Wykład XIII
• Funkcje i dystrybucje okresowe,
• Rozwinięcie dystrybucji okresowej na szereg Fouriera,
• Szereg sinusów i cosinusów.
Dystrybucja okresowa o okresie L
Dystrybucje okresowe
( ) (
x
T
x
nL
)
T
=
+
D
funkcja próbna
( ) ( )
(
)
( ) ( )
( ) (
)
− = − = + −+
=
−
=
=
=
=
n L n L n nLdy
nL
y
y
T
nL
x
y
dx
x
x
T
dx
x
x
T
T
0 1,
Niech
(
)
− =+
nnL
y
będzie funkcją zdefiniowaną dla
y
0
,
L
D
jest dowolną funkcją próbną, więc
jest dowolną funkcją na
0
,
L
• Działanie dystrybucji okresowej na funkcje próbne definiujemy jako
całkę po okresie dystrybucji z dowolną funkcją
( )
(
)
( ) ( )
,
,
0 0T
dy
y
y
T
dy
nL
y
y
T
T
L L n
=
+
=
− = Przykład: 𝑇 𝑥 = σ𝑛=−∞∞ 𝛿 𝑥 − 𝑛𝐿jest ciągiem delt Diraca, centrowanych w kolejnych liczbach całkowitych (por. rysunek na ostatnim slajdzie).
Dystrybucje okresowe są definiowane inaczej niż zwykłe dystrybucje. Funkcjami próbnymi są w tym wypadku dowolne funkcje, określone na dowolnym przedziale o długości L (tylko umownie przyjmuje się przedział (0,L), można go dowolnie przesuwać). Działanie dystrybucji okresowej na funkcje próbne definiuje się przez całkę po dowolnym przedziale o długości L, jak poniżej.
Symbol 𝑇, 𝜓 nie oznacza np. jakiejś podwójnej średniej, tylko zdefiniowaną obok całkę po
przedziale o długości L (dowolnym, przedział (0,L) przyjęto umownie).
Szereg Fouriera dystrybucji
okresowej (tzw. wykładniczy szereg Fouriera)
( )
( )
( )
−
=
− =L
x
in
T
L
c
L
x
in
c
x
T
nT n T n
,
exp
2
1
,
2
exp
Dowolną funkcję na przedziale możemy rozłożyć na szereg Fouriera
0
,
L
( )
( )
− =
−
=
m mL
x
im
c
x
2
exp
Widać że
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
( ) ( )
( )
,
2
exp
,
2
exp
,
1
2
exp
,
2
exp
2
exp
,
2
exp
,
2
exp
, 0 / 2T
L
x
in
T
L
x
in
T
L
L
c
L
c
c
dx
e
c
c
L
x
im
L
x
in
c
c
L
x
im
c
L
x
in
c
x
L
x
in
c
n n n n m n m m T n n m L L x m n i m T n n m m T n m m n T n n T n=
−
=
−
=
=
=
=
−
=
−
=
− = − = − = − = − = − = − − = − = − = − = − =𝑐
𝑛𝜓(♣)
(♣)
Znak minus w wykładniku nie ma znaczenia, ponieważ sumujemy po wszystkich liczbach całkowitych
Symbol . oznacza całkę, więc całka z sumy wyrażeń jest równa sumie całek
𝑛 ≠ 𝑚 ⇒ 0𝐿𝑒2𝜋𝑖 𝑛−𝑚 𝑥𝐿 𝑑𝑥 = 0 jako
całka z funkcji okresowej o okresie L.
(♠)
Rozkład dystrybucji na tzw. trygonometryczny szereg Fouriera (sinusów i cosinusów)
( )
( )
( )
− = − =
+
=
n T n n T nL
x
n
c
i
L
x
n
c
x
T
cos
2
sin
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
= = − = − − = − =
+
+
=
+
+
=
=
+
+
=
1 0 1 0 1 1 02
cos
2
cos
2
cos
2
cos
2
cos
n T n T n T n T n T n T n T n n T n T n T nL
x
n
c
c
c
L
x
n
c
c
c
L
x
n
c
L
x
n
c
c
L
x
n
c
( )
( )
( )
( )
= =
+
+
=
1 1 0cos
2
sin
2
n T n n T n TL
x
n
b
L
x
n
a
a
x
T
Niech
( )
( )
( )
( )
( )
=
+
=
=
−L
x
n
T
L
c
c
a
T
L
c
a
0T 0T1
,
1
,
nT nT Tn2
,
cos
2
( )
( )
( )
= − =
+
=
1 0cos
2
2
cos
n T n T n T nL
x
n
a
a
L
x
n
c
Analogicznie
( )
(
( )
( )
)
=
−
=
−L
x
n
T
L
c
c
i
b
nT nT Tn2
,
sin
2
( )
( )
= − =
=
12
sin
2
sin
n T n n T nL
x
n
b
L
x
n
c
i
Jeżeli dystrybucja okresowa jest zwykłą funkcją okresową
T
( )
x
=
f
( )
x
( )
( )
( )
( )
( )
( )
3
,
2
,
1
,
2
sin
2
3
,
2
,
1
,
2
cos
2
1
0 0 0 0=
=
=
=
=
n
dx
L
x
n
x
f
L
b
n
dx
L
x
n
x
f
L
a
dx
x
f
L
a
L f n L f n L f
( )
( )
( )
( )
= =
+
+
=
1 1 0cos
2
sin
2
n f n n f n fL
x
n
b
L
x
n
a
a
x
f
x T(x) x T(x) 1 2 1 1 2
