−b2a=−(−60)2∙2=604=15 Doliczamy teraz zmienną y z wyprowadzonego wzoru w punkcie 1)y=x-30=15-30= -15Odp.: Szukana suma będzie najmniejsza dla x=15 oraz y= -15.

Temat: Zadania optymalizacyjne.

Optymalny = najlepszy z możliwych, zatem zadanie tzw. optymalizacyjne to zadanie, w którym szukamy najlepszego z możliwych rozwiązań.

Po czym rozpoznać, że zadanie jest zadaniem optymalizacyjnym? W treści zadania będzie użyte sformułowanie „aby … było najmniejsze”, „aby… było największe”. Schemat rozwiązania takiego typu zadania omówimy na przykładzie.

Zad.2.91

Liczbę 30 przedstaw w postaci różnicy dwóch liczb tak, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.

Rozwiązanie:

1) Zaczynamy od początku zadania. Liczbę 30 mamy przedstawić w postaci różnicy dwóch liczb, więc

30=x-y z tego równania ZAWSZE wyprowadzaj zmienną y y=x-30

2) Sprawdzamy teraz co w zadaniu miało być najmniejsze/największe. U nas suma kwadratów liczb x, y ma być najmniejsza. Tworzymy zatem wzór na ową sumę kwadratów. Oznaczmy ją symbolem S

S=x²+y²

3) Teraz do wzoru na sumę podkładamy wyprowadzoną z pierwszego równania zmienną y:

S=x²+y²

S=x²+( x-30)² korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia lub rozpisujemy zamiast potęgi drugiej mnożenie nawiasu przez nawias

S=x²+(x-30)(x-30) mnożymy nawias przez nawias S=x²+x²-30x-30x-900

S=2x²-60x-900 a=2, b= - 60, c= - 900

Co otrzymaliśmy? Nasza suma została wyrażona wzorem funkcji kwadratowej, której wykres jest parabolą o ramionach skierowanych do góry (parabola „uśmiechnięta” bo współczynnik a=2, i jest on większy od 0 ). A gdzie taka funkcja będzie miała wartość najmniejszą? W wierzchołku. Zatem interesuje nas obliczenie współrzędnej p wierzchołka.

x=p=

−b

2 a = −(−60) 2∙ 2 = 60

4 =15

Doliczamy teraz zmienną y z wyprowadzonego wzoru w punkcie 1) y=x-30=15-30= -15

Odp.: Szukana suma będzie najmniejsza dla x=15 oraz y= -15.

Zad. 2.97

Ogrodzenie to obwód prostokątnej działki. Zatem mamy:

1) 2x+2y=84 /:2 x+y=42

y=42-x

2) Pole placu ma być największe, więc tworzymy wzór na pole naszego prostokąta P=x∙y

3) Pole placu zabaw ma być największe, zatem:

P=x∙y wzór na pole naszego prostokąta

P=x (∙ 42-x) podstawiamy w miejsce niewiadomej y wartość y z 1) P=42x-x²

P= -x²+42x ustawiam w kolejności od największej potęgi niewiadomej x

Pole opisuje funkcja kwadratowa, której wykres jest parabolą z ramionami w dół ( bo współczynnik a=-1,czyli mniejszy od 0 ). Zatem wartość największa będzie w wierzchołku. Szukam współrzędnej p wierzchołka:

x=p=

−b

2 a = −42

2∙(−1) = −42

−2 =21

Obliczam y ze wzoru z pkt.1) y=42-x=42-21=21

Odp.: Pole placu będzie największe dla x=21m oraz y=21m. Będzie ono wynosiło 21m∙21m=441m²=4,41a.

Zad.2.99

Jeśli jest taka możliwość, to niewiadomą y oznaczamy ten bok, którego jest mniej na rysunku (bo później będą łatwiejsze rachunki)

1) 2x+y=12 jeden bok przylega do muru, tam siatki nie będzie y=12-2x

x

y

x y

2) P=x∙y wzór na pole wybiegu – prostokąta 3) P=x∙y

P=x (∙ 12-2x) P=12x-2x² P= -2x²+12x

x=p=

−b

2 a = −12

2∙(−2) = −12

−4 =3

y=12-2x=12-2∙3=12-6=6

Odp.: Pole wybiegu będzie największe dla x=3m oraz y=6m.

Praca domowa:

Zad. 2.90

Zad. Znajdź wymiary prostokąta o obwodzie 20zm tak, aby jego obwód był największy.

Zad. Suma dwóch liczb jest równa 60. Znajdź te liczby tak, alby ich iloczyn był największy.

Zad. Liczbę 16 przedstaw w postaci sumy dwóch liczb ta, aby suma ich kwadratów była najmniejsza.