Minimalizacja czasu trwania przebiegów oscylacyjnych w układzie przenoszenia momentu silnik-koła napędowe pojazdu trakcyjnego

M irosław LEW A N DO W SK I

MINIMALIZACJA CZASU TRWANIA PRZEBIEGÓW

OSCYLACYJNYCH W UKŁADZIE PRZENOSZENIA MOMENTU SILNIK-KOŁA NAPĘDOWE POJAZDU TRAKCYJNEGO

Streszczenie. W pracy przedstaw iono model m atem atyczny układu m echanicznego przenoszenia m om entu oraz strukturę regulatora m inim alizującego czas trw ania prze­

biegów oscylacyjnych.

MINIMIZATION OF OSCILLATORY TRANSIENT RESPONSE DURATION OF DRIVING TORQUE TRANSFER IN MOTOR-WHEEL SYSTEM OF TRACTION VEHICLE

Sum m ary. The paper presents the mathem atical model o f torque transfer in m e­

chanical system and structure o f controller m inim izing the oscillatory transient response duration.

1. W STĘP

M odel zastępczy układu przełożenia m om entu obrotowego w ózka silnikow ego ogranicza się do opisu drgań obrotow ych w wałach napędow ych wózka. O scylacje m om entu w ystępują­

ce w słabo tłum ionych układach m echanicznych przenoszenia m om entu silnik-koło w pływ ają niekorzystnie na zjaw iska koło-szyna. Powoduje to szybsze zużyw anie się elem entów m e­

chanicznych. Z w ysoką dynam iczną kontrolą m om entu i pojedynczym zasilaniem silnika m ożliw e je s t w ykorzystanie nowego sposobu sterowania opartego na regulatorze stanu, który uw zględnia m echanikę pojazdu. W nowym systemie sterow ania nie zw iększa się liczby czuj­

ników pom iarow ych, obserw ację niem ierzalnych zm iennych stanu układu m echanicznego zapew nia obserw ator Luenbergera. Regulator m om entu z filtrem K alm ana um ożliw ia reduk­

cję czasu trw ania oscylacji w układzie m echanicznym przenoszenia siły, przez to zwiększa czas zużycia elem entów mechanicznych.

2. M O D E L M A T E M A TY C ZN Y O B IEK TU STEROW ANIA

D rgania skrętne m odelu zespołu napędow ego nowoczesnych pojazdów trakcyjnych m ożna b adać za po m o cą łańcucha oscylatorów (rys. 1), składającego się z sześciu m as wirujących połączonych za p o m o cą odkształcalnych elem entów sprężysto-tłumiących. N a podstaw ie lite­

ratury [5] przyjęto m odel dla lokom otywy BR120, w skład którego w chodzą:

1) W irnik silnika asynchronicznego.

2) Przekładnia.

3) Elastyczne połączenie w ału drążonego z przekładnią.

4) Elastyczne połączenie w ału drążonego z kołem bezpośrednio napędzanym.

5) K o ło bezpośrednio napędzane.

6) K o ło napędzane pośrednio.

R ys.l. Model zespołu napędowego pojazdu trakcyjnego F ig .l. Model o f an electric traction vehicle drive system

A nalizow any je st ruch obrotow y opisyw anego układu. M om ent bezw ładności masy wirują­

cej oznaczam y J; (1= 1+6 ), sztywność więzi sprężystej pom iędzy m asą w irującą ik oznaczam y djk, w spółczynnik tłum ienia więzi tłumiącej Cuo

W prow adźm y w ektor stanu układu przeniesienia napędu z w ału silnika na koła pojazdu o postaci

x r =[<y, co2 co3 co, co, co, Tn T1} T„ T„ Ti6] (1)

gdzie zm ienne coi są pulsacjami prędkości obrotowej masy wirującej J, Tik definiujemy jako m om enty w ew nętrzne

T = d X ( p - < p ) + c X < 0 - < » ) > (2)

zaś <p; są kątam i obrotu.

Z e w zględu na stosunkow o wysoki rząd opisyw anego układu przyjęto opis m acierzow y w przestrzeni stanów . Rów nania, które opisują własności dynam iczne rozpatryw anego układu, przedstaw ione w przestrzeni stanów m ają postać

x = A x + B uii + G ww (3 a)

y = C x + v (3b)

przy czym w rów naniach przyjęto następujące oznaczenia i - w ektor stanu,

u - w ektor sterow ania, w - w ek to r zakłóceń stanu,

y - w ektor wyjściowy,

v - w ektor zakłóceń pomiarowych, A - m acierz stanu,

Bu - m acierz wejść sterujących, G „ - m acierz w ejść zakłóceń stanu, C - m acierz wyjść.

