Korzystaj¡c z rozwini¦cia w szereg Taylora znale¹¢ granice

IV seria (±wi¡teczna) zada« domowych z Analizy I

Zad. 1

Korzystaj¡c z rozwini¦cia w szereg Taylora znale¹¢ granice

x→0 lim

sin ⁵ x

e ^x − 1 − x − x ² /2 − x ³ /6 − x ⁴ /24 , lim

x→0

sinh(x ² ) − x ² cos x − 1 + x ² /2 , lim

x→0

arc tg x − x + x ³ /3

ln(1 − x) + x + x ² /2 + x ³ /3 + x ⁴ /4 Zad. 2

Znale¹¢ promie« zbie»no±ci szeregu wokóª x = 0

X

n≥0

n ⁿ

n! x ⁵ⁿ , X

n≥1

(2x) ⁿ n ²⁰¹⁵ , X

n≥1

n ⁿ

(2n − 1)!! x ²ⁿ , X

n≥1

√

10!x ²ⁿ /10 ⁿ

Zad. 3

Który szereg jest zbie»ny, który bezwzgl¦dnie?

X

n≥1

(−1) ⁿ (2015n) ⁿ /n!, X

n≥1

(−1) ⁿ n ² + 2015n n ³ + n ² + n + 1 , X

n≥1

(arc tg(1/n)−1/n), X

n≥1

n ln(1−1/n ² ), X

n≥1

(n!) ² /(2n)!, X

n≥1

n!n ^n/2 (2n)! ,

X

n≥1

√ 1 + n ² − n

√

3

n , X

n≥1

sin( √

2n)/n, X

n≥1

p ln(1 + n ⁻² X

n≥1

(1−cos(n ^−1/2 )n ^−1/2 X

n≥0

( p

n ² + 1− p

³

n ³ + 1) X

n≥1

( √

ⁿ

n−1) ⁿ

Zad. 4

Obliczy¢ caªki nieoznaczone (funkcje pierwotne) z funkcji x ²⁰¹⁵ −10x ²⁰¹⁶ +2014/x, x/ p

1 + x ² , 1/(1+x ² ) ^3/2 , (1+x ² ) ⁻² , (1−x ⁴ ) ⁻¹ , x ln x, x arc tg x, ln x

x , (x ² +2x−4)e ^x , x cos ² x ,

(ln x) ² √

x, x ² + 1

x ⁴ + 1 , x + 1

(x ² + x + 3)(x ² + 4x + 5) , x

√ 1 + x ⁴ , (x p

1 + x ²⁰¹⁵ ) ⁻¹ ,

√ x

√ 1 − x ³ , tg ² x, x ⁻² arc sin x,

arc sin p

x/(1 + x), sin(ln x), cos x

√ 2 + cos 2x , sin x cos ³ x 2 + sin ² x , p

e ^2x + 2e ^x + 4, (x ³ p

x + x ² ) ⁻¹ , (x+ p

x − x ² ) ⁻¹ ,

(8 + 6x − 9x ² ) ^−1/2 , sin ³ x

√ cos x , cos ⁻⁴ x Zad. 5

Znale¹¢ zwi¡zki rekurencyjne (tj. n → n + 1 lub n + 2) pomi¦dzy caªkami I n =

Z

x ⁿ e ^x dx, J n = Z

x ⁿ sin xdx, K n = Z

x ⁿ cos xdx, L n = Z

sin ⁿ xdx, M n = Z

x ⁿ dx/(1 + x ² ) Zad. 6

Obliczy¢ caªki oznaczone Z b

a

(x − a) ⁿ (b − x) ^m dx, Z π

0

x ²⁰¹⁵ sin xdx, Z 1

0

ln ³ xdx, Z π

0

cos ⁿ x cos nxdx, Z 2π

0

dx 3 + 2 cos x Zadanie ±wi¡teczne

Poka» (metod¡ Bourbaki) »e π jest niewymierne. Przypu±¢my »e π = a/b, uªamek nieskracalny (a, b naturalne). We¹my caªk¦

I = Z π

0

x ⁿ (a − xb) ⁿ sin xdx.

Znale¹¢ maximum M funkcji x(a − bx) i wywnioskowa¢ »e I ≤ πM ⁿ . Nast¦pnie liczy¢ I caªkuj¡c

iteracyjnie przez cz¦±ci. Zauwa»y¢, »e (1) pocz¡tkowe caªki zeruj¡ si¦ na brzegach (0, π), (2) od

n -tej (do 2n) musz¡ by¢ liczbami podzielnymi przez n!. Zatem I ≥ n! (bo jest caªk¡ z funkcji

dodatniej) czyli πM ⁿ ≥ n! co od jakiego± n jest niemo»liwe.