1
1
Wprowadźmy szereg terminów posługując się przykładowo funkcją trójargumentową .
Elementarny iloczyn funkcji jest to dowolny iloczyn argumentów prostych lub zanegowanych, np. x1 x3
) , ,
(x1 x2 x3 f
y
3 2
1 x x
x
Składnik jedności – elementarny iloczyn, w którym występują wszystkie argumenty danej funkcji.
Elementarna suma funkcji jest to dowolna suma argumentów prostych lub zanegowanych, np. x1 x3 x1 x2 x3
Czynnik zera – elementarna suma, w której występują wszystkie argumenty danej funkcji.
Kolejne stany argumentów danej funkcji, np. stan 011 (x1=0, x2=1, x3=1) tworzą dwójkowe zapisy liczb dziesiętnych, które nazywamy numerami stanu argumentów; numerem stanu argumentów 011 jest 3.
Nr st.
argum.
x1 x2 x3 Składniki jedności funkcji Czynniki zera funkcji
0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 0 1 1 4 1 0 0 5 1 0 1 6 1 1 0 7 1 1 1
3 2 1
0 x x x
K
3 2 1
1 x x x
K
3 2 1
2 x x x
K
3 2 1
3 x x x
K
3 2 1
4 x x x
K
3 2 1
5 x x x
K
3 2 1
6 x x x
K
3 2 1
7 x x x
K
3 2
1
0 x x x
D
3 2
1
1 x x x
D
3 2
1
2 x x x
D
3 2
1
3 x x x
D
3 2
1
4 x x x
D
3 2
1
5 x x x
D
3 2
1
6 x x x
D
x x
x
D
) , ,
(x1 x2 x3 f
y y f (x1,x2, x3) Składniki jedności i czynniki zera funkcji trójargumentowych
3
W tablicy:
- składnik jedności K oznaczono indeksem i, jeżeli dla i-tego stanu argumentów przyjmuje on wartość 1,
- czynnik zera D oznaczono indeksem i, jeżeli dla i-tego stanu argumentów przyjmuje on wartość 0.
Należy zauważyć, że dla przyjętego sposobu numeracji składników jedności i czynników zera:
- składnik jedności Ki przyjmuje wartość 1 tylko dla i-tego stanu argumentów; dla pozostałych stanów argumentów jest zerem,
- czynnik zera Di przyjmuje wartość 0 tylko dla i-tego stanu argumentów; dla pozostałych stanów argumentów jest jedynką.
Liczba składników jedności (czynników zera) jest równa liczbie stanów argumentów.
Łatwo zauważyć, że jakąkolwiek funkcję trójargumentową
(i analogicznie funkcje o innej liczbie argumentów) można zapisać w postaci:
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
0 0
3 2
1, , )
(
K y
K y
K y
K y
K y
K y
K y
K y
x x x y
zwanej kanoniczną postacią alternatywną danej funkcji,
gdzie: y0 - wartość zmiennej zależnej funkcji przy zerowym stanie
argumentów, y1 - wartość funkcji przy pierwszym stanie argumentów, itd.
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) , , (
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
0 0
3 2 1
D y
D y
D y
D y
D y
D y
D y
D y
x x x y
lub w postaci
zwanej kanoniczną postacią koniunkcyjną danej funkcji.
5
Nr st.
argum.
x1 x2 x3 y
0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 0
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
Przykład – dana jest funkcja w postaci tablicy wartości
Kanoniczna postać alternatywna:
7 6
5 4
3 2
1 0
3 2 1
1 1
1 1
0 0
1 1
) , , (
K K
K K
K K
K K
x x x y
Po usunięciu składników o wartości 0
7 6
5 4
1 0
3 2
1, , )
(x x x K K K K K K
y
Funkcję tę można przedstawić w postaci symbolicznej (liczbowej):
0,1,4,5,6,7 )
, ,
(x1 x2 x3 y
3 2 1 3
2 1 3
2 1 3
2 1 3
2 1 3
2
1 x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
y
Właściwym zapisem kanonicznej postaci alternatywnej danej funkcji jest:
Nr st.
argum.
