1 2
3 wyk lad 3
Udowodnimy teraz lemat przygotowawczy:
Lemat 3.1 Niech K ⊂ H bedzie j-wymiarow, a kul, a o ´, srodku p zawarta w, p´o lprzestrzeni H. Je˙zeli p ∈ ∂H to K ⊂ ∂H
Dow´od:
Niech q ∈ K ∩ H q /∈ ∂H. Przyjmijmy:
H = {x ∈ α • x ≤ b} wtedy α • q < b i α • p = b.
Ale p = 12q + 12q0 dla pewnego q ∈ K
Dochodzimy do sprzeczno´sci, gdy˙z z jednej strony q0 ∈ K ⊂ H implikuje α • q0 ≤ b
za´s z drugiej strony
α • q0 = α • 2p − q = 2α • p − α • q = 2b − α • q > b .
Lemat 3.2 Niech p bedzie punktem wielo´, scianu W ⊂ Rn,
W =
x ∈ Rn:
α1• x ≤ b1 α2• x ≤ b2
... αt• x ≤ bt
. Dodatkowo zak ladamy, ˙ze r´ownania sa,
tak ustawione by:
αi• x = bi dla 1 ≤ i ≤ s;
αi• x < bi dla s < i ≤ t;
Niech Ap =
α1 α2
...
αs
, jest podmacierza macierzy opisuj, acej W z lo˙zon, a z, s pierwszych wierszy macierzy opisujacej W .,
W´owczas r´ownowa˙zne :
1) p nale˙zy do wnetrza pewnej ´, sciany wymiaru j.
2) p jest ´srodkiem pewnej kuli j-wymiarowej kuli zawartej w W ale p nie jest ´srodkiem ˙zadnej kuli j+1-wymiarowej kuli zawartej w W.
3) Rzad macierzy A, p = n − j Dow´od:
Rozpoczynamy od opisu ´sciany zawierajacej p. Definiujemy p´, o lprzestrze´n H = {x ∈ Rn : Ps
i=1αi • x ≤ Ps
i=1bi}. Oczywi´scie je˙zeli q ∈ W to
∀i αi • x = bi implikuje q ∈ H. Ponadto p ∈ ∂H.
Badamy teraz ´sciane S = ∂H ∩ W .,
Niech V bedzie zbiorem rozwi, aza´, n uk ladu r´owna´n pochodzacych od, s pierwszych nier´owno´sci opisujacych W o macierzy A, p.
Czyli V = {x ∈ Rn ; ∀1≤i≤s αi• p = bi}. Na mocy twierdzenia Kroneckera - Capellego V jest przestrzenia afiniczn, a wymiaru j. Z definicji V ⊂ ∂H. Dla, punkt´ow z W zachodzi te˙z przeciwna inkluzja ∂H ∩ W ⊂ V czyli S ⊂ V . Rzeczywi´scie, niech q ∈ S. αi• q ≤ bi dla i ≤ s oraz Ps
i=1αi • x ≤Ps i=1bi implikuje αi• q = bi dla i ≤ s. Otrzymujemy stad oszacowanie wymiaru S, dimS ≤ dimV = j.
Budujemy kule.,
Istnieje taki ε > 0, ˙ze dla ka˙zdej p´o lprzestrzeni Hi opisujacej wielo´scian, W , je˙zeli p 6∈ ∂H ⇒ K(p; ε) ⊂ H. Teraz K = K(p; ε)∩V jest kula o ´srodku p, i zawarta w p´, o lprzestrzeniach Hi, dla i > s. Ponadto na mocy poprzedniego lematu K ⊂ ∂H stad K ⊂ S ⊂ W .,
Podsumujmy: Punkt p jest ´srodkiem pewnej kuli j-wymiarowej kuli za- wartej w S ⊂ W . A Zatem p jest punktem wewnetrznym j-wymiarowej,
´sciany S.
Ad 3) Niech K bedzie kul, a o ´srodku p zawart, a w wielo´scianie W . Wtedy, K ⊂ H i p ∈ ∂H. Na mocy lematu 3.1 K ⊂ ∂H ∩ W = S. Stad dim K ≤ j.,
Popatrzmy jak poprzedni lemat mo˙zna zastosowa´c do opisu wierzcho lk´ow.
