Zestaw zadań z fizyki kwantowej

Zestaw zadań z fizyki kwantowej

5. Rachunek zaburzeń niezależny od czasu (przypadek niezdegenerowany)

Przydatne informacje:

Równanie w postaci H E rozwiązujemy w sposób przybliżony, przy następujących założeniach:

V H

H  ₀  , ⁰ 0









t V t

H . (1)

 0  0

nV m En Em

    (2)

Wprowadzamy mały parametr  poprzez relację V W .

Zakładamy, że znamy rozwiązanie równania niezaburzonego w postaci

 0

0 n n n

H  E  , (3)

gdzie spełnione są zależności  _{n m} _nm oraz _{n n} 1

n

  



Poprawki rzędu k do energii stanu podstawowego oraz do wektora stanu mają następującą postać:

 ^k  _{n n}^k1

n  W

 , (4)

   

   

 

     

1 1

1

0 0 0 0

1

k k p

m n

k n k

n m m n

m n m n p m n

W

E E E E

  

   

 



 

 

 

    

 

 

 

 

gdzie: E_n

 

 

 

 

 

_{n n n n} ,

oraz:

   k

n k k

En   , _n^{ k} ^k _n^{ k} , _n^{ 0}  _n .

ZADANIA 1. Wyprowadzić wzór na poprawkę pierwszego rzędu do:

a) energii stanu podstawowego;

b) wektora stanu dla operatora H (1).

2.^* Wyprowadzić wzór na poprawkę drugiego rzędu do:

a) energii stanu podstawowego;

b) wektora stanu dla operatora H (1).

3. Rozważ problem dwu-stanowy opisany przy pomocy hamiltonianu

                 0  0

1 , 2 0

0 12 0

0 0 2 0 0 0

1 1 1 E 2 2 V 1 2 V 2 1

E

H     .

gdzie kety 1^{ 0} , 2^{ 0} są ketami własnymi dla problemu 0.

Oblicz energie własne hamiltonianu w sposób ścisły oraz korzystając z rachunku zaburzeń (poprawki pierwszego rzędu). Co można powiedzieć o otrzymanych wynikach?

4. Rozważ problem izotropowego oscylatora harmonicznego w dwóch wymiarach, którego hamiltonian ma następującą postać:





2 2 2

0 2 2 m2 x y

m p m

H  p^x  ^y    .

a) oblicz energie trzech najniżej leżących stanów. Czy jest degeneracja?

b) wprowadzając zaburzenie w postaci V m²xy ( 1) znajdź ket zerowego rzędu (rachunku zaburzeń) oraz poprawkę do energii stanu podstawowego rzędu pierwszego dla każdego z trzech najniżej leżących stanów;

c) rozwiąż problem z zaburzeniem ściśle.

(Wskazówka: można skorzystać z relacji:





2  ^{ }  ^{ }



 n _{n n} n _{n n}

n m x

n  

 ).

5. Rozważ system opisany hamiltonianem



















2

*

* 1 1

0 0

E b a

b E

a E

H ,

gdzie E₂ E₁ zaś a i b są małymi (w porównaniu do E₂ E₁) stałymi tego samego rzędu.

a) Użyj poprawek drugiego rzędu (w przypadku niezdegenerowanym) w celu obliczenia energii stanu podstawowego.

b) Oblicz w sposób ścisły wartości własne hamiltonianu i porównaj otrzymane wyniki z wynikami otrzymanymi w podpunkcie a). Co można stwierdzić?