1 Uzupe÷ nienie - dyfeomor…zm, jakobian, zami- ana zmiennych w ca÷ ce Riemanna

1 Uzupe÷ nienie - dyfeomor…zm, jakobian, zami- ana zmiennych w ca÷ ce Riemanna

Niech G R^k b ¾edzie zbiorem otwartym, f : G ! R^m. Macierz ¾a Jacobiego odwzorowania f w punkcie p nazywamy macierz pochodnych cz ¾astkowych

h

f_ix⁰ _j(p)i

i m;j k = 2 4

@f1

@x1(p) : : : _@x^@f1

k(p) : : : : : : : : :

@fm

@x1 (p) : : : ^@f_@x^m

k (p) 3 5

Je·zeli m = k, to wyznacznik macierzy Jacobiego

J f (p) = @ (f₁; : : : ; f_k)

@ (x1; : : : ; xk)(p) = det 2 4

@f1

@x1(p) : : : _@x^@f1

k(p) : : : : : : : : :

@fk

@x1(p) : : : _@x^@fk

k(p) 3 5

nazywamy jakobianem odwzorowania f . Je·zeli f jest bijekcj ¾a tak ¾a, ·ze f i f ¹ s ¾a klasy C⁽¹⁾, to mówimy, ·ze f jest dyfeomor…zmem.

Twierdzenie: a) Odwzorowanie odwrotne do dyfeomor…zmu jest dyfeomor-

…zmem.

b) Z÷o·zenie dwóch dyfeomor…zmów jest dyfeomor…zmem.

c) Je·zeli f jest dyfeomor…zmem, to J f (x) 6= 0 dla wszystkich x. Ponadto J f ¹ (f (x)) = 1

J f (x).

Twierdzenie (o zamianie zmiennych w ca÷ce Riemanna) Niech U; V R^k b ¾ed ¾a zbiorami otwartymi, ' : U ! V dyfeomor…zmem, D V zbiorem takim, ze D i '· ¹(D) s ¾a mierzalne oraz jakobian J_' jest ograniczony na ' ¹(D).

Wówczas dla dowolnej funkcji ci ¾ag÷ej f : D ! R zachodzi równo´s´c Z

D

f = Z

' ¹(D)

(f ') jJ^'j .

1