PiMS Procesy stochastyczne.

PiMS

Procesy stochastyczne.

Przykład

Amplituda napięcia generowanego przez prądnicę prądu zmiennego zależy od czynników losowych i może być zapisana jako proces:

X(t, ω) = A sin ωt

gdzie ω - stała określająca częstotliwość, A - zmienna losowa o rozkładzie N (230, 5), t - czas, t ∈ R.

Szczególne przypadki:

Dla t = 0 otrzymujemy zmienną losową X₀ o rozkładzie jednopunktowym, czyli stałą o wartości 0.

Dla t = _2ω^π mamy zmienną losową X^π

2ω = A o rozkładzie N (230, 5).

Dla t = _2ω^3π mamy zmienną losową X^3π

2ω = −A o rozkładzie N (−230, 5)

Obliczmy parametry tego procesu:

Wartość oczekiwana:

m(t) = E(X_t) = sin(ωt)E(A) = 230 sin(ωt) Moment rzędu 2:

m₂(t) = E(X_t² = sin²(ωt)E(A²) = 52925 sin²(ωt)

(skoro D²(A) = E(A²) − (E(A))², to E(A²) = D²(A) + (E(A))² = 25 + 230² = 52925) Wariancja procesu:

σ²(t) = D²(X_t) = m₂(t)−(m(t))² = 52925 sin²(ωt)−230²sin²(ωt) = (52925−52900) sin²(ωt) = 25 sin²(ωt)

oraz odchylenie standardowe:

σ(t) = 5sin(ωt)

Autokorelacja:

R(t₁, t₂) = E(X_t1, X_t2 = E(A sin(ωt₁), A sin(ωt₂)) = sin(ωt₁) sin(ωt₂)E(A²) = 52925 sin(ωt₁) sin(ωt₂)

Autokowariancja:

K(t₁, t₂) = R(t₁, t₂) − m(t₁)m(t₂) = 25 sin(ωt₁) sin(ωt₂) Współczynnik autokorelacji:

ρ(t₁, t₂) = K(t₁, t₂)

σ(t₁) · σ(t₂) = 25 sin(ωt₁) sin(ωt₂) 5 sin(ωt₁) · 5 sin(ωt₂) = 1

Zatem zmienne Xt1, Xt2 są zalezne liniowo (przy ustalonych dowolnych momentach czasu t₁, t₂). Do- kładnie X_t2 = a · X_t1, gdzie a = ^sin(ωt_sin(ωt²⁾

1).

Przykładowe rozwiązania zadań z części 5 Zadanie 2: Rozkład prawdopodobieństwa Xt jest postaci:

P (X_t= 5t) = 1

2, P (X_t= −10t) = 1 2

Zatem:

E(Xt) = 1

2· 5t + 1

2· (−10t) = −5 2t

E(X_t²) = 1

2 · (5t)² +1

2 · (−10t)² = 125 2 t²

D²(X_t) = E(X_t²) − (E(X_t))² = 125

2 t²− 25

4 t² = 225 4 t²

D(X_t) = 15 2 t

Zadanie 3

E(Xt) =

Z ¹

t

0

t · x dx = t · 1 2

1 t² = 1

2t

E(X_t²) =

Z ¹

t

0

t · x² dx = t · 1 3

1 t³ = 1

3t²

D²(X_t) = E(X_t²) − (E(X_t))² = 1 3t² − 1

4t² = 1 12t²

D(X_t) =

s 1 12

1 t

Zadanie 7

i − 1←−^q− i−−→ i + 1^p

a)

dla ∆t ¬ t < 2∆t:

Pierwszy wiersz macierzy przejść:

p_1j(0, t) =^h r + q, p, 0, . . . ⁱ

Zatem E(X_t) = 1(r + q) + 2p

dla 2∆t ¬ t < 3∆t:

Pierwszy wiersz macierzy przejść:

p_1j(0, t) =^h rr + rq + qq + qr + pq, rp + qp + pr, pp, 0, . . . ⁱ

Zatem E(X_t) = 1(rr + rq + qq + qr + pq) + 2(rp + qp + pr) + 3pp = 3p²+ q² + r²+ 3pq + 4pr + 2qr

b) nie jest jednorodny bo np. p12(0,³₄∆t) = 0 a p12(³₄∆t,³₂∆t) = p (ten drugi przedział czasu zawiera moment przeskoku).