Spis treści
1 Pierścienie 2
1.1 Teoria . . . 2 1.2 Zadania . . . 3
2 Pierścienie noetherowskie 4
2.1 Teoria . . . 4 2.2 Zadania . . . 4
3 Pierścienie Dedekinda 5
3.1 Krótkie przypomnienie z Algebry 1 . . . 5 3.2 Powrót do pierścieni Dedekinda . . . 6 3.3 Zadania . . . 7
4 Jednoznaczność rozkładu 7
4.1 TEORIA: . . . 7 4.2 Zadania . . . 8
5 Teoria podzielności w pierścieniu wielomianów 8
5.1 Kryteria użyteczne do sprawdzania czy dany wielomian jest nierozkładalny . . . 9 5.2 Zadania . . . 10
6 Ciała 11
6.1 O rozszerzeniach ciał . . . 11 6.2 Zadania . . . 12
1 Pierścienie
1.1 Teoria
Definicja 1.1. Niech A będzie pierścieniem. Element a ∈ A nazywamy:
1. dzielnikiem zera, gdy a 6= 0 oraz istnieje b ∈ A \ {0} taki, że:
ab = 0 lub ba = 0.
2. nilpotentem, gdy istnieje n ∈ N takie, że:
an = 0.
3. idempotentem, gdy a2= a.
4. elementem odwracalnym lub jednością, gdy A posiada jedynkę oraz istnieje b ∈ A takie, że:
ab = ba = 1.
Niech A będzie pierścieniem i niech I ⊂ A będzie ideałem w A. Rozpatrzmy zbiór warstw A/I := {a + I : a ∈ A}.
Ponieważ A z dodawaniem jest grupą abelową i ideał I jest jej podgrupą, to zbiór warstw A/I jest grupą ilorazową z dodawaniem warstw:
(a1+ I) + (a2+ I) := (a1+ a2) + I.
Wprowadzamy na A/I mnożenie warstw:
(a1+ I)(a2+ I) := (a1a2) + I.
Mnożenie jest dobrze określone, bo jeśli:
a1+ I = a01+ I, a2+ I = a02+ I, to a1− a01∈ I oraz a2− a02∈ I. Zatem:
a1a2− a01a20 = a1(a2− a02) + (a1− a01)a02∈ I ⇐⇒ a1a2+ I = a01a02+ I.
Fakt 1.1. Niech I ⊂ A będzie ideałem pierścienia A. Zbiór A/I z działaniami dodawania i mnożenia warstw jest pierścieniem. Jeśli A ma jedynkę to A/I też ma jedynkę którą jest element 1 + I. Jeżeli A jest przemienny, to A/I jest też przemienny.
Fakt 1.2. Niech f : A1→ A2 będzie homomorfizmem pierścieni.
1. Jeśli I2 jest ideałem w A2, to f−1(I2) jest ideałem w A1.
2. Jeśli f jest epimorfizmem i I1 jest ideałem w A1, to f (I1) jest ideałem w A2. 3. Ker(f ) jest ideałem w A1.
4. Im(f ) jest podpierścieniem pierścienia A2.
5. f jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Ker(f ) = {0A1}.
6. f jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy Im(f ) = A2.
Definicja 1.2. Niech A będzie pierścieniem. Niech I1, I2 będą ideałami w A.
1. Sumą ideałów I1 oraz I2 nazywamy zbiór:
I1+ I2:= {a + b : a ∈ I1, b ∈ I2}.
2. Iloczynem ideałów I1oraz I2 nazywamy zbiór:
I1I2:= {
k
X
i=1
aibi: ai∈ I1, bi∈ I2, k ∈ N}.
Fakt 1.3. I1I2 oraz I1+ I2 są ideałami pierścienia A.
Niech A będzie pierścieniem przemiennym z 1.
Definicja 1.3. Podzbiór S ⊂ A nazywamy zbiorem multyplikatywnym w A, gdy spełnione są następujące warunki:
1. 1 ∈ S,
2. jeśli s1, s2∈ S, to s1s2∈ S.
