RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 1

Przedmiot realizowany w układzie

• wykład 2 godz. tygodniowo

• ćwiczenia 2 godz. tygodniowo Regulamin zaliczeń

www.mini.pw.edu.pl/~figurny

Program zajęć

Równania różniczkowe zwyczajne Szeregi liczbowe

Ciągi i szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe

Szereg trygonometryczny Fouriera

Elementy geometrii różniczkowej

Literatura

• Gewert M., Skoczylas Z., Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, 2006

• Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach cz.2, PWN, 2006

• Leksiński W., Żakowski W., Matematyka cz. IV, WNT, 2002

• Matwiejew N., Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych, PWN, 1974

• Muszyński J., Myszkis A., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN, 1984.

• Otto E. (red.), Matematyka dla wydziałów budowlanych i mechanicznych, Tom 2, PWN,1980

• Przeradzki B., Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych, Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, 2003.

• Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni

technicznych., PWN 2006

Równania różniczkowe są ważnym narzędziem wykorzystywanym przy tworzeniu modeli matematycznych w wielu dziedzinach nauki i techniki.

Równania różniczkowe należą do kategorii równań funkcyjnych, czyli takich, w których niewiadomą jest funkcja. O ich specyfice decyduje to, że oprócz niewiadomej funkcji w równaniu występuje również pochodna (pochodne) tej funkcji.

Niniejszy wykład zawiera definicje podstawowych pojęć

oraz prezentację metod rozwiązywania wybranych typów równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe

Jeżeli w równaniu różniczkowym występuje tylko pochodna rzędu pierwszego, to równanie możemy symbolicznie zapisać w postaci

F(x, y, y') = 0,

gdzie F oznacza pewną funkcję trzech zmiennych, x jest zmienną niezależną, y poszukiwaną funkcją, zaś y' jej pochodną.

Przykłady



Jeżeli F(x, y, y') = (y')

²

- y' + y - x, to równanie ma postać (y')

²

- y' + y - x = 0.



Jeżeli F(x, y, y') = tgy '- 2y' + y, to równanie ma postać tgy '-2y '+ y = 0.



Jeżeli F(x, y, y') = y'- y- x, to równanie można zapisać w równoważnej postaci y' = y + x.

W dwóch pierwszych przypadkach pochodna występuje w równaniach w sposób uwikłany, trzecie równanie jest rozwikływalne ze względu na pochodną.

Równania różniczkowe

Rozważmy szczegółowo przypadek równania rozwikływalnego

ze względu na pochodną, w którym niewiadoma funkcja y nie występuje w sposób jawny. Można je wówczas zapisać w postaci

0 )

' ,

( x y  F

lub prościej

)) ( (lub

, ) (

' f x

dx x dy

f

y  

Rozwiązanie takiego równania jest równoważne wyznaczeniu całki nieoznaczonej funkcji f . Dowolna funkcja pierwotna funkcji f

(o ile istnieje) jest rozwiązaniem równania. Zbiór rozwiązań tworzy całkę nieoznaczoną funkcji f.

Zatem każde rozwiązanie możemy zapisać w postaci

C Φ x

x

y ( )  ( ) 

gdzie Φ oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f , C jest stałą rzeczywistą.

Równania różniczkowe

Jeżeli zażądamy dodatkowo, by spełniony był warunek (zwany warunkiem początkowym)

y(x

0

) = y

0

,

to (jeśli jest on realizowalny) funkcja y będzie wyznaczona w sposób jednoznaczny przez dobór stałej C z równości

y(x

₀

) = Φ(x

₀

) + C = y

₀

,

czyli

C

₀

= y

₀

- Φ(x

₀

).

Wykorzystując pierwsze główne twierdzenie rachunku całkowego, funkcję y możemy zapisać w postaci

















^x

x

dt t f y

Φ x y

Φ x C

Φ x x

y

0

) ( )

( )

( )

( )

(

_{0 0 0 0}

Jest to tzw. rozwiązanie szczególne równania, spełniające warunek początkowy y(x

₀

) = y

₀

.

Równania różniczkowe

Przykład

Rozwiązaniem równania y' = e

^x

jest każda funkcja o postaci y = e

^x

+ C.

Dla różnych wartości stałej C, funkcje te określają całkę ogólną równania.

