Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT s.2 2. Przestrzenie metryczne

(1)

Zestaw zadań z analizy matematycznej dla IFT s.2

2. Przestrzenie metryczne

1. Wykazać, że funkcje

d

_∞ i

d

₁ zdefiniowane na

R ×

^N

R

^N jako:

( )

_i _i ^N

N i def

R y x y

x y

x

d = − ∈

=

∞

, max , dla ,

,..., 1

( )

^N ^N

i i i

def

R y x y

x y

x

d = ∑ − ∈

−

, dla ,

,

1 1

są metrykami.

2. Podać definicje oraz obliczyć odległość punktów A(1,2) i B(3,3) dla metryk:

a) euklidesowa (na płaszczyźnie);

b) taksówkowa;

c) kolejowa;

d) rzeka;

e) dyskretna;

f) maksimowa.

3. Narysować kule i sfery na płaszczyźnie z metryką:

a) euklidesową (na płaszczyźnie);

b) taksówkową;

c) kolejową (kule domknięte);

d) rzeką (kule domknięte);

e) dyskretną (kule domknięte).

4. Dany jest zbiór

X = [ ] [ ] 0 , 1 × 0 , 1 ⊆ R

² oraz dwa punkty: A(2,3) i B(3,-2). Wyznaczyć odległość punktu A i B od zbioru X w metrykach:

a) euklidesowej d2; b) taksówkowej d1; c) maksimowej

d

_∞.