Jeśli a ∈ A oraz s ∈ S, to będziemy rozważać symbolea/s. Mówimy, żea/s=b/tdla a, b ∈ A oraz s, t ∈ S, gdy istnieje u ∈ S takie, że:
u(at − bs) = 0.
Na symbolacha/sokreślamy operacje dodawania i mnożenia następująco:
a1/s1+a2/s2:=a1s2+ a2s1/s1s2 a1/s1·a2/s2:=a1a2/s1s2. Powyższe działania są dobrze określone. Zdefiniujmy zbiór:
S−1A := {a/s: a ∈ A oraz s ∈ S}.
Zbiór S−1A z tak zdefiniowanymi działaniami jest pierścieniem przemiennym z 1.
Definicja 1.4. Pierścień S−1A nazywamy lokalizacją pierścienia A względem podzbioru multyplikatywnego S.
Jeśli A jest dziedziną całkowitości oraz S = A \ {0}, to K := S−1A nazywamy ciałem ułamków pierścienia A i oznaczamy Fr(A). Z definicji lokalizacji wynika, że mamy naturalny homomorfizm pierścieni z 1:
φS : A → S−1A a 7→a/1.
1.2 Zadania
Zadanie 1.1. Pokazać, że jeśli a ∈ A jest dzielnikiem zera, to a /∈ A×. Zadanie 1.2. Pokazać, że (Z/n)×= {a ∈ Z/n : (a, n) = 1}.
Zadanie 1.3. Znaleźć dzielniki zera, nilpotenty, idempotenty i jedności pierścieni: Z/12, Z/90, Z/p.
Zadanie 1.4. Udowodnić, że w skończonym pierścieniu z jedynką, każdy niezerowy element jest albo dzielnikiem zera albo jednością.
Zadanie 1.5. Udowodnić następujący fakt:
Fakt 1.4. Niech A będzie pierścieniem przemiennym z 1.
1. (x) ⊂ A[x] jest ideałem pierwszym ⇐⇒ A jest dziedziną całkowitości.
2. (x) ⊂ A[x] jest ideałem maksymalnym ⇐⇒ A jest ciałem.
Zadanie 1.6. Udowodnić następujący fakt:
Fakt 1.5. Niech A będzie pierścieniem przemiennym z 1 oraz niech a będzie ideałem pierścienia A. Wówczas A[x]/(a + (x)) ∼= A/a.
Zadanie 1.7. Niech R = Mn,n(K). Znaleźć dzielniki zera w R.
2 Pierścienie noetherowskie
2.1 Teoria
Definicja 2.1. Pierścień A przemienny z 1 nazywamy noetherowskim, gdy każdy ideał w A jest skończenie generowany.
Twierdzenie 2.1. Pierścień A jest noetherowski wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg (wstępujący) ideałów I1 ⊂ I2⊂ I3⊂ . . . się stabilizuje, tzn. istnieje k0∈ N takie, że:
Ik0 = Ik0+1= Ik0+2= . . . .
Twierdzenie 2.2. Niech A będzie pierścieniem noetherowskim oraz B pierścieniem przemiennym z 1. Niech:
f : A → B
będzie homomorfizmem pierścieni. Wówczas Im(f ) ⊂ B jest pierścieniem noetherowskim.
Twierdzenie 2.3. Jeżeli A1i A2są pierścieniami noetherowskimi, to A1× A2 też jest pierścieniem noetherowskim.
Wniosek 2.3.1. Jeżeli A1, . . . , An są pierścieniami noetherowskimi, to A1× . . . × An też jest pierścieniem noethe- rowskim.
Twierdzenie 2.4. Niech A będzie pierścieniem noetherowskim, S ⊂ A jego podzbiorem multyplikatywnym. Wtedy pierścień ułamków S−1A jest także pierścieniem noetherowskim.
Twierdzenie 2.5 (Twierdzenie Hilberta o bazie). Niech A będzie pierścieniem noetherowskim. Wówczas A[x] jest również pierścieniem noetherowskim.