U kład napędu kół pojazdu trakcyjnego, ze względów technicznych, nie jest w pełni obser- w ow alny. W przypadku sterow ania tego rodzaju układami stosuje się obserw atory stanu obiek­

tu. Jeżeli są znane dane statystyczne o zakłóceniach stanu i zakłóceniach pomiaru, m ożna jako obserw ator zastosow ać filtr Kalmana. P ozw ala on na estymację stanu obiektu statystycznie optymalną.

P rzy sform ułow aniu kw adratow ego kryterium jakości regulacji, sterow anie optymalne w o- becności zakłóceń, zgodnie z zasadą separacji [2 ], polega na zastosowaniu optym alnego ste­

row ania, określonego dla przypadku deterministycznego (to znaczy bez obecności zakłóceń), które w ykorzystuje m ierzone sygnały wyjściowe obiektu, poddane optymalnej filtracji.

W ek to r u jest jednoelem entow ym wektorem, określającym zadany m om ent napędowy.

P om iarow o je st dostępny tylko jeden element w ektora stanu, to znaczy zm ienna Xi=coi, opisuje częstość pulsacji w ału silnika. W związku z tym

P om iary obrotów są obciążone zakłóceniami v. Z kolei stan analizowanego układu jest za­

kłócany z pow odu w ystępow ania zmiennych m om entów hamujących w działających na oba napędzane koła pojazdu. Zakłócenia te m ożna przedstawić jako

■ 1 jS 1 1 sT* j

r ■- to 1 T_{_ L2 _}

przy czym T li je st m om entem zakłócającym pierwszego koła, zaś T l2 jest m omentem oddzia­

łującym na drugie koło.

3. O PT Y M A L N Y O BSERW A TO R/R EGU LA TO R

Przyjmijmy założenie, że wszystkie zakłócenia są nieskorelowane ze sobą oraz m ają zerow ą w artość oczekiw aną. P onadto przyjmijmy stacjonarność zakłóceń i ich „biały” charakter. Przy pow yższych założeniach m ożna zakłóceniom pomiarowym v przypisać wariancję R,, zaś sy­

gnałom zakłócającym stan układu m ożna przypisać wariancję Qqi, zw iązaną z m omentem TLi, oraz w ariancję Q q2, zw iązaną z m omentem T L2. W ariancje te są wartościam i niezerowych ele­

m entów m acierzy kow ariancji Rq i Q q, użytych do rozwiązania obserwatora. Elementy te znaj­

dują się n a przekątnych macierzy, w miejscach zgodnych z num eracją odpowiednich zmien­

nych. M acierz R<, m a postać

0

(4)

(6) zaś m acierz Q q, przyjm ując zapis przy użyciu układu równań (2), m a postać

(7)

Filtr K alm ana uw zględnia rów nania dynamiki obiektu, estym owany stan obiektu i , wektor w yjściow y y, w ym uszenie u oraz m acierze kowariancji Rq i Q q. R ów nanie filtru Kalmana m ożna przedstaw ić w postaci

przy czym P je st m acierzą kowiariancji błędu filtracji, m acierz L pow inna minimalizować kw adratow y błąd estymacji stanu obiektu i przy danych macierzach kowariancji zakłóceń stanu Qq i kow ariancji zakłóceń pom iarowych R,,. Rozw iązanie zadania optymalnej estymacji m ożna uzyskać kilkom a m etodam i [1,2], Należy zw rócić uw agę, że estymacja dotyczy w szystkich zm iennych stanu układu, niezależnie od tego, ile zmiennych stanu jest bezpośrednio obserw ow anych za pośrednictw em w ektora y. Jeżeli przyjmie się nieskończony horyzont ob­

serwacji i stacjonarność procesu, w artość macierzy L jest stała. W yznaczenie wartości macie­

rzy L dla danego obiektu przedstaw iono w pracach [2,3]

O kreślenie kowariancji zakłóceń pom iarowych R , w większości przypadków nie stanowi bardzo trudnego zagadnienia badawczego. P oza tym jest m ożliwość w pływ ania na zmianę param etrów statystycznych tych zakłóceń przez odpowiedni dobór m etody pom iarowej, przy­

rządu pom iarow ego, sposobu połączenia przyrządu z obiektem, ekranow anie doprowadzeń itp.

