Elementy logiki i teorii mnogości, 2015/2016 ćwiczenia 5.
24 listopada 2015
Zadania
Rozwiązania należy uzasadnić!
1. (ℵ) Niech An= {x ∈ R∶ n2< x < 2n2} dla n ∈ N ∖ {0}. Znajdź ⋃n=1∞ An oraz⋂∞n=1An.
2. (ℶ) Niech An,m= {f ∈ NN∶ f(n) = m}, n, m ∈ N. Znajdź: ⋃n⋂mAn,m,⋃m⋂nAn,m,⋂n⋃mAn,mi⋂m⋃nAn,m. 3. Niech Ax= {y ∈ R∶ y > sin x}. Znajdź ⋃z∈R⋂x≥zAxoraz ⋂z∈R⋃x≥zAx.
4. Udowodnij, że funkcja jest różnowartościowa i znajdź przekształcenie odwrotne:
f∶ R2→ R2, f(x, y) = ⟨x + y, x − y⟩,
F ∶ P(R) → P(P(R)), F (A) = P(A).
5. Niech f∶ R → {x ∈ R∶ x > 0} będzie określone wzorem f(x) = 2x. Czy istnieje przekształcenie odwrotne do f . Jakim wzorem się ono wyraża?
6. (ℷ) Dowieść, że funkcja f∶ P(A)B → P(A × B), zadana wzorem f(ϕ) = {⟨a, b⟩ ∈ A × B∶ a ∈ ϕ(b)} jest bijekcją. Znaleźć przekształcenie odwrotne.
Zadania domowe
Rozwiązania należy uzasadnić!
1. Niech f∶ Z × [0, 1) → R, f(z, q) = z + q . Sprawdzić, czy f jest różnowartościowa i jeśli tak, znaleźć funkcję odwrotną.
2. Znaleźć zbiory:
⋃∞n=1⋂m≥n[m + 1, m2− 1],
⋂∞n=1⋃m≥n[m + 1, m2− 1].
1
