Temat: Wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.
Mając postać kanoniczną bardzo łatwo możemy określić wierzchołek paraboli. Patrz przykład poniżej
Teraz omówimy monotoniczność funkcji kwadratowej . Popatrzcie:
Wniosek:
Monotoniczność funkcji kwadratowej zależy od pierwszej współrzędnej wierzchołka czyli p.
Przykład
Określ monotoniczność funkcji określonej wzorem y= - 5
4(x+1)2 +5.
Przykład
Podaj przedziały monotoniczności funkcji f(x) = 2(x -3)2 + 2 Rozwiązanie: (zadanie możemy zrobić bez szkicowania wykresu)
Odczytujemy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli czyli p
Zatem p= 3
Patrzymy na kierunek ramion paraboli.
Ramiona paraboli są skierowane do dołu bo a= - 5
4 <0 Zatem
a= 2 czyli a > 0, więc ramiona będą skierowane do góry. Zatem zgodnie z tym co mamy zapisane powyżej o monotoniczności funkcji kwadratowej mamy
Funkcja maleje w przedziale (- ∞, 3 >
Funkcja rośnie w przedziale < 3, + ∞)
Omówimy teraz zbiór wartości funkcji kwadratowej .
Jest on ściśle powiązany z drugą współrzędną wierzchołka paraboli czyli q oraz kierunkiem ramion paraboli. Zobaczcie
Zw = (- ∞, 𝑞 >
Zw = <q ,+ ∞)
Gdy a>0 to
Przykład
Odczytaj z wykresu zbiór wartości funkcji kwadratowej.
Przykład.
Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = -2(x+3)2 +2 Rozwiązanie
Odczytujemy z postaci kanonicznej współrzędną q wierzchołka paraboli:
q= 2
Patrzymy na „a”.
a = - 2, więc a < 0 , wiemy zatem , że Zw = (- ∞, 𝑞 >
Zw = (- ∞, 2 >
Kolejnym zagadnieniem którym zajmiemy się dziś na lekcji jest oś symetrii funkcji kwadratowej.
Oś symetrii funkcji kwadratowej to prosta o wzorze:
x = p
Oś symetrii przechodzi zawsze przez wierzchołek funkcji.
Zobaczmy jak to wygląda na przykładzie.
Przykład 1
Wyznacz równanie osi symetrii funkcji kwadratowej f(x)=(x+1)2−4.
Rozwiązanie:
Odczytujemy z postaci kanonicznej pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli czyli p= -1 Zatem oś symetrii paraboli ma równanie x= -1.
Zapoznajcie się również z tematem lekcji na stronie 74, a następnie proszę o zrobienie poniższego zadania.
Zadanie
Na podstawie wzoru funkcji w postaci kanonicznej podaj:
-zbiór wartości funkcji f
-współrzędne wierzchołka W paraboli będącej wykresem funkcji f -równanie osi symetrii tej paraboli
-maksymalne przedziały monotoniczności funkcji f jeśli:
a) f(x) = -2 (x+3)2 +2 b) f(x) = (x−1)2 -6 c) f(x) = 2(x+4)2 -7 d) f(x) = -12(x+3)2 -1 e) f(x) = 4 (x−4)2+2 f) f(x) = -2(x-3)2 -1.