Wniosek 2.5.1. Niech A będzie pierścieniem noetherowskim. Wówczas A[x1, x2, . . . , xn] jest również pierścieniem noetherowskim.
2.2 Zadania
Zadanie 2.1. Pokazać, że następujące pierścienie są noetherowskie:
(a) Z[x] × Z[y] × Z[z], (b) Z/n
(c) Z[x1, x2, . . . , xk],
(d) Z[x, y, z]/I, gdzie I jest ideałem w Z[x, y, z].
(e) (Z × Z[x])[y],
(f) (Z/k × Z/l × Z/n)[x, y], (g) K[x, y], gdzie K jest ciałem, (h) Z/3[x].
Zadanie 2.2. Czy Z[13] := {3kn : k, n ∈ Z} jest pierścieniem noetherowskim?
Zadanie 2.3. Udowodnić twierdzenie 2.3.
Zadanie 2.4. Pokazać, że jeśli A[x] jest pierścieniem noetherowskim, to A też jest pierścieniem noetherowskim.
Zadanie 2.5. W pierścieniu wszystkich funkcji z [0, 1] w Z:
(a) znaleźć nieskończony wstępujący ciąg ideałów, który się nie stabilizuje (b) wykazać, że ideał
{f : [0, 1] → Z : ∃ r > 0 ∀ x ∈ [0, r] : f(x) = 0}
nie jest skończenie generowany.
Zadanie 2.6. Rozstrzygnąć czy następujące pierścienie są noetherowskie.
(a) R[X][1/X].
(b) Pierścień R funkcji C-liniowych z C w C z dodawaniem i składaniem.
(c) Pierścień P funkcji Q-liniowych z Q2w Q2z dodawaniem i składaniem.
(d) Pierścień macierzy kwadratowych 2 × 2 o współczynnikach w Z (e) Z[i]
(f) Q(i)
(g) Pierścień wielomianów nieskończenie wielu zmiennych X1, X2, X3, ... o współczynnikach z Z.
(h) Pierścień funkcji wymiernych nieskończenie wielu zmiennych X1, X2, X3, . . . o współczynnikach z Z (in. ciało ułamków pierścienia Z[X1, X2, X3, . . .]).
(i) Z, (j) Z[√
27],
(k) pierścień funkcji R[cos x, sin x, ex], (l) pierścień skończony,
(m) pierścień funkcji różniczkowalnych na przedziale (0, 1).
3 Pierścienie Dedekinda
Definicja 3.1. Dziedzinę całkowitości A nazywamy pierścieniem Dedekinda, gdy dla każdego niezerowego ideału a ⊂ A istnieje niezerowy ideał b ⊂ A taki, że iloczyn ab jest ideałem głównym w A.
Twierdzenie 3.1. Każdy pierścień Dedekinda jest pierścieniem noetherowskim.
3.1 Krótkie przypomnienie z Algebry 1
Definicja 3.2. Niech S będzie półgrupą przemienną z jedynką. (Działanie jest łączne, przemienne i posiada element neutralny). Mówimy, że w S obowiązuje prawo skracania, gdy dla dowolnych a, b, c ∈ S mamy:
ac = bc ⇐⇒ a = b.
Definicja 3.3. Niech A będzie pierścieniem przemiennym z 1. Zdefiniujmy zbiór:
J0(A) := {I 6= (0) : I jest ideałem pierścienia A}.
Fakt 3.1. J0(A) jest półgrupą przemienną z 1 (Jedynką jest cały pierścień A).
Definicja 3.4. Niech S będzie półgrupą przemienną z 1, w której obowiązuje prawo skracania.
1. a | b ⇐⇒ ∃ c : b = ac.
2. a ∈ S× (jest jednością/el. odwracalnym) ⇐⇒ a | 1.
3. a ∼ b (a jest stowarzyszone z b) ⇐⇒ a | b oraz b | a ⇐⇒ ∃ u ∈ S×: a = ub.
4. a jest pierwszy ⇐⇒ a /∈ S× oraz (a | bc ⇒ a | b lub a | c).
