RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE

WYKŁAD 3

Metoda przewidywań

Metoda przewidywań całkowania równania niejednorodnego

) ( )

(

' p x y f x

y  

opiera się na następującym twierdzeniu.

Twierdzenie

Suma całki ogólnej równania jednorodnego i jakiejkolwiek całki szczególnej równania niejednorodnego jest całką ogólną równania niejednorodnego.

W skrócie twierdzenie to można zapisać

CORN = CORJ + CSRN

W metodzie tej CORJ wyznaczamy tak jak poprzednio, zaś postać CSRN

"odgadujemy" bazując na doświadczeniach zdobytych przy całkowaniu pewnych klas równań.

Równania różniczkowe liniowe

Przewidywanie postaci CSRN jest stosunkowo proste jeżeli:

funkcja

p(x)

równocześnie funkcja

f(x)

 wielomianem,

 sumą funkcji

 sin  x   cos  x

 funkcją typu

ae

b  -p,

 sumą, lub iloczynem funkcji trzech w/w typów.

W każdym z wymienionych przypadków całkę szczególną równania niejednorodnego należy przewidzieć w tej samej postaci co

f(x)

zachowując odpowiednio: stopień wielomianu, liczbę



b

 ^, 

a

po wstawieniu przewidywanej funkcji do równania niejednorodnego.

Równania różniczkowe liniowe

f(x) Przewidywana postać CSRN

Wielomian stopnia n Ogólna postać wielomianu stopnia n

a e

p b

Ax

p b

A

bx bx







 gdy ,

e

gdy ,

e

x

x  



 sin  cos A sin  x  B cos  x

Suma lub iloczyn powyższych Suma lub iloczyn powyższych

Równania różniczkowe liniowe

W przeciwieństwie do metody uzmiennienia stałej, metoda przewidywań nie jest metodą uniwersalną.

Natomiast w wymienionych wyżej przypadkach jest zazwyczaj prostsza rachunkowo.

Przykład

Stosując metodę przewidywań znajdziemy całkę ogólną równania

W równaniu tym p(x)  4 (jest funkcją stałą), zaś f(x) = x³ (jest wielomianem).

Wyznaczamy CORJ Ma ona postać

Równania różniczkowe liniowe

Wyznaczamy CSRN metodą przewidywań

Ponieważ

więc CSRN przewidujemy w postaci wielomianu stopnia trzeciego, tzn.

Stąd

Wstawiając do równania dostajemy

czyli

Równania różniczkowe liniowe

Ostatnia równość ta będzie spełniona dla każdego x wtedy i tylko wtedy, gdy będzie spełniony układ równań

Stąd

Zatem funkcja

jest CSRN, czyli

jest szukanym rozwiązaniem ogólnym równania.

CORJ

CSRN

Równania różniczkowe liniowe

Przykład

Stosując metodę przewidywań wyznaczyć całkę szczególną równania

spełniającą warunek początkowy y(0) = 2.

Jest to równanie liniowe niejednorodne rzędu pierwszego o stałych współczynnikach (p(x)  1), w którym f(x) = xe^x .

Wyznaczamy CORJ

Całka ogólna równania jednorodnego (CORJ) jest postaci:

Wyznaczamy CSRN metodą przewidywań

Całkę szczególną równania niejednorodnego (CSRN) przewidujemy

w postaci iloczynu wielomianu stopnia pierwszego i funkcji wykładniczej e^x Stąd

Równania różniczkowe liniowe

Przykład (c. d.)

Wstawiając do równania otrzymujemy

Warunek ten jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy czyli, gdy dla każdego x

Stąd

Rozwiązując układ równań dostajemy

Równania różniczkowe liniowe

Przykład (c. d.)

Zatem CSRN ma postać

natomiast CORN

Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 2, otrzymamy

Szukaną całką szczególną jest więc funkcja

Równania różniczkowe liniowe

Uwaga

Gdy prawa strona równania jest funkcją sinus bądź cosinus, rozwiązanie równania zawsze przewidujemy w postaci kombinacji liniowej tych

funkcji, jak to pokazuje poniższy przykład.

Przykład

Wyznaczyć całkę ogólną równania

Wyznaczamy CORJ

Całka ogólna równania jednorodnego (p(x) 3)

Równania różniczkowe liniowe

Przykład (c. d.)

Wyznaczamy CSRN metodą przewidywań Rozwiązanie równania niejednorodnego

przewidujemy w postaci kombinacji funkcji sin3x oraz cos3x, czyli Wstawiając do równania mamy

Otrzymany warunek ma być spełniony dla każdego x, stąd

A zatem:

Równania różniczkowe liniowe

Przykład (c. d.)

Całką szczególną równania niejednorodnego (CSRN)

jest więc funkcja

Ostatecznie CORN ma postać

Równania różniczkowe liniowe

Przy rozwiązywaniu równań metodą przewidywań użyteczne bywa następujące twierdzenie.