W przypadku kowariancji zakłóceń stanu Q q często bezpośrednie określenie tej kowariancji jest trudne. W takich przypadkach m ożna się oprzeć na pośrednim określeniu zakłóceń wek­

tora stanu w x, przeprow adzonym na podstawie pom iarów skutków oddziaływ ania tych zakłó­

ceń w postaci stochastycznych zmian w ektora stanu.

S terow anie optym alne wym aga sform ułow ania w skaźnika jakości sterow ania. Jednym z najpopularniej stosow anych w skaźników jakości sterow ania jest w skaźnik kwadratowy.

W skaźnik ten musi mieć określone macierze kar za odchyłki stanu Q r oraz kar za odchyłki sterow ania R , P onadto w ym agane jest określenie horyzontu optymalizacji w skaźnika. W przypadku sterow ania układem napędu kół pojazdu trakcyjnego, który, w odróżnieniu od np.

układu szybkiego pozycjonow ania, musi spełniać postaw ione kryteria jakości sterow ania w dłuższym okresie czasu, celow e jest przyjęcie nieskończonego horyzontu regulacji. K w adrato­

w y w skaźnik jakości o nieskończonym horyzoncie czasowym m ożna przedstaw ić w postaci

Jak w spom niano, dla minimalizacji wskaźnika jakości J należy sform ułow ać kary za od­

chyłki stanu Q r i kary za odchyłki sterow ania od wartości średniej R r Jest to zagadnienie, któ­

re często w ym aga początkow ego określenia rzędu wartości tych kar głów nie na podstawie w yników symulacji regulacji. Po określeniu rzędu w artości kar m ożna przystąpić do indywi­

dualnego doboru poszczególnych elem entów wspomnianych macierzy, w wyniku których uzy­

skuje się globalne zm iany sterow ania obiektem, prow adzące do zam ierzonych efektów stero-

x = Ax + B uu + L(y - Cx) = (A - LC)x + B uu + L y ,

L = PCrR 1

(9) 0

wania.

Uw zględniając, że rozw ażany w ektor stanu x opisuje rów ność (2), zaś w ektor wymuszeń u jest jednoelem entow y, m acierze kar mają postać

(liiii)

(

)

Q , =

K =Wu)]

a,

0 0 0

0 - a, 0 0

0

0

0

0

0 0 a„_

( i i )

Przyjęcie stałych w artości macierzy kar Q r i R , oraz nieskończonego horyzontu regulacji pro­

w adzi do określenia m acierzy sprzężenia zw rotnego K o stałych współczynnikach.

O ptym alne sterow anie dla przypadku deterministycznego m oże być w tym przypadku opi­

sane zależnością

u = K x = - r ; ' b ^ M x ( 12)

przy czym sygnałem wejściowym regulatora optymalnego jest sygnał estymacji stanu, uzyskany przez użycie filtru K alm ana jako obserw atora stanu, opisanego poprzednio. M acierz sterowa­

nia optym alnego K m ożna obliczyć na podstawie macierzy M przez rozwiązanie równania Riccatiego [1,2] o postaci

(13) Po obliczeniu macierzy optym alnego obserw atora L i optymalnego regulatora K m ożna doko­

nać konstrukcji regulatora i przeprow adzić badania symulacyjne.

Obiekt J

® rzecz

Regulator obserwator

Rys. 2. S chem at analizow anego układu F ig.2. A schem e o f a n analysed system

N a rysunku 2 podano schem at analizowanego układu, zaś na rysunku 3 podano schemat regulatora/obserw atora

Rys. 3. S chem at regulatora/obserw atora Fig.3. A schem e o f a controller/observer

4. R E D U K C JA R Z Ę D U M O D ELU O B IEK TU I REG U LA TO RA

W artości w łasne dla obiektu opisanego m acierzą A wskazują na występowanie trzech czę­

stotliw ości 288, 208, 204 H z o czasie tłum ienia rzędu 2 i 11 milisekund i dw óch częstotliwości 50, 21 H z o czasie tłum ienia 470 i 360 milisekund. Biorąc to pod uw agę oraz fakt, że dla ukła­

du rzeczyw istego dokonujem y pom iarów tylko prędkości obrotowej wirnika silnika oraz że zakłócenia oddziaływ ają na dw a koła, (J; i J6), model układu m echanicznego m ożem y zredu­

kow ać do postaci przedstawionej na rysunku 4, posiadający dwie częstotliwości o dużym cza­

sie tłum ienia.

d l 2 r d 2 3 r

C l 2 r C 2 3 r

Rys. 4. Z redukow any m odel u k ład u napędow ego F ig.4. A rred u c ed m odel o f a drive system

D la zredukow anego obiektu w ektor stanu ma następującą postać:

< = K <

;;

;Ą (m)

R edukcję układu przeprow adzono w oparciu o równanie

A =

T W T 1

gdzie T je st m acierzą m odalną (odsprzęgającą), zaś W jest m acierzą diagonalną, zawierającą w artości w łasne m acierzy A.

