RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKŁAD 2
Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale ( a , b ), spełniającą na nim warunek f(u) u.
Definicja
Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie, które można zapisać w postaci
x f y y'
Równanie to za pomocą podstawienia
) skrócie
w ) (
) (
( x
u y x
x x y
u
sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych.
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Istotnie, różniczkując równość
) ) ( )
( . tzn
( y x u x x
ux
y
dostajemy
dx x u du dx
dy
Wstawiając do równania mamy
) (u f dx x
u du
Rozdzielając zmienne otrzymujemy równanie
x dx u
u f
du )
(
Po jego rozwiązaniu wracamy do wyjściowej funkcji y , podstawiając u = y/x.
Uwaga
Jeżeli warunek f(u) ≠ u nie jest spełniony, należy dodatkowo rozważyć równanie f(u) = u.
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Rozwiązać równanie
Podstawiamy
Stąd
Wstawiając do równania dostajemy
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład (c. d.)
Dla f(u)≠u, czyli gdy rozdzielamy zmienne i całkujemy
Czyli
Dla f(u)=u mamy
Stąd dostajemy dodatkowe rozwiązanie y ≡ 0.
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Często, w celu identyfikacji równania jednorodnego niezbędne jest wykonanie pewnych przekształceń.
Przykład
Rozwiązać równanie
Mnożąc licznik i mianownik prawej strony równania przez 1/x
2otrzymujemy
Jest to równanie jednorodne. Podstawiając u = y/x dostajemy
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład (c. d.)
Dla u ≠ 0 rozdzielając zmienne i całkując obustronnie mamy
Podstawiając u = y/x dostajemy rozwiązanie ogólne równania w postaci uwikłanej
Dodatkowo z warunku f(u) = u (czyli u
2= 0) dostajemy rozwiązanie y ≡ 0.
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego
dla x > 0 i y > 0.
Przekształcamy równanie
Po podstawieniu u = y/x dostajemy
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład (c. d.)
Przy uczynionych założeniach (y > 0) jest spełniony warunek f(u) ≠ u.
Rozdzielając zmienne mamy
Uwzględniając założenia (x > 0 i y > 0) oraz podstawienie u = y/x dostajemy
Jest to szukana całka ogólna równania.
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
Dzieląc licznik i mianownik prawej strony równania przez x stwierdzamy, że jest to równanie jednorodne spełniające warunek f(u)≠u.
Stosując podstawienie u =y/x dostajemy
czyli
Rozwiązanie ogólne równania ma zatem postać Z warunku początkowego, 0 = 1(ln1 + C),
czyli C = -ln1 = 0 i zagadnienie Cauchy'ego ma rozwiązanie
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Do równania o zmiennych rozdzielonych można też sprowadzić równanie typu
gdzie f jest funkcją ciągłą, a, b, c stałymi a 0, b 0, stosując podstawienie
(gdy a = 0, lub b = 0 równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych).
Mamy
Stąd
Rozdzielając zmienne (przy założeniu a + bf(u) ≠ 0) dostajemy równanie
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Po rozwiązaniu równania,
z równości
wyznaczamy funkcję y.
Przypadek a + bf(u) = 0 sprawdzamy oddzielnie.
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Wyznaczyć całkę szczególną równania
spełniającą warunek początkowy y(0) = 1.
Podstawiamy u = x + y + 1, stąd
Rozwiązujemy równanie metoda rozdzielenia zmiennych gdy u 1 0
Stąd
gdzie C jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera.
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład (c. d.)
Podstawiając u = x + y + 1 mamy
0 C
Jest to szukana całka ogólna równania.
Obejmuje ona również rozwiązanie równania dla u + 1 = 0, tzn. y = -x - 2, które dostajemy kładąc C = 0.
Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 1 dostajemy
Zatem szukana całka szczególna jest równa
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego
y' = 2x + y.Stosując podstawienie u = 2x + y dostajemy
Dla 2+u 0 rozdzielamy zmienne
Otrzymana całka ogólna obejmuje również rozwiązanie dla przypadku u = -2.
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Definicja
Równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci
gdzie p(x) i f(x) są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b).
Przedział (a, b) może być skończony lub nieskończony.
Definicja
Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego nazywamy jednorodnym
(w skrócie oznaczamy je symbolem RJ), jeżeli f(x) 0 na rozważanym przedziale tzn.
Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego nazywamy niejednorodnym (w skrócie RN), jeżeli funkcja f nie jest tożsamościowo równa zeru
na rozważanym przedziale tzn.
Równania różniczkowe liniowe
Przykład
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE JEDNORODNE RZĘDU PIERWSZEGO Rozważymy szczegółowo przypadek równania jednorodnego
Spełnia je oczywiście funkcja y(x) 0.
Jeżeli y(x) 0, to mamy równanie o zmiennych rozdzielonych.
Równania różniczkowe liniowe
Rozwiązując je wcześniej prezentowaną metodą dostajemy
gdzie P(x) oznacza funkcję pierwotną funkcji p(x) na przedziale (a, b), C1 jest stałą dodatnią,
Stąd rozwiązanie ma postać
gdzie C jest dowolną stałą różną od zera.
Uwaga
Dla C = 0 powyższy wzór obejmuje również rozwiązanie y(x) 0.
Równania różniczkowe liniowe
Twierdzenie
Jeżeli p jest funkcją ciągłą na przedziale (a, b) to:
a. całka ogólna równania jednorodnego (CORJ) jest postaci ,
gdzie P jest dowolną funkcją pierwotną funkcji p na przedziale (a, b), b. dla każdego x0 (a, b) i y0 (-, ) zagadnienie Cauchy'ego
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Równania różniczkowe liniowe
Przykład
Wyznaczyć całkę ogólną równania
W równaniu tym p(x) = x, zatem każda funkcja pierwotna jest postaci P(x) = x2/2 + C.
Ze względu na dowolność wyboru funkcji pierwotnej można przyjąć P(x) = x2/2, wówczas całka ogólna ma postać
(Oczywiście ten sam wynik otrzymamy realizując pełną procedurę rozdzielenia zmiennych).
Równania różniczkowe liniowe
Przykład
Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
W równaniu tym p(x) = - cosx, zatem jej każda funkcja pierwotna jest postaci P(x) = - sinx + C.
Ze względu na dowolność wyboru funkcji pierwotnej można przyjąć P(x) = -sinx, wówczas całka ogólna ma postać
Uwzględniając warunek początkowy dostajemy
Odpowiedź:
Równania różniczkowe liniowe
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE RZĘDU PIERWSZEGO Będziemy rozważać równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego postaci
) ( )
(
' p x y f x
y
gdzie
p(x)
if(x)
są funkcjami ciągłymi na przedziale(a, b)
, i funkcjaf
nie jest tożsamościowo równa zeru na rozważanym przedziale. Nazywamy je wówczas równaniem niejednorodnym (RN).Rozwiązywanie równania niejednorodnego jest realizowane w dwóch etapach.
W pierwszym rozwiązujemy odpowiadające mu równanie jednorodne (tzn. równanie, które otrzymujemy kładąc
f(x)
0
). Stosujemy w tym celu metodę rozdzieleniazmiennych, bądź korzystamy z wzoru określającego całkę ogólną równania liniowego jednorodnego.
W etapie drugim stosujemy metodę uzmiennienia stałej, lub metodę przewidywań.
Równania różniczkowe liniowe
Metoda uzmiennienia stałej
W metodzie tej opieramy się na całce ogólnej równania jednorodnego (CORJ), która ma zawsze postać
gdzie P(x) jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji p(x).
Całka ogólna równania niejednorodnego (CORN) wyraża się podobnym wzorem, z tą różnicą, że zamiast stałej C występuje w nim pewna funkcja zmiennej x.
Aby ją znaleźć, zastępujemy stałą C nieznaną funkcją, którą oznaczamy C(x)
(nazywamy to uzmiennieniem stałej), a następnie staramy się dobrać ją tak, by wzór
definiował rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego.
Równania różniczkowe liniowe
Procedura wyznaczania funkcji C(x)
Różniczkujemy ostatnią równość
i wstawiamy do RN otrzymując
Redukując wyrazy podobne dostajemy
czyli
Stąd
gdzie jest dowolną, ustaloną funkcją pierwotną funkcji feP. Jest to szukana funkcja C(x).
Równania różniczkowe liniowe
Całka ogólna równania niejednorodnego (CORN) ma postać
Twierdzenie
Jeżeli p i f są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b), to:
CORN jest postaci
gdzie P jest funkcją pierwotną funkcji p na przedziale (a, b), zaś jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji feP ,
dla każdego x0 (a, b) i y0 (-, ) zagadnienie Cauchy'ego
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