Ich wykresy tworzą rodzinę krzywych różniących się przesunięciem wzdłuż osi Oy.

Zadając warunek początkowy y(0) = 3 dostajemy e

⁰

+ C = 3, czyli C = 2.

Stąd rozwiązanie szczególne równania spełniające warunek początkowy ma postać

y = e

^x

+ 2.

Równania różniczkowe

Uogólnieniem wprowadzonych pojęć są następujące definicje.

Definicja

Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie

F(x, y, y', y'', ..., y

⁽ⁿ⁾

) = 0,

w którym niewiadomą jest funkcja y zmiennej x i w którym występują pochodne tej funkcji.

Przymiotnik "zwyczajne" oznacza, że funkcja niewiadoma zależy od jednej zmiennej.

Równania różniczkowe, w których występują funkcje wielu

zmiennych, noszą nazwę równań różniczkowych cząstkowych.

W niniejszym wykładzie zajmować się będziemy wyłącznie równaniami zwyczajnymi.

Równania różniczkowe zwyczajne

Definicja

Liczbę n  1 nazywamy rzędem równania różniczkowego,

jeżeli w równaniu tym występuje pochodna rzędu n i nie występują pochodne rzędu wyższego niż n ^.

Przykłady

y' = y + x - rząd = 1,

y'' + y' + y + x = 0 - rząd = 2 ^, y''' = y

²

+ x - rząd = 3 ^.

Równania różniczkowe zwyczajne

Definicja

Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) równania

różniczkowego na przedziale (

a, b

) nazywamy funkcję spełniającą to równanie w każdym punkcie tego przedziału.

Przykłady

Funkcja

y = xe

^x jest rozwiązaniem szczególnym równania

y' - y = e

^x, na przedziale (-, ), ponieważ

(xe

^x

)' - xe

^x

= e

^x, dla każdego

x

(-, ).

Równie łatwo można sprawdzić, że funkcje

y

₁

(x) = x - 1

oraz

y

₂

(x) = e

^x

+ x - 1

są rozwiązaniami szczególnymi równania

y' - y + x - 2 = 0

. Definicja

Krzywą całkową nazywamy wykres rozwiązania szczególnego równania różniczkowego.

Równania różniczkowe zwyczajne

Definicja

Zagadnieniem Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu n nazywamy następujące zagadnienie:

Znaleźć rozwiązanie szczególne tego równania spełniające warunki początkowe

y(x

₀

) = y

₀

, y'(x

₀

) = y

₁

, ... , y

^(n-1)

(x

₀

) = y

_n-1

gdzie liczby x

₀

^oraz y

₀

, y

₁

, ... , y

_n-1

, zwane wartościami początkowymi są dane.

W przypadku n = 1 warunek początkowy ma postać

y(x

₀

) = y

₀

, dla n = 2

y(x

₀

) = y

₀

, y'(x

₀

) = y

_{1 .}

Zagadnieniem Cauchy'ego bywa nazywane zagadnieniem początkowym.

Równania różniczkowe zwyczajne

Przykład

Rozwiążemy zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu 2

y'' = 6x , z warunkami początkowymi y(0) = 0, y'(0) = 1.

Dwukrotnie całkując otrzymujemy

Z warunków początkowych dostajemy

Stąd C

₁

= 1, C

₂

= 0 i rozwiązanie szczególne spełniające warunki początkowe ma postać y = x

³

+ x.

Równania różniczkowe zwyczajne

Definicja

Jeżeli każdemu układowi n

liczb

(C

₁

, C

₂

, ... , C

_n

) wybieranych dowolnie z pewnych przedziałów, jest przyporządkowana dokładnie jedna krzywa całkowa równania różniczkowego rzędu n

, to mówimy, że jest określona

rodzina krzywych całkowych tego równania zależna od n

parametrów

(C

₁

, C

₂

, ... ,C

_n

).

Definicja

Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania różniczkowego rzędu n nazywamy rodzinę krzywych całkowych tego równania zależną od n

parametrów

(C

₁

, C

₂

, ... ,C

_n

), których wartości można tak dobrać, aby otrzymać krzywą całkową spełniającą warunki początkowe

y(x

₀

) = y

₀

, y'(x

₀

) = y

₁

, ... , y

^(n-1)

(x

₀

) = y

_n-1

dla każdego układu wartości początkowych x

₀

, y

₀

, y

₁

, ... , y

_n-1

, dla których krzywa taka istnieje.

