PiMS
Procesy stochastyczne.
Przykład
Problem ruiny gracza
W każdej partii pewnej gry gracz wygrywa 1 zł z prawdopodobieństwem p = 0.6 albo przegrywa 1 zł z prawdopodobieństwem q = 0.4. Gracz rozpoczyna grę z kapitałem 2 zł. Gra kończy się, gdy gracz ma 0 zł lub 5 zł.
a) Oblicz prawdopodobieństwo tego, że gracz zakończy grę po co najwyżej 3 partiach.
b) Oblicz wartość oczekiwaną kapitału gracza po 3 partiach.
i − 1←−q− i−−→ i + 1p
po jednej partii :
Trzeci wiersz macierzy przejść:
p2j =h 0, q, 0, p, 0, . . . i dla j = 0, 1, 2, . . .
po dwóch partiach:
Trzeci wiersz macierzy przejść:
p2j =h qq, 0 qp + pq, 0, pp, 0, . . . i dla j = 0, 1, 2, . . .
po trzech partiach:
Trzeci wiersz macierzy przejść:
p2j =h qq, qpq + pqq 0, qpp + pqp + ppq 0, ppp, 0, . . . i dla j = 0, 1, 2, . . .
Zatem
a) Gra się kończy, gdy gracz ma 0 zł lub 5 zł:
p20= qq, p25= ppp.
Zatem P (A3) = qq + ppp = 0.16 + 0.216 = 0.376, gdzie A3 zdarzenie polegające na tym, że gracz zakończy grę po co najwyżej 3 partiach.
b) E(X3) = qq · 0 + (qpq + pqq) · 1 + (qpp + pqp + ppq) · 3 + ppp · 5 = 0.16 · 0 + (0.096 + 0.096) · 1 + (0.144 + 0.144 + 0.144) · 3 + 0.216 · 5 = 0.16 · 0 + 0.192 · 1 + 0.432 · 3 + 0.216 · 5 = 0.192 + 1.296 + 1.080 = 2.568, gdzie X3=kapitał gracza po 3 partiach.
Zadanie 5 c)
Korzystamy ze wzoru:
P (Y < t) = 1 − e−λt, gdy t > 0 Otrzymujemy:
P (2 ¬ Y < 4) = P (Y < 4) − P (Y < 2) = 1 − e−4− (1 − e−2) = e−2− e−4.