Do w yznaczenia zredukowanej macierzy Arw ykorzystano m acierz Wr, która je st podma- cierzą m acierzy W , zaw ierającą żądane wartości własne (50,20 Hz), oraz m acierz Tr, która zaw iera w ybrane w iersze macierzy w ektorów w łasnych T. W iersze macierzy Trodpow iadają zm iennym stanu zredukowanego układu opisanym wyrażeniem (15). R ów nanie, opisujące m acierz Arm a postać

A* = T,(W,(T;'

Po w yznaczeniu zredukowanej macierzy Arobliczono stałe współczynniki zredukowanego m odelu m echanicznego przedstaw ionego na rysunku 4. N astępnie dla obiektu zredukowanego obliczono n o w ą m acierz Lroptymalnej filtracji w sensie statystycznym (estym acji stanu) oraz now ą m acierz Kroptymalnej regulacji w sensie m inimalizacji w skaźnika jakości (9).

5. W Y N IKI BA D A Ń SYM ULACY JNY CH

Sym ulację regulacji układu napędowego pojazdu trakcyjnego (rys. 1) przeprow adzono przy zakłóceniach m om entów obciążenia kół sygnałam i, przedstaw ionym i na rys. 5.

1 wektor zakłóceń TI1

0.5

0 0.5 1 1.5

wektor zakłóceń TI2

0.5

0.5 1 1.5

Rys. 5. W artości m om entów zakłócających obciążenia koła 1 (T l 1) i koła 2 (T I2 ) Fig.5. D isturbing load torque o fw h eels: 1 ( T l i ) a n d 2 ( T I 2 )

N a rys. 7 i 8 znajdują się przebiegi dynam iczne zm iennych Xio oraz Xn w ektora stanu (1).

Zm ienna X|0 je s t naprężeniem wewnętrznym T45, występującym pom iędzy w ałem a pierw ­ szym kołem (patrz rys. 1), zaś zm ienna x n je st naprężeniem w ewnętrznym T 5f„ występującym m iędzy obom a kołami. G órne przebiegi na obu rysunkach dotyczą oscylacyjnych stanów nie­

ustalonych dla układu otwartego. Środkowe wykresy odnoszą się do regulacji przy użyciu optym alnego obserw atora i optym alnego regulatora, określonego dla modelu, przedstaw ione­

go na rys. 1. N ajniższe wykresy dotyczą tego sam ego układu dynam icznego, regulowanego przy użyciu regulatora/obserwatora, bazującego na zredukowanym m odelu, przedstaw ionym na rys. 4.

W stosunku do układu otw artego zastosow anie regulatora znacznie zw iększa tłum ienie o- scylacyjnych przebiegów przejściow ych, które w ystępują po skokow ych zm ianach m om entu obciążenia kół.

P orów nując efekty regulacji z użyciem regulatora optym alnego i zredukow anego można stw ierdzić, że w skaźnik jakości regulacji dla regulatora zredukowanego nieco pogarsza się w stosunku do regulatora optym alnego, jednak zachodzi to w tak niew ielkim stopniu, że na w y­

kresach sym ulacyjnych trudno zauw ażyć istotne różnice pom iędzy przebiegam i, odpow iadają­

cym i obu przypadkom regulacji.

Rys. 6. Przebiegi zm iennych stanu x ,0 (kolejno od góry): układu otw artego, sprzężonego regulatorem /obser­

w atorem optym alnym i regulatorem /obserw atorem zredukow anym

Fig.6. State v ariab les x ,0 profiles: (from the top): open system ; with optim al controller/observer, with reduced co n tro ller/o b serv er

zmienna stanu X11

-0 .51---■--- '---1--- 1--- '--- 1---1---'---

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

°o:_______________________________________ ^

- 0 .51 ^{i 1 j} 1---1---1--- '---'--- '---

0 0.2 0.4 0.6 0 8 1 1.2 1 4 1.6 1.8 2

— W w--- :