x1 x2 x3 y
0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
2 0 1 0 0
3 0 1 1 0
4 1 0 0 1
5 1 0 1 1
6 1 1 0 1
7 1 1 1 1
Kanoniczna postać koniunkcyjna:
Po usunięciu czynników o wartości 1, otrzymuje się
Funkcję tę można przedstawić w postaci symbolicznej (liczbowej):
Właściwym zapisem kanonicznej postaci koniunkcyjnej danej funkcji jest:
) 1
( ) 1
( ) 1
( ) 1
( ) 0
(
) 0
( ) 1
( ) 1
( ) , , (
7 6
5 4
3
2 1
0 3
2 1
D D
D D
D
D D
D x
x x y
3 2
3 2
1, , )
(x x x D D
y
2,3 )
, ,
(x1 x2 x3 y
) (
)
(x1 x2 x3 x1 x2 x3
y
7
Postacie kanoniczne są algebraiczną formą zapisu dowolnie złożonych funkcji logicznych.
Są one tworzone z wykorzystaniem tylko trzech operacji logicznych:
alternatywy, koniunkcji i negacji.
Zestaw (zbiór) funkcji logicznych umożliwiający tworzenie
algebraicznych zapisów dowolnych funkcji logicznych nazywa się systemem funkcjonalnie pełnym.
Zestaw funkcji: alternatywa, koniunkcja i negacja nazywany jest podstawowym systemem funkcjonalnie pełnym.
Systemami funkcjonalnie pełnymi są także:
• alternatywa i negacja,
• koniunkcja i negacja,
• funkcja NOR,
• funkcja NAND i inne.
Na ogół, korzystając z praw algebry Boole’a, można przekształcać
postacie kanoniczne w celu zmniejszenia liczby występujących w nich elementarnych operacji logicznych, co nazywamy minimalizacją
funkcji logicznych.
2.5. Minimalizacja funkcji logicznych
Podstawową czynnością przy poszukiwaniu możliwości minimalizacji postaci kanonicznych jest poszukiwanie par składników jedności lub par czynników zera, nad którymi można wykonać tzw. operację
sklejania.
Operacja sklejania (sklejanie), w przypadku minimalizacji
kanonicznej postaci alternatywnej, polega na wykonaniu działań typu
a a
b b a b
a b
a ( ) 1
gdzie: a reprezentuję jednakową część obu składników, b - zmienną różniącą się znakiem negacji.
9
Przykład:
2 1
3 2
1 3
2
1 ) ( )
(x x x x x x x x
2 1 3
2 1 3
2
1 x x x x x x x
x
W przypadku minimalizacji kanonicznej postaci koniunkcyjnej, operacja sklejania polega na wykonaniu działań typu
a a
b b a
b a b
a )( ) 0 (
gdzie: a reprezentuję jednakową część obu czynników, b - zmienną różniącą się znakiem negacji
Przykład:
Metoda minimalizacji polegająca na wykonywaniu kolejnych przekształceń pierwotnego zapisu funkcji w postaci kanonicznej nazywa się metodą przekształceń algebraicznych.
Inne metody minimalizacji:
• metoda Quine’a – McCluskey’a,
• metoda tablic Karnaugha,
usprawniają jedynie procedurę poszukiwania możliwości i wykonywania operacji sklejania.
Postać funkcji uzyskana w wyniku wykonaniu wszystkich możliwych sklejeń w kanonicznej postaci alternatywnej nazywa się normalną postacią alternatywną.
Postać funkcji uzyskana w wyniku wykonaniu wszystkich możliwych sklejeń w kanonicznej postaci koniunkcyjnej nazywa się normalną postacią koniunkcyjną.
Postacie normalne nie zawsze są opisem wykorzystującym najmniejszą z możliwych operacji logicznych.
11
Zmniejszenie liczby operacji logicznych występujących w normalnej postaci alternatywnej jest możliwe jeżeli z dwóch lub więcej
elementarnych iloczynów można wyprowadzić przed nawias wspólny czynnik (prawo o rozdzielności mnożenia względem dodawania), np.
) ( 2 3 2 3
1 3
2 1 3
2
1 x x x x x x x x x x
x
Zmniejszenie liczby operacji logicznych występujących w normalnej postaci koniunkcyjnej jest możliwe jeżeli z dwóch lub więcej
elementarnych sum można wyprowadzić przed nawias wspólny
składnik (prawo o rozdzielności dodawania względem mnożenia), np.
) (
) (
) (
)
(x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x2 x3 Operacje takie nazywane są faktoryzacją.