Równania różniczkowe zwyczajne

W przypadku gdy każda krzywa całkowa jest wykresem tylko jednej całki szczególnej (a więc funkcji), sformułowanie "rodzina krzywych całkowych"

jest równoważne sformułowaniu "rodzina funkcji spełniających równanie różniczkowe".

Krzywa całkowa, może też być łącznym wykresem większej liczby całek

szczególnych - nie będąc wykresem funkcji. Jak się przekonamy, rozwiązując zadania przykładowe, często otrzymujemy wyniki właśnie w postaci takich krzywych.

W dalszej części wykładu, zgodnie z powszechnie stosowaną terminologią, polecenie "rozwiązać równanie" będzie oznaczać wyznaczenie całki ogólnej tego równania.

Rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego uzyskamy wyznaczając całkę ogólną równania i dobierając występującą w nim stałą (stałe) tak, by spełniony był warunek początkowy (warunki początkowe).

Równania różniczkowe zwyczajne

Uwagi

Przyjęta definicja rozwiązania ogólnego nie wyklucza istnienia krzywych całkowych nie należących do niego.

Istnieją równania różniczkowe, nie posiadające rozwiązań, np. równanie

e

^y'

= 0.

Nie zawsze istnieje rozwiązanie szczególne równania spełniające konkretne warunki początkowe.

Są natomiast równania mające wiele rozwiązań tego samego zagadnienia Cauchy'ego.

Równania różniczkowe zwyczajne

Przykład

Zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego

𝑦

^′

= 2 |𝑦|

z warunkiem początkowym y(0) = 0 , ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Łatwo sprawdzić, że dla każdego 𝑐 ≥ 0 funkcja

𝑦 𝑥 = 0

(𝑥 − 𝑐)

²

𝑑𝑙𝑎 𝑥 ≤ 𝑐 𝑑𝑙𝑎 𝑥 > 𝑐

jest jego rozwiązaniem.

Równania różniczkowe zwyczajne

Równania różniczkowe zwyczajne

𝑦 𝑥 = 0

(𝑥 − 𝑐)

²

𝑑𝑙𝑎 𝑥 ≤ 𝑐

𝑑𝑙𝑎 𝑥 > 𝑐

Definicja

Zapis równania rzędu pierwszego

0 ) ' , ,

( x y y  F

nazywamy postacią ogólną (uwikłaną) równania.

Jeżeli można tę postac rozwikłać, tzn. zapisać równanie w postaci

) , (

' f x y

y 

to postać tę nazywamy normalną.

W notacji Leibniza równanie ma postać

) , ( y x dx f

dy 

Równania rzędu pierwszego

Warunek wystarczający istnienia rozwiązań

Twierdzenie (Peano)

Jeżeli prawa strona równania różniczkowego

) , ( ' f x y y 

jest funkcją ciągłą w obszarze D  R², to przez każdy punkt tego obszaru przechodzi co najmniej jedna krzywa całkowa tego równania.

(tzn. zagadnienie Cauchy'ego z warunkiem początkowym y(x₀

) = y

₀

,

gdzie

(x

₀

, y

₀

)D

posiada rozwiązanie).

Równania rzędu pierwszego

Warunek wystarczający istnienia i jednoznaczności rozwiązań

Definicja

Funkcja

f

spełnia warunek Lipschitza w otoczeniu

U

punktu

(x

₀

, y

₀

)

ze względu na

y



 L

> 0

 (x,y

1

)U



(x,y

2

)U | f(x,y

1

)



f(x,y

2

)| < L|y

1

- y

2

|

Twierdzenie (Picarda)

Jeżeli prawa strona równania różniczkowego

) , ( ' f x y y 

jest funkcją ciągłą w otoczeniu

U

punktu

(x

₀

, y

₀

)

i spełnia w nim warunek Lipschitza, to przez ten punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania

(tzn. zagadnienie Cauchy'ego z warunkiem początkowym

y(x

₀

) = y

₀

,

gdzie

(x

₀

, y

₀

)D

posiada lokalnie jednoznaczne rozwiązanie).