5. a jest nierozkładalny ⇐⇒ a /∈ S× oraz (a = bc ⇒ b ∼ 1 lub c ∼ 1).
6. S jest półgrupą z rozkładem ⇐⇒ ∀ a /∈ S×∃ p1, p2, . . . pk nierozkładalne: a = p1p2. . . pk.
7. S jest półgrupą z jednoznacznością rozkładu ⇐⇒ S jest półgrupą z rozkładem i dla każdego a /∈ S× rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności czynników i stowarzyszenia.
3.2 Powrót do pierścieni Dedekinda
Twierdzenie 3.2. Niech A będzie pierścieniem Dedekinda. Wówczas w półgrupie J0(A) obowiązuje prawo skracania.
Twierdzenie 3.3. Niech A będzie pierścieniem Dedekinda, a a, b ∈ J0(A). Wówczas a | b ⇐⇒ b ⊂ a Wniosek 3.3.1. Dwa ideały a, b ∈ J0(A) są ze sobą stowarzyszone ⇐⇒ a = b
Twierdzenie 3.4. Niech A będzie pierścieniem Dedekinda oraz a ∈ J0(A). Wówczas następujące warunki są równoważne:
1. a jest elementem nierozkładalnym w J0(A).
2. a jest ideałem maksymalnym pierścienia A.
3. a jest ideałem pierwszym pierścienia A.
4. a jest elementem pierwszy w J0(A).
Twierdzenie 3.5. Półgrupa przemienna z 1 i prawem skracania jest półgrupą z jednoznacznością rozkładu wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki:
1. S jest półgrupą z rozkładem,
2. każdy element nierozkładalny w S jest pierwszy.
Twierdzenie 3.6. Jeśli A jest pierścieniem Dedekinda, to J0(A) jest półgrupą z jednoznacznością rozkładu, tzn.
każdy niezerowy, właściwy ideał a można zapisać w postaci iloczynu:
a = p1p2. . . pk,
gdzie p1, p2, . . . , pk są ideałami pierwszymi i taki rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności czynników.
Twierdzenie 3.7. Jeśli A jest pierścieniem Dedekinda i A jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu, to A jest dziedziną ideałów głównych.
Przykład 3.1.
1. Każda dziedzina ideałów głównych jest pierścieniem Dedekinda, np. K[x], gdzie K jest ciałem, Z.
2. Czy A[x], gdzie A jest dowolną dziedziną całkowitości (pierścieniem noetherowskim, ale nie jest ciałem), jest pierścieniem Dedekinda?
Odpowiedź: Zauważmy, że (x) jest ideałem pierwszym pierścienia A[x], bo A[x]/(x) ∼= A, a A jest dziedziną całkowitości, z założenia nie jest ciałem, więc (x) jest pierwszy i nie jest maksymalny, więc A[x] nie jest pierścieniem Dedekinda.
3. Czy K[x, y] jest pierścieniem Dedekinda?
Odpowiedź: Mamy np. następujące ideały w K[x, y]: (x) ( (x, y). Zauważmy, że K[x, y] = (K[y])[x] = (K[x])[y]. Z powyższych faktów mamy:
K[x, y]/(x) = (K[y])[x])/(x) ∼= K[y].
K[y] jest dziedziną całkowitości jednak nie jest ciałem, więc (x) jest ideałem pierwszym i nie jest maksymal- nym.
3.3 Zadania
Zadanie 3.1. Czy następujące pierścienie są pierścieniami Dedekinda, jeśli TAK — dlaczego?, jeśli NIE — dlaczego?
(a) Z
(b) Z × Z z dodawaniem i mnożeniem po współrzędnych, (c) Z[x],
(d) Z[x, y], (e) (Z/p)[x],
(f) R[x, y], (g) Z/12, (h) Mn,n(K).