2.5.1. Minimalizacja metodą przekształceń algebraicznych
Zminimalizujmy funkcję zdefiniowaną w postaci tablicy wartości:
x1 x2 x3 y
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
Kanoniczna postać alternatywna funkcji ma postać
3 2 1 3
2 1
3 2 1 3
2 1 3
2 1 3
2 1
x x x x
x x
x x x x
x x x
x x x
x x y
2 1 2
1 2
1 3
2 1 3
2 1
3 2 1 3
2 1 3
2 1 3
2 1
x x x
x x
x x
x x x
x x
x x x x
x x x
x x x
x x y
Można w niej zauważyć pokazane możliwości sklejeń
W uzyskanym wyniku widoczna jest możliwość dalszego sklejania - środkowy składnik można skleić z pierwszym i z trzecim.
13
Korzystając z twierdzenia algebry Boole’a x + x = x ,środkowy składnik można traktować jakby wystąpił dwukrotnie. Zatem:
1 2
2 1 2
1 2
1 2
1
2 1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1
x x
x x x
x x
x x
x
x x x
x x
x x
x x
x x
x x
x y
Uzyskana postać funkcji jest postacią minimalną. y x2 x1 Kanoniczna postać koniunkcyjna rozważanej funkcji ma postać:
) (
)
(x1 x2 x3 x1 x2 x3
y
Występujące w niej czynniki zera różnią się znakiem negacji przy zmiennej x3, zatem w rezultacie sklejenia obu czynników
otrzymuje się
1 2
2
1 x x x
x
y
2.5.2. Metoda Quine’a – McCluskey’a
Metoda Quine’a – McCluskey’a polega na wykonaniu nad postacią kanoniczną wszystkich możliwych sklejeń, przy czym stosuje się specyficzny, uporządkowany sposób postępowania.
Przykład
Zminimalizować funkcję y(x1, x2, x3, x4)
0,1,2,5,8,9,10,13,14,15Liczbowy zapis funkcji podaje numery składników jedności kanonicznej postaci alternatywnej, np.
0 oznacza K0 x1 x2 x3 x4 1 oznacza K1 x1 x2 x3 x4
K0 i K1 można skleić; wynikiem sklejenia jest
3 2
1 1
0 K x x x
K
15
zapisuje się w formie liczbowej, np.
K0 = 0000 , K1 = 0001; wynik sklejenia zapisuje się w formie K0 + K1 = 000-, co oznacza x1 x2 x3
Proces minimalizacji wykonuje się tworząc kolumny:
• kolumna 1 – zawiera liczbowy zapis wszystkich składników jedności
• kolumna 2 – składniki pogrupowane ze względu na liczbę zer
• kolumna 3 – wyniki pierwszego etapu sklejeń (sklejać dają się tylko składniki sąsiednich grup)
• kolumna 4 – wyniki kolejnego etapu sklejania.
Wyrażenia przeniesione do kolejnej kolumny lub wykorzystane do sklejania oznacza się np. strzałką; wyrażenia bez strzałki są
końcowym wynikiem sklejania.
16
1111 1110 1101 1010 1001 1000 0101 0010 0001 0000
1111 1110 1101 1010 1001 0101 1000
0010 0001 0000
111 1 11
10 1
01 1
101 0 10 100
010 001 01 0
000 0 00 000
01 01
0 0 00
0 0 00
Przebieg procesu sklejania funkcji
0,1,2,5,8,9,10,13,14,15 )
, , ,
(x1 x2 x3 x4 y
17
Po wykonaniu wszystkich możliwych sklejeń pozostał zestaw trzech różnych tzw. implikantów prostych w kolumnie czwartej i trzech w kolumnie trzeciej. Można symbolicznie napisać:
) 01 (
) 0 0 ( ) 00 (
) 111 (
) 1 11 ( ) 10 1
(
y
co oznacza, że
4 3 4
2 3
2 3
2 1 4
2 1 4
3
1 x x x x x x x x x x x x x x
x
y
Zwykle nie wszystkie implikanty są niezbędne do wyrażenia danej funkcji. Do wyboru niezbędnego zestawu implikantów służy tablica implikantów.
W tablicy symbolem V oznaczono te składniki jedności, ze sklejenia których powstał dany implikant prosty. Mówi się, że imlikant prosty pochłania te składniki jedności, z których powstał.
18
Implikanty proste
Składniki jedności funkcji
0000 0001 0010 0101 1000 1001 1010 1101 1110 1111
1-10 v v
11-1 v v
111- * v v
-00- v v v v
-0-0 * v v v v
--01 * v v v v
Aby postać zminimalizowana była poprawnym zapisem danej funkcji, musi zawierać zestaw implikantów prostych pochłaniających wszystkie składniki jedności minimalizowanej funkcji. W rozpatrywanym
przykładzie jest to zestaw implikantów oznaczonych symbolem *.