-0.5 — a --- ■ —■--- ■--- >---'--- •---

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

Rys. 7. Przebiegi zm iennych stanu x n (kolejno od góry): układu otw artego, sprzężonego regulatorem /obser­

w atorem optym alnym i regulatorem /obserw atorem suboptym alnym

Fig.7. State v ariables x n profiles: (from the top): open system ; with optim al controller/observer, w ith reduced co n tro ller/o b serv er

6. W N IO SK I

W pracy przedstaw iono model układu napędowego pojazdu trakcyjnego, opisyw anego m o­

delem 11 rzędu. N a podstaw ie tego m odelu określono obserw ator statystycznie optym alny w postaci filtru K alm ana oraz regulator optymalny w sensie kw adratowego w skaźnika jakości (9). R egulator z obserw atorem tw orzą układ dynam iczny tego sam ego rzędu co m odel układu (rys. 3). B adania sym ulacyjne wykazały skuteczność tego rodzaju regulatora, w yrażającą się w szybkim tłum ieniu przebiegów oscylacyjnych po skokowej zm ianie m om entów obciążenia kól pojazdu.

P raktyczne posługiw anie się układem regulacji w ysokiego rzędu w ym aga przeprowadzania w ielu operacji m atem atycznych w stosunkowo krótkim czasie, w ym aganym ze w zględu na konieczność elim inacji częstotliw ości dochodzących do 300Hz. N arzuca to w ysokie w ym a­

gania sprzętow e dla regulatora. Dlatego też w dalszej części pracy przedstaw iono model o- biektu regulacji zredukow any z rzędu 11 do rzędu 5. D la zredukowanego m odelu na zasadach, analogicznych co poprzednio określono regulator/obserw ator 5 rzędu. Badania sym ulacyjne z w ykorzystaniem regulatora niższego rzędu do obiektu 11 rzędu wykazały praktycznie nie­

istotne pogorszenie jakości regulacji.

Istotnym w nioskiem końcow ym je st to, że do skutecznej regulacji układu napędow ego po­

jazd u trakcyjnego m ożna użyć regulatora niższego rzędu, który między innymi bazuje na m a­

cierzy stanu, zaw ierającej więcej niż 4 razy mniej elementów. W zw iązku z tym m ożna sza­

cow ać, że w ym agana liczba podstawowych operacji obliczeniowych „on-line” zm aleje mniej więcej w tym sam ym stopniu, co znacznie zm niejsza w ym agania dla układu regulacji.

LITER A TU R A

1. K aczorek T.: T eoria sterow ania i systemów, PWN, W arszawa 1996.

2. De L arm inat P., Thom as Y.: A utom atyka - układy liniowe, WNT, W arszawa 1983.

3. L ew andow ski M.: M odel m atem atyczny i własności dynam iczne układu m echanicznego przenoszenia m om entu pojazdu trakcyjnego, KN Semtrak, Kraków 1996.

4. Lew andow ski M.: Systemy sterowania i dynamika pojazdów trakcyjnych wyposażonych w kom putery pokładowe, KBN - Grant 1996 nr 331439102.

5. Schw artz H. J.: R egelung der Radsatzdrehzahl zur m axim alen K raftschB ausnutzung bei elektischen Trebfahrzeugen, TH Darm stadt 1992.

6. Beck H., Engel: N ew control concept for overlad m inim ized traction drivers, EPE-95, S evilla 1995.

7. L ew andow ski M.: M odel m atem atyczny regulatora m om entu napędow ego pojazdu trak­

cyjnego dla m inim alizacji naprężeń w układzie m echanicznym przenoszenia momentu.

D R IV ES A N D SU PPL Y SYSTEM S FOR M ODERN ELECTIC TRACTION.

Recenzent: D r hab.inż. M arek Sitarz Prof. Politechniki Śląskiej

A b s tr a c t

A m odel o f an electric traction vehicle drive system, described by eleven-order m odel, is presented in the paper. Practical application od a high level control system requires to per­

form m any m athem atical operation in a short tim e. Then there is prresented in the paper a m odel o f the object reduced from 11-order to 5-order. Sim ulationstudy w ith theusage o f the low er order controller w ith 11-order object has show nagligible decrease o f the control quali­

ty. The significant conclusion from the paper is that for the efficient control o f the electric traction vehicle drive system is possible to use lower order controller, w hich am ong others is based on state m atrix w ith m ore then four tim es less elements. Due that fact it m ay be asses­

sed, that the required num ber o f basic „on line” calculations decreases about at the same extent, w hich significantly reduces the requirem ents put on the control system.