawienie tautologii KRZ — p → (q ∨ p)

(14)

Tautologie KRP

Oczywiście to, że formuła KRP nie jest podstawieniem tautologii KRZ nie znaczy, że nie jest ona tautologią specyficzną KRP, czego nie sposób udowodnić.

Zamiast tego, pokazujemy, że dana formuła α nie jest tautologią (znajdując jej kontrmodel), lub że α nie jest kontrtautologią (znajdując jej model).

(15)

Tautologie KRP — ćwiczenie

Pokaż, że poniższe formuły nie są ani tautologiami, ani kontrtautologiami.

∀x∃yR(x, y ).

∀x∃y [R(x, y ) ∨ R(y , x)].

¬∀xP(x) → ∀x¬P(x).

∃x[P(x) → Q(x)] → ∃x[P(x) ∧ Q(x)].

∀x∀y ∀z[R(x, y ) ∧ R(y , z) → R(x, z)].

(16)

Semantyka KRP Funkcje zdaniowe

Prawdziwość funkcji zdaniowych

Funkcja zdaniowa jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy po poprzedzeniu jej kwantyfikatorem uniwersalnym, wiążącym wszystkie występujące w niej zmienne, staje się zdaniem prawdziwym. Mówiąc inaczej funkcja zdaniowa jest zdaniem prawdziwym, gdy jest spełniona przez dowolny obiekt uniwersum.

Prawdziwa funkcja zdaniowa:

Jeżeli x jest bogatszy od y a z jest bogatszy niż x, to z jest bogatszy niż y.

Fałszywa funkcja zdaniowa:

Jeżeli x jest kochankiem y a z jest kochankiem x, to z jest kochankiem y.

(17)

Niektóre tautologie KRP

Prawo dictum de omni (orzekanie ze wszystkiego):

(1) ∀ xα → α

(2) ∀x α → α(x /t) (o ile term t jest podstawialny za x w α).

Prawo dictum de singulo (orzekanie z pojedynczego):

(3) α → ∃x α

(4) α(x /t) → ∃x α (o ile term t jest podstawialny za x w α).

(5) ∀x α → ∃x α (prawo subalternacji).

(6) ∀x ¬α → ∃x ¬α (dictum de nulo — orzekanie z niczego).

Prawo zamiany zmiennych związanych:

(7) ∀x α ≡ ∀y α (o ile zmienna y nie jest wolna w α oraz y jest podstawialna za zmienną x w α);

(8) ∃x α ≡ ∃y α (o ile zmienna y nie jest wolna w α oraz y jest podstawialna za zmienną x w α).

Prawa de Morgana w KRP:

(9) ¬∃x α ≡ ∀x ¬α;

(18)

Niektóre tautologie KRP

Prawa zastępowania kwantyfikaorów:

(11) ∃x α ≡ ¬∀x ¬α;

(12) ∀x α ≡ ¬∃x ¬α.

(13) ∀x∀y α ≡ ∀y ∀x α (prawo przestawiania kwantyfikatorów uniwersalnych).

(14) ∃x∃y α ≡ ∃y ∃x α (prawo przestawiania kwantyfikatorów egzystencjalnych).

(15) ∃x∀y α → ∀y ∃x α.

(16) ∀x(α ∧ β) ≡ (∀x α ∧ ∀x β).

(17) ∃x(α ∨ β) ≡ (∃x α ∨ ∃x β).

(18) ∀x α ∨ ∀x β) → ∀x(α ∨ β).

(19) ∃x(α ∧ β → (∃x α ∧ ∃x β).

(20) ∀x(α → β) → (∀x α → ∀x β).

(19)

Niektóre tautologie KRP

(21) ∀x(α → β) → (∃x α → ∃x β).

(22) (∀x(α → β) ∧ α) → β.

(23) ∀x(α → β) ∧ ∀x(β → ϕ) → ∀x(α → ϕ).

Prawa ekstensjonalności dla kwantyfikatorów:

(24) ∀x(α ≡ β) → (∀x α ≡ ∀x β);

(25) ∀x(α ≡ β) → (∃x α ≡ ∃x β);

(26) ∀x(α ≡ β) → ∀x (α → β) ∧ ∀x (β → α).