Zatem ostatecznie otrzymuje się zminimalizowaną postać alternatywną funkcji:
4 3 4
2 3
2
1 x x x x x x
x
y
19
2.5.3. Metoda tablic Karnaugha
Tablice Karnaugha są specyficzną formą tablic wartości funkcji. a) b)
3 2, x x
x1 00 01 11 10 0
1
y
Nr stanu argum. 1
x x2 x3 y
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1 c)
3 2, x x
x1 00 01 11 10
0 0 1 3 2
1 4 5 7 6
y
Tablica zwykła dla funkcji trzyargumentowych
Tablica Karnaugha
Tablica Karnaugha z numerami stanu argumentów
20
W tablicach Karnaugha wartości zmiennej zależnej y są wpisywane w pola tablicy, odpowiadające wartościom argumentów wypisanych na obrzeżach tablicy.
Charakterystyczną cechą tablic Karnaugha jest to, że sąsiednie wartości stanów argumentów różnią się tylko jedną pozycją (wartości
argumentów są kolejnymi liczbami w kodzie Graya).
Dzięki temu, składniki jedności funkcji (albo czynniki zera) o numerach znajdujących się w polach sąsiednich można sklejać.
Polami sąsiednimi są np. pola 0 i 1, 0 i 2, 4 i 6, 0 i 4 itd.
a) b)
3 2, x x
x1 00 01 11 10
0 1
y
Nr stanu argum. 1
x x2 x3 y
0 0 0 0
1 0 0 1
2 0 1 0
3 0 1 1
4 1 0 0
5 1 0 1
6 1 1 0
7 1 1 1 c)
3 2, x x
x1 00 01 11 10
0 0 1 3 2
1 4 5 7 6
y
21
Przykład 1: minimalizacja postaci alternatywnej
3 2, x x
x1 00 01 11 10
0 1
0 1
1 0
3 0
2
1 0
4 0
5 0
7 0
6
y
Funkcja przyjmuje wartość 1 w stanach argumentów 0 i 1, co oznacza, że
kanoniczna postać alternatywna funkcji jest sumą logiczną składników jedności K0 i K1 , które można skleić:
2 1 3
2 1 3
2 1 1
0 K x x x x x x x x
K
y
Mówi się, że zostały sklejone jedynki, znajdujące się w polach 0 i 1.
Praktycznie wynik sklejania ustala się bezpośredni na podstawie wartości argumentów jednakowych dla obu pól.
Polom 0 i 1 odpowiadają wartości x1 = 0 i x2 = 0; dlatego
2
00 x1 x y
22
Przykład 2: minimalizacja postaci koniunkcyjnej
3 2, x x
x1 00 01 11 10
0 0
0 0
1 1
3 1
2
1 1
4 1
5 1
7 1
6
y
Funkcja przyjmuje wartość 0 w stanach
argumentów 0 i 1, co oznacza, że kanoniczna postać koniunkcyjna funkcji jest iloczynem logicznym czynników zera D0 i D1, które można skleić.
2 1
3 2
1 3
2 1
1
0 D (x x x ) (x x x ) x x
D
y
Mówi się, że zostały sklejone zera, znajdujące się w polach 0 i 1.
Praktycznie wynik sklejania ustala się bezpośredni na podstawie wartości argumentów jednakowych dla obu pól.
Polom 0 i 1 odpowiadają wartości x1 = 0 i x2 = 0; dlatego , co w przypadku postaci koniunkcyjnej odpowiada funkcji
00 y
x x
y
23
Ponadto, dzięki usytuowaniu wartości argumentów w tablicach
Karnaugha, sklejają się wyniki sklejeń sąsiednich par jedynek albo sąsiednich par zer.
Przykład 3
3 2, x x
x1 00 01 11 10
0 1
0 1
1 0
3 0
2
1 1
4 1
5 0
7 0
6
y
Funkcja przyjmuje wartość 1 w stanach argumentów 0, 1, 4 i 5, co oznacza, że
kanoniczna postać alternatywna funkcji jest sumą logiczną składników jedności K0, K1, K4 i K5, które można skleić.
Wynik sklejania otrzymuje się na podstawie wartości argumentu nie zmieniającego się dla sklejanych jedynek.
