1. Oblicz granice poniższych ciągów:

dr Krzysztof Żyjewski Analiza matematyczna, Informatyka; S-I ⁰ .inż. 2 grudnia 2016

Zadania przygotowujące do kolokwium nr 1

1. Oblicz granice poniższych ciągów:

(a) a n = √

3n ² + 2n − 5 − n √

3 (b) b n = √

ⁿ

10 ⁿ + 9 ⁿ + 8 ⁿ (c) c n = ²

³ⁿ⁻²

₄

2n

+3 ⁻⁵

^3n+32n+1

(d) d _n = _4n ²ⁿ

2

−3 cos n

²

^{+sin n}

²

(e) e _n =

ⁿ

r 

2 3

 n

+ ^{ 3} ₄ ^{ n} (f ) f _n = ^{ n−3} _n ^{ n} (g) g n = ^{ 3n} _3n

²2

⁺² +1

 n

²

−3

(h) h n = ^ _3n ⁿ

²2

⁺² +1

 n

²

−3

(i) i n = log

¹

2

n

²

−2 8n

²

. 2. Wyznacz sumę szeregu o ciągu sum częściowych (S n ) _n∈N , gdzie S n = _(n+2)(n+5) ^n(3n+1) . 3. Korzystając z odpowiednich kryteriów zbadaj zbieżność szeregów:

(a)

∞

P

n=1 n−1

n

³

+1 (b)

∞

P

n=1

n ^{ 7} ₃ ^{ 4n} (c)

∞

P

n=1 4

²ⁿ

(2n−2)! (d)

∞

P

n=1 4n−3 2n+4

(e)

∞

P

n=1 2n

4

ⁿ

(f )

∞

P

n=1

 4n+3 6n−1

 2n

(g)

∞

P

n=1

 n

²

+1 n

²

+n

 n

²

(h)

∞

P

n=1

(−1) ^{n 3n−1} _n

2

+4 . 4. Zbadaj zbieżność bezwzględną i warunkową:

(a)

∞

P

n=1

(−1) ⁿ _4n ²ⁿ

3

+1 , (b)

∞

P

n=1 (−1)

ⁿ

4n+2 , (c)

∞

P

n=1

(−1)

ⁿ⁺¹

ln(n+1)

5. Oblicz granice funkcji (lub wykaż nieistnienie granicy):

(a) lim

x→2

x

³

−2x

²

+x−2

x

³

−x

²

−4x+4 (b) lim

x→−4

x

³

+x

²

−12x

x

³

+64 (c) lim

x→−∞

√ 4−x

√ 2−3x (d) lim

x→−∞

 2x + √

4x ² + 3x − 1 ^ (e) lim

x→0 sin 5x

arc sin 3x (f ) lim

x→∞

 x

²

+3x+5 x

²

+2

 (g) lim

x→1 1

1−x

²

(h) lim

x→0 2

^|x|x

(i) lim

x→0

arc tg 4x

sin 5x (j) lim

x→0 6

^x

−3

^x

2x (k) lim

x→0 4

^x

−1 arc sin 2x .

6. Zbadaj ciągłość funkcji w dziedzinie, w punktach nieciągłości określ rodzaj nieciągłości:

a) f (x) =



 

 

x dla x ¬ 0

x

x−1 dla 0 < x < 1 x ² − 2 dla x ­ 1

b) f (x) =



 

 

2 ^x − 1 dla x ¬ 1 1 + log x dla 1 < x < 10

5

x dla x ­ 10

c)f (x) =

( cos ^πx ₂ dla |x| ¬ 1

|x − 1| dla |x| > 1.

7. Dobrać parametry tak, aby podane funkcje były ciągłe na całej swojej dziedzinie:

(a) f (x) =

( _{sin ax}

3x dla x 6= 0

a dla x = 0 (b) g(x) =

( _x

2

−9

x+3 dla x > −3 x ² + bx + 3 dla x ¬ −3.

8. Oblicz pochodne podanych funkcji:

a) f (x) = x ³ sin x + e ^x tg x, b) f (x) = √

⁴

3x ³ + 2x + 4, c) f (x) = ln(arctg e ^2x ), d) f (x) = ln ^ _2x+3 ^x

²

^{ 5} , e) f (x) = ^q

⁵

_{1+2 sin x} ^{x cos x} , f) f (x) = arctg ¹⁺

√ 1+x

²

x , g) f (x) = (x ² + 4x) ^{2 tg x} , h) f (x) = x ² log _x

2

4x, i) f (x) = ctg ^{2 q} ln(cos x ² ),

1