Twierdzenie 3.3 Niech p bedzie punktem wielo´, scianu W ⊂ Rn,
W =
x ∈ Rn:
α1• x ≤ b1 α2• x ≤ b2
· · · αt• x ≤ bt
. Dodatkowo zak ladamy, ˙ze r´ownania sa,
αi• x = bi dla 1 ≤ i ≤ s;
αi• x < bi dla s < i ≤ t;
W´owczas r´ownowa˙zne sa warunki:,
1) p jest wierzcho lkiem wielo´scianu W ..
2) p nie jest ´srodkiem odcinka zawartego w W.
2a) p nie jest nietrywialna kombinacj, a wypuk l, a punkt´, ow z W .
3) rzad macierzy A, p = n gdzie Ap =
α1 α2 ...
αs
, jest podmacierza macierzy,
opisujacej W z lo˙zon, a z s pierwszych wierszy macierzy opisuj, acej W ., Dow´od:
Implikacje 1) ⇒ 2) ⇒ 3) ⇒ 4) wynikaja bezpo´srednio z poprzedniego, lematu.
Implikacja 2) ⇒ 2a) jest oczywista.
Dow´od 2a) ⇒ 2). Niech p = Pt
i=1 ripi bedzie nietrywialn, a kombinacj, a, wypuk la punkt´, ow z W . To znaczy ∀iri > 0 i wszystkie punkty sa r´, o˙zne.
Wtedy p = r1p1 + (1 − r1)Pt
i=2 ripi nale˙zy do wnetrza odcinka o ko´, ncach p1 i Pt
i=2 ripi a wiec jest ´srodkiem pewnego mniejszego odcinka zawartego, w W .
Wniosek 3.4 Wielo´scian ma co najwy˙zej sko´nczona liczb, e wierzcho lk´, ow.
Dok ladniej: Je˙zeli W jest wielo´scianem w Rnopisanym przez t p´o lprzestrzeni to W zawiera co najwy˙zej
t n
wierzcho lk´ow.
Algorytm szukania wierzcho lk´ow.
Z nier´owno´sci opisujacych wielo´scian wybieramy n liniowo niezale˙znych., Zamieniamy je na r´ownania i rozwiazujemy otrzymany uk lad n r´, owna´n.
Poniewa˙z r´ownania sa niezale˙zne rozwi, azanie jest jednoznaczne. Je˙zeli, rozwiazanie spe lnia pozosta le nier´, owno´sci to otrzymali´smy wierzcho lek.
Procedure t, a mo˙zemy stosowa´, c
t n
razy.
Analogicznie mo˙zemy opisywa´c krawedzie.,
Twierdzenie 3.5 Niech p bedzie punktem wielo´, scianu W ⊂ Rn,
W =
x ∈ Rn:
α1• x ≤ b1 α2• x ≤ b2
· · · αt• x ≤ bt
. Dodatkowo zak ladamy, ˙ze r´ownania sa,
tak ustawione by:
αi• x = bi dla 1 ≤ i ≤ s;
αi• x < bi dla s < i ≤ t;
W´owczas r´ownowa˙zne sa warunki:,
1) p jest punktem wewnetrznym kraw, edzi wielo´, scianu W ..
2) p jest ´srodkiem odcinka zawartego w W ale nie jest ´srodkiem ko la zawartego w W.
3) rzad macierzy A, p = n − 1 gdzie Ap =
α1 α2
...
αs
, jest podmacierza, macierzy opisujacej W z lo˙zon, a z s pierwszych wierszy macierzy opisuj, acej, W .
Wniosek 3.6 Wielo´scian ma co najwy˙zej sko´nczona liczb, e kraw, edzi. Dok ladniej:, Je˙zeli W jest wielo´scianem w Rn opisanym przez t p´o lprzestrzeni to W zaw- iera co najwy˙zej
t
n − 1
krawedzi., Algorytm szukania krawedzi.,
Z nier´owno´sci opisujacych wielo´scian wybieramy n-1 liniowo niezale˙znych., Zamieniamy je na r´ownania i rozwiazujemy otrzymany uk lad n-1 r´, owna´n.
Poniewa˙z r´ownania sa niezale˙zne rozwi, azanie jest prosta, nazwijmy j, a l., Aby wyliczy´c krawed´, z zawarta w otrzymanej prostej przedstawiamy j, a w, postaci parametrycznej l = q + tα, t ∈ R. Wstawiamy r´ownanie prostej do pozosta lych nier´owno´sci i otrzymujemy ograniczenia na t.
Procedure t, a mo˙zemy stosowa´, c
t
n − 1
razy.
Algorytm szukania krawedzi wychodz, acych z wierzcho lka p., Wypisujemy wszystkie nier´owno´sci, kt´ore punkt p spe lnia jako r´owno´sci.