Ponieważ dla tych jedynek jest x2 = 0, to y x2
24
Przykład 4
Sąsiednimi parami jedynek, dającymi się skleić są także pary poziome.
3 2, x x
x1 00 01 11 10
0 1
0 1
1 1
3 1
2
1 0
4 0
5 0
7 0
6
y
Sklejając czwórkę jedynek lub czwórkę zer, otrzymuje się
x y
Dla funkcji trójargumentowych można także wykorzystywać tablice Karnaugha w układzie pionowym
x3 2 1, x
x 0 1
00
0 1
01
2 3
11
6 7
10
4 5
y
25
Tablice Karnaugha dla funkcji dwu- i czteroargumentowych
4 3, x x
2 1, x
x 00 01 11 10
00 0 1 3 2
01 4 5 7 6
11 12 13 15 14
10 8 9 11 10
y x2
x1 0 1
0 0 1
1 2 3
y
Tablice Karnaugha umożliwiają także minimalizację funkcji pięcio- i sześcioargumentowych.
26
Przykłady minimalizacji funkcji trójargumentowych
0 1 1 0
0 1 1 1
x2x3
x1 00 01 11 10
0 1
x3 x1 x2
2 1
3 x x
x
y
1 0 0 1
1 0 0 0
x2x3
x1 00 01 11 10 0
1
x3 x1 x2
) ( 1 2
3 x x
x
y
0 1 1 0
0 1 0 0
x2x3
x1 00 01 11 10
0 1
2 x3
x x1 x3
1 3
2 x3 x x
x
y
1 0 0 1 1 0 1 1 x2x3
x1 00 01 11 10 0
1
2 x3
x x1 x3
) (
)
(x2 x3 x1 x3
y
27
Przykłady minimalizacji funkcji czteroargumentowych
1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 x3x4
x1x2 00 01 11 10 00
01 11 10
2 4
1 x x
x
3
1
x
x
x1 x24 3
1 x x
x
1 2 3
1
4 3
4 1 1 2
x x x
x
x x
x x
x x
y
x1x2
0 0 1 1
0 0 1 0
1 1 0 1
0 0 0 0
x3x4
00 01 11 10
00 01 11 10
2
1 x
x x1 x2
2 4
1 x x
x
4 3
1 x x
x
) (
) (
) (
) (
1 2 3
1
4 3
4 1 1 2
x x
x x
x x
x x
x x
y
2.6. Minimalizacja funkcji logicznych nie w pełni określonych Funkcjami logicznymi nie w pełni określonymi nazywają się funkcje, które dla niektórych stanów argumentów nie mają
określonych wartości.
W tablicach wartości takich funkcji w stanach nie określonych
zamiast wartości zmiennej zależnej wpisuje się kreskę. W liczbowych zapisach funkcji nie w pełni określonych numery stanów nie
określonych podaje się w nawiasach, np.
0,1,2,3,4,9,11(5,7,13,15) 6,8,10,12,14(5,7,13,15) )
, , ,
(x1 x2 x3 x4 y
Przeprowadźmy minimalizację tej funkcji z wykorzystaniem tablic Karnaugha.
29
1 1 1 1 1 - - 0
0 - - 0
0 1 1 0
x3x4
x1x2 00 01 11 10 00
01 11 10
y
Minimalizacja postaci alternatywnej
Sklejając jedynki, czego efektem jest normalna postać alternatywna funkcji, korzystnie jest przyjąć, że we wszystkich stanach nie
określonych zmienna zależna przyjmuje wartość 1, zatem
4 3
1 2
1 x x x x
x
y
Minimalizacja postaci koniunkcyjnej
1 1 1 1 1 - - 0 0 - - 0 0 1 1 0 x3x4
x1x2 00 01 11 10 00
01 11
10
y
W przypadku sklejania zer, co
prowadzi do uzyskania normalnej postaci koniunkcyjnej, najprostszą postać funkcji uzyskuje się
przyjmując, że w dwóch stanach nie określonych zmienna zależna
przyjmuje wartość 0 (a więc w
pozostałych przyjmuje wartość 1).
Zatem funkcja uzyskana w wyniku sklejania zer jest inną niż funkcja uzyskana w wyniku sklejania
jedynek, co nie ma znaczenia, gdyż różnice dotyczą tylko stanów nie określonych.
) (
)
(x2 x3 x1 x4
y