4 Jednoznaczność rozkładu
4.1 TEORIA:
Niech D ∈ Z\{−1, 0, 1} będzie liczbą bezkwadratową, tzn., dla każdego n ∈ N : n2- D. Zdefiniujmy następujące pierścienie:
Z[
√
D] := {a + b√
D : a, b ∈ Z}.
Dla D ≡ 1 (mod 4):
Z
"
1 +√ D 2
# :=
(
a + b1 +√ D
2 : a, b ∈ Z )
. Określmy następującą funkcję (normę):
N : Z[
√ D] → Z a + b√
D 7→ a2− Db2= (a + b√
D)(a − b√ D) oraz
N : Z
"
1 +√ D 2
#
→ Z
a + b1 +√ D
2 7→ a + b1 +√ D 2
!
a + b1 −√ D 2
!
Niech A będzie jednym z powyższych pierścieni, wówczas:
1. N (1) = 1, N (0) = 0, , ∀ x ∈ A \ {0} : N (x) 6= 0.
2. ∀ x ∈ A : (x ∈ A×⇐⇒ N (x) = ±1.
3. ∀x, y ∈ A : N (xy) = N (x)N (y).
4.2 Zadania
Zadanie 4.1. Znaleźć wszystkie dzielniki 13 + 2√
−5 w Z[√
−5]. Sprawdzić rozkładalność tego elementu w Z[√
−5], jeśli jest to element rozkładalny, czy jest to rozkład jednoznaczny?
Zadanie 4.2. Udowodnić, że 2, 7 nie jest elementem pierwszym pierścienia Z[√
−5].
Zadanie 4.3. Udowodnić, że 2 nie jest elementem pierwszym pierścienia Z[i].
Zadanie 4.4. Sprawdzić rozkładalność 2 w Z[√
−5].
Zadanie domowe 4.5. Udowodnić, że Z[√
−3] nie jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu.
Zadanie 4.6. Udowodnić, że Z[√
−5] nie jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu.
Zadanie 4.7. Udowodnić, że√
−5 jest elementem pierwszym pierścienia Z[√
−5].
Zadanie 4.8. Wyznaczyć elementy odwracalne pierścienia Z[√
−2].
Zadanie domowe 4.9. Znaleźć wszystkie dzielniki 1 + 2√
−5 w Z[√
−5]. Sprawdzić rozkładalność tego elementu w Z[√
−5], jeśli jest to element rozkładalny, czy jest to rozkład jednoznaczny?
Zadanie domowe 4.10. Znaleźć wszystkie dzielniki 4 + 2√
−5 w Z[√
−5]. Sprawdzić rozkładalność tego elementu w Z[√
−5], jeśli jest to element rozkładalny, czy jest to rozkład jednoznaczny?
5 Teoria podzielności w pierścieniu wielomianów
Twierdzenie 5.1. Każda dziedzina ideałów głównych jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu (UFD).
UWAGA 1. Zauważmy zatem, że Z, Z[i], Z[ω], gdzie ω jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia trzeciego z jedynki (ω = −12±
√3
2 ), K, K[x], gdzie K jest ciałem, są UFD.
Definicja 5.1. Wielomian f (x) = a0+ a1x + . . . + anxn o współczynnikach z dziedziny całkowitości A nazywamy wielomianem pierwotnym, gdy (a0, . . . , an) ∼ 1 (tzn. elementy a0, a1, . . . , an nie mają żadnego wspólnego dzielnika nieodwracalnego).
Twierdzenie 5.2. Niech A będzie UFD, K = Fr(A), niech f ∈ K[x] będzie niezerowym wielomianem. Wówczas istnieje wielomian pierwotny f∗∈ A[x] oraz element a ∈ K× taki, że f = af∗. Przedstawienie to jest jednoznaczne z dokładnością do elementów odwracalnych pierścienia A, tzn. jeśli:
f = a1f1∗, a1∈ K×, f1∗∈ A[x] — pierwotny, to istnieje u ∈ A× takie, że:
a1= ua oraz f1∗= u−1f∗.