Twierdzenie

Suma całki szczególnej równania i całki szczególnej równania

jest całką szczególną równania

Twierdzenie to stosujemy, gdy funkcje f1 i f2 są różnych typów.

Niezależne wyznaczanie całek szczególnych dla każdego z równań jest bowiem prostsze rachunkowo.

Równania różniczkowe liniowe

Przykład

Wykorzystując podane twierdzenie wyznaczymy całkę ogólną równania

We wcześniejszym przykładzie zostały wyznaczone CORJ, która jest równa

oraz całka szczególna równania niejednorodnego

Ma ona postać

Dla znalezienia CORN wystarczy zatem wyznaczyć całkę szczególną równania

Równania różniczkowe liniowe

Przykład (c. d.)

Zastosujemy metodą przewidywań szukając rozwiązania w postaci

Po obliczeniu pochodnej

i wstawieniu do równania mamy

Stąd

Czyli A = 1/2, B = -1/2, zatem rozwiązanie ma postać

Ostatecznie szukaną CORN jest funkcja

Równania różniczkowe liniowe

Równanie różniczkowe Bernoulliego

Równanie różniczkowe Bernoulliego rozwiązujemy za pomocą podstawienia

y

z 

które sprowadza je do równania liniowego Istotnie,

' )

1 (

' r y y

z  



Mnożąc równanie obustronnie przez

( 1  r ) y

) ( ) 1

( )

( ) 1

( ' )

1

(  r y

 y   r p x y

  r q x

Po podstawieniu mamy

) ( ) 1

( )

( ) 1

(

' r p x z r q x

z    

Równanie różniczkowe Bernoulliego

Przykład

Rozwiązać równanie

2

2

2

' xy x y

y  

Dla y  0 dzielimy obustronnie przez y

3 1

2

y ' 2 xy 2 x

y

 



Podstawiając z = y

dostajemy równanie liniowe

2

2

' xz x

z   

Po scałkowaniu

2 2

) 1

exp( x x C

z   

2 2

) 1

exp(

1

x x

y C



 

Ponadto y  0 jest rozwiązaniem równania .

Równanie różniczkowe Bernoulliego

Jeżeli występująca w równaniu

) , (

' f x y y 

funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie.

Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie ( x

, y

), lecz ma w tym punkcie skończoną granicę g, to przedłużamy funkcję f przyjmując

f ( x

, y

) = g .

Jeżeli w punkcie ( x

, y

), funkcja ma granicę niewłaściwą , to rozpatrujemy równanie odwrócone

) , (

1 y x f dy

dx 

Rozwiązania równania odwróconego dołączamy do zbioru rozwiązań równania wyjściowego.

Obszar określoności równania

Przykład

Zbiorem określoności równania

y 1 x ' 

jest cała płaszczyzna.

Definicja

Punkt (

x

, y

f

[ 0 ]

] 0 [

nazywamy punktem osobliwym.

Punkty osobliwe nie należą do obszaru oznaczoności równania.

Obszar określoności równania

Interpretacja geometryczna równania różniczkowego rzędu pierwszego w postaci normalnej

W każdym punkcie obszaru określoności D ^równanie )

, (

' f x y y 

określa tangens kąta nachylenia stycznej (współczynnik kierunkowy) do krzywej całkowej.

Definicja

Elementem kierunkowym nazywamy odcinek o środku w punkcie

( x

, y

)  D , który tworzy z dodatnim kierunkiem osi Ox ^kąt

) ,

( x

y

f

arctg

 

Zbiór wszystkich elementow kierunkowych tworzy pole elementów

Interpretacja geometryczna

Definicja

Izokliną nazywamy krzywą na której pochodna ma stałą wartość, tzn. krzywą o równaniu

) ( ,

) ,

( x y a const a f D

f   

(zbiór punktów obszaru

D

Przykład

Izokliny równania

x y '   y

wyznaczamy z warunku

ax y

czyli x a

y   

 ,

Są nimi proste przechodzące przez punkt (

0, 0

0, 0

Interpretacja geometryczna

Interpretacja geometryczna

krzywe całkowe równania mają postać

2 2

2

y C

x  

Przykład (c. d.)

Metoda graficznego, przybliżonego znajdowania krzywych całkowych

x y

x y

izoklina

 x

y '   y

Metoda izoklin

Przykład

x y

x y

Metoda izoklin

Przykład

Metoda izoklin

Przykład

Metoda izoklin

Przykład

Przykład

Metodą izoklin wyznaczyć krzywe całkowe równania

2

' x

y y  

Metoda izoklin

Rozwiązanie równania nie da się wyrazić za pomocą funkcji elementarnych!

Metoda izoklin

Slope Field Calculator

http://alamos.math.arizona.edu/~rychlik/JOde/JOdeApplet.html

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