Uwaga

Jeżeli pochodna cząstkowa funkcji

f

względem

y

jest ciągła w otoczeniu

U

, to funkcja spełnia w

U

warunek Lipschitza ze względu na

y .

Równania różniczkowe zwyczajne

Definicja

Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy równanie, które można przedstawić w postaci

) (

) ' (

y g

x y  f

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Twierdzenie

Jeżeli

f

jest funkcją ciągłą na przedziale

(a, b),

zaś

g

funkcją ciągłą i różną od zera na przedziale

(c, d)

, to:

1. całka ogólna równania jest postaci

C x

F y

G ( )  ( ) 

gdzie

G

jest funkcją pierwotną funkcji

g

na przedziale

(c, d),

zaś

F

funkcją pierwotną funkcji

f

na przedziale

(a, b),

2. dla każdego

x

₀

 (a, b)

i

y

₀

 (c, d)

zagadnienie Cauchy'ego



 







0 0

)

(

) (

) ' (

y x

y

y g

x y f

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Z punktu 1.) tezy twierdzenia wynika, że wyznaczenie rozwiązania ogólnego równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych wymaga znalezienia całek nieoznaczonych funkcji

f

, oraz

g

.

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Procedura wyznaczania rozwiązania ogólnego równania o zmiennych rozdzielonych

1. Zapisujemy równanie w postaci

) (

) (

y g

x f dx dy 

2. Rozdzielamy zmienne (obustronnie mnożąc przez

g(y)dx

)

dx x f dy y

g ( )  ( )

3. Obustronnie całkujemy równanie (lewą stronę po

y

, prawą po

x

)



 ^{g ( y ) dy  f ( x ) dx}

4. Rozwiązanie ogólne równania ma postać

C x

F y

G ( )  ( ) 

5. gdzie

G

jest funkcją pierwotną funkcji

g

na przedziale (

c

,

d

), zaś

F

funkcją pierwotną funkcji

f

na przedziale (

a

,

b

).

Ostatnia równość zazwyczaj określa funkcję y w sposób uwikłany. Często się zdarza,

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Przykład

Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego

spełniającą warunek początkowy y(0) = 0.

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Przykład

Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego

spełniającą warunek początkowy y(0) = 0.

Rozdzielając zmienne i całkując obustronnie wyznaczamy całkę ogólną równania

Zatem funkcję y dało się wyznaczyć w sposób jawny.

Wyznaczamy całkę szczególną dla x = 0 i y = 0

Stąd C = 1 i całka szczególna spełniająca warunek początkowy y(0) = 0,

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Przykład

Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Przykład

Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Metodą rozdzielenia zmiennych całkujemy równanie różniczkowe

Przykład (c. d.)

Otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego, w którym poszukiwana funkcja y występuje w postaci uwikłanej (i związku tego nie da się rozwikłać).

Z przytoczonego twierdzenia wynika istnienie i jednoznaczność rozwiązania

zagadnienia Cauchy'ego. Zatem wstawiając x = 1 i y = 2 do rozwiązania równania dostajemy

4 + ln2 = 1 + C, czyli C = 3 + ln2.

Rozwiązaniem zagadnienia Cauchy'ego jest więc funkcja spełniająca równanie

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Przykład

Wyznaczyć krzywą całkową równania różniczkowego

przechodzącą przez punkt (1, 1).

Metodą rozdzielenia zmiennych wyznaczamy całkę ogólną równania

Rozdzielamy zmienne Całkujemy obustronnie

Stąd

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Przykład (c. d.)

Całka ogólna jest jednoparametrową rodziną okręgów (a więc krzywych!) o równaniach

(półokręgi: górne - dla y >0 i dolne - dla y <0 , są wykresami funkcji spełniających równanie różniczkowe).

Uwzględniając warunek początkowy y(1) = 1 dostajemy C = 2, zatem szukana krzywa całkowa jest opisywana równaniem

Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych

Jak to robią inni?

Kurs e-learningowy- OCW Massachusetts Institute of Technology

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-03sc-differential- equations-fall-2011/Syllabus/

Wykład video

http://videolectures.net/mit1803s06_differential_equations/

Generowanie wykresu rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego http://www.soft82.com/download/windows/ode-toolkit/

http://www.sosmath.com/diffeq/basicdef/basicdef.html

Dziękuję za uwagę