Z tego zbioru n-1 liniowo niezale˙znych. i dalej jak w poprzednim algorytmie.
Twierdzenie 3.7 Niech W ⊆ Rnbedzie wielo´, scianem 6= ∅ opisanym wzorem
W´owczas r´ownowa˙zne sa warunki:, 1) W zawiera wierzcho lek 2) rzA = n
3) W nie zawiera prostej
Dow´od:
1) ⇒ 2) wniosek z poprzedniego twierdzenia Dow´od 2) ⇒ 3)
Przypu´s´cmy, ˙ze {p + rα : r ∈ R} jest prosta w W (p, α ∈ R, n)
∀r∈R A(p + rα) ≤ b
A =
n
z }| {
α1 α2 ...
αt
b =
b1 b2 ...
bt
t
∀1≤i≤s αi• p + rα ≤ bi αi• p + rαi• α ≤ bi
∀1≤i≤s ∀t∈R rαi• α ≤ bi− αi• p .
Ale
α
i• α > 0 ⇒ r ≤
αi•α≤bα i−αi•pi•α
a
i• α < 0 ⇒ r ≤
αi•α≥bα i−αi•pi•α .
Zatem αi• α = 0
i α jest niezerowym rozwiazaniem jednorodnego uk ladu r´, owna´n liniowych A[y] = Θ.
Wynika stad, ˙ze wymiar przestrzeni rozwi, aza´, n jest ≥ 1. Na mocy twierdzenia Kroneckera - Capellego rzA < n
-sprzeczno´s´c 3) ⇒ 1)
Ka˙zdemu punktowi p ∈ W przyporzadkowujemy najmniejsz, a liczb, e, naturalna n, p, taka, ˙ze p le˙zy na ´scianie wymiaru n, p
Niech q ∈ W bedzie punktem takim, ˙ze liczba n, q jest najmniejsza.
Bez zmniejszania og´olno´sci mo˙zna przyja´,c
α1• q = b1 α2• q = b2
...
αk• q = bk αk+1• q < bk+1
αt• q < bt
nq = n − rz
α1 α2 ...
αk
Przypu´s´cmy, ˙ze nq 6= 0 czyli rz
α1 α2
...
αk
< n
Wtedy uk lad r´owna´n
α1 α2 ...
αk
x1 x2 ...
xn
=
b1 b2 ...
bk
ma niezerowe rozwiazanie α. Zatem prosta {q + tα : t ∈ R}, spe lnia
α1
α2 ...
αk
[q + tα] ≤
b1
b2 ...
bk
prosta q + tα ⊂ W {t ∈ R; q + tα ∈ W } jest w la´sciwym podzbiorem R.
Wiec istnieje punkt graniczny t, 0. Przyjmijmy,
˙ze ∀t>t0 q + tα /∈ W q + t0α ∈ W . Oznacza to, ˙ze istnieje i > k taki, ˙ze αi • q + t0α = bi nq+ t0 < nq
-sprzeczno´s´c
Wniosek 3.8 Niech ∅ 6= W1 ⊂ W2 bed, a wielo´, scianami. Je˙zeli W2 zawiera wierzcho lek to W1 te˙z zawiera wierzcho lek.
Dow´od: W2 zawiera wierzcho lek ⇒ W2 nie zawiera prostej ⇒ W1 nie zawiera prostej ⇒ W1 zawiera wierzcho lek.
Wniosek 3.9 Niech ∅ 6= W ⊂ Rnbedzie opisane W = {x ∈ R, n; Ax = b ∧ x ≥ 0}
Wtedy W zawiera wierzcho lek
Dow´od:
W ⊂ W2 gdzie W2 = {x ∈ Rn, x ≥ 0} czyli −x ≤ 0
ale rz
−1 0 . . . 0 0 −1 . . . 0
... . . . 0 0 . . . −1
= n
Stad W, 2 zawiera wierzcho lek, wiec W, 1 te˙z.
Twierdzenie 3.10 Niech W ⊂ Rn bedzie wielo´, scianem z wierzcho lkiem.
Niech S bedzie ´, sciana wielo´, scianu W . W´owczas S ma wierzcho lek i ka˙zdy wierzcho lek S jest wierzcho lkiem W .
Dow´od:
Przyjmijmy W = Tt
i=1Hi, S = W ∩ ∂H = Tt
i=1Hi∩ ∂H, gdzie Hi, H sa p´, o lprzestrzeniami, W ⊂ H i ∂H jest hiperprzestrzenia podpieraj, ac, a W w, punkcie p; ( p ∈ W ∪ ∂H). Niech H = {x ; α • x ≤ b}.
S jest wielo´scianem wiec na mocy poprzedniego wniosku zawiera wierz-, cho lek. Przypu´s´cmy, ˙ze p jest wierzcho lkiem S ale nie jest wierzcho lkiem W . Zatem rzad macierzy powsta lej z wektor´, ow opisujacych te p´, o lprzestrzenie Hi, ˙ze p ∈ ∂Hi jest mniejszy ni˙z n. Stad p ∈ ∂H. Niech q, 1, q2 bed, a ko´, ncami odcinka zawartego w W , kt´orego p jest ´srodkiem. Przyjmijmy q1 ∈ S ⊆ W . Wtedy p ∈ H \ ∂H. Stad α • q, 1 < b.
Ale α • q2 = α • (2p − q1) = α • 2p − α • q1 > b. Otrzymali´smy sprzeczno´s´c bo q2 ∈ W ⊆ H.
Bezpo´srednio stad wynika.,
Wniosek 3.11 Niech W ⊂ Rn bedzie wielo´, scianem z wierzcho lkiem. Wtedy ka˙zda krawed´, z wielo´scianu W zawiera pewien wierzcho lek W .
R´o˙zne sposoby zapisywania p´o lprzestrzeni H ⊂ Rn Niech p ∈ ∂H ←brzeg H
∂H = p + V gdzie V jest n − 1 wymiarowa p´, o lprzestrzenia R, n H = {x : α • x ≤ b}
V = {x : α • x = b}
α • p = b
Niech α1, α2, ..., αn−1bedzie baz, a V oraz α, 1, α2, ..., αn−1, αn bedzie baz, a, Rn. W uk ladzie wsp´o lrzednych α, 1, α2, ..., αn i p
H = {(x1, x2, ..., xn); xn ≤ 0}
(x1...xn) = p + x1α1 + x2α2 + ... + xn−1αn−1 + xnαn przy odpowiednim wyborze αn tzn p + αn∈ H/
Punkty p, p + α1, ..., p + αn−1 tworza uk lad bazowy, ∂H, natomiast p, p + α1, ..., p + αn tworza baz, e punktow, a R, n ;
H = {Pn
i=0ripi :Pn
i=0ri = 1 ∧ rn ≤ 0}gdzie p0 = p, pi = p + αi.
I na odwr´ot. Je˙zeli punkty p, p1 = p + α1, ..., pn = p + αn tworza baz, e, punktowa R, n i H = {Pn
i=0ripi ; Pn
i=0ri = 1 ∧ rn≤ 0}
to V = Pn−1
i=0 ripi ; Pn−1
i=0 ri = 1 jest hiperprzestrzenia zawart, a w H. Niech, V bedzie opisane r´, ownaniem: V = {x ∈ Rn; α • x = b}. Punkt pn ∈ V wi/ ec, α • pn 6= b. Bez zmniejszenia og´olno´sci przyjmijmy α • pn< b.
Niech q =Pn
i=0ripi, gdzie Pn
i=0ri = 1 wtedy α • q = α • Pn
i=0ripi = Pn
i=0riα • pi = Pn−1
i=0 rib + rnα • pn = (1 − rn)b + rnα • pn. Stad q ∈ H ⇔ r, n≤ 0 ⇔ α • q ≤ b. Pokazali´smy, ˙ze H jest p´o lprzestrzenia.,
Zajmiemy sie teraz innym opisem wielo´scian´, ow.
Przyk lad 3.12 Niech p0, p1, · · · , pnbedzie uk ladem punkt´, ow z Rnw po lo˙zeniu
og´olnym, takim ˙ze det
p0 1 p1 1 ... ... pn 1
> 0. W´owczas W = Conv {p0, p1, · · · , pn}
jest wielo´scianem opisanym uk ladem:
det
x1 x2 · · · xn 1
p1 1
... ...
pn 1
> 0,
det
p0 1
x1 x2 · · · xn 1 p2
... ...
pn 1
> 0,
...
det
p0 1
p1 1
... ...
pn−1 1
x1 x2 · · · xx 1
> 0.
Ponadto zbiorem wierzcho lk´ow W jest {p0, p1, · · · , pn} za´s krawedziami, sa odcinki l, acz, ace dowolne dwa wierzcho lki.,