Definicja 5.2. Niech A będzie UFD, K = Fr(A), f ∈ K[x] niezerowym wielomianem. Niech f = af∗, gdzie f∗∈ A[x] jest pierwotny, a ∈ K×. Wtedy a nazywamy zawartością wielomianu f i piszemy c(f ) ∼ a.
UWAGA 2. Jeśli c(f ) ∼ a oraz u ∈ A×, to c(f ) ∼ ua.
Definicja 5.3. Niech A będzie UFD oraz niech f (x) ∈ A[x] \ {0}. Wielomian f (x) nazywamy nierozkładalnym w A[x], gdy:
f (x) = g1(x)g2(x) =⇒ g1(x) = c1f (x) lub g2(x) = c2f (x), gdzie c1, c2∈ A×. Wniosek 5.2.1. [Własności:] Niech A będzie UFD, K = Fr(A), a ∈ K×, f ∈ K[x] \ {0}. Wówczas:
1. f ∈ A[x] ⇐⇒ c(f ) ∈ A.
2. c(af ) ∼ ac(f ).
3. (f = c(f )f1, f1∈ K[x]) =⇒ f1∈ A[x], c(f1) ∼ 1.
4. f ∈ A[x] jest pierwotny ⇐⇒ c(f ) ∼ 1.
5. (f ∈ A[x] jest pierwotny i nierozkładalny w K[x]) =⇒ f jest nierozkładalny w A[x].
Fakt 5.1. Jeśli f ∈ A[x] \ {0}, deg f = n > 0 jest nierozkładalny w A[x], to f jest pierwotny.
Twierdzenie 5.3 (Lemat Gaussa). Jeśli A jest UFD, K = Fr(A), to dla dowolnych wielomianów f, g ∈ K[x] \ {0}
mamy:
c(f g) ∼ c(f )c(g).
W szczególności iloczyn wielomianów pierwotnych jest pierwotny.
Wniosek 5.3.1. Jeśli f ∈ A[x] \ {0}, deg f = n jest nierozkładalny w A[x], to f jest nierozkładalny w K[x].
Łącząc ze sobą podpunkt 5. Wniosku 5.2.1, Fakt 5.1 i Wniosek 5.3.1, otrzymujemy następujące twierdzenie:
Twierdzenie 5.4. Wielomian f ∈ A[x] \ {0} jest nierozkładalny w A[x] wtedy i tylko wtedy, gdy jest wielomianem pierwotnym i nierozkładalnym w K[x] lub jest wielomianem stałym.
Twierdzenie 5.5. Niech A będzie UFD. Wówczas A[x] jest również UFD.
Wniosek 5.5.1. Jeśli A jest UFD, to dla dowolnego n ≥ 1 A[x1, . . . , xn] jest UFD.
Wniosek 5.5.2. Jeśli K jest ciałem, to K[x1, . . . , xn] dla dowolnego n ≥ 1 jest UFD.
5.1 Kryteria użyteczne do sprawdzania czy dany wielomian jest nierozkładalny
Fakt 5.2. Niech A będzie UFD, K = Fr(A), f (x) = a0+ a1x + . . . + anxn ∈ A[x]. Jeśli α = pq ∈ K ((p, q) ∼ 1) jest pierwiastkiem wielomianu f (x), to p | a0, q | an.
Twierdzenie 5.6 (Kryterium Eisensteina). Niech A będzie UFD i niech K = Fr(A). Niech p ∈ A będzie elementem nierozkładalnym w A i niech f (x) = anxn+ an−1xn−1+ . . . + a1x + a0∈ A[x] będzie takim wielomianem, że:
1. p - an,
2. p | ai dla każdego i = 0, 1, 2, . . . , n − 1, 3. p2- a0.
Wówczas f (x) jest nierozkładalny w K[x]. W szczególności, jeśli ponadto f jest pierwotny, to jest nierozkładalny w A[x].
Niech σ : A → B będzie homomorfizmem pierścieni z 1. Odwzorowanie:
A[x] 3 f 7→ fσ ∈ B[x],
dane wzorem: f (x) = a0+ a1x + . . . + anxn7→ fσ(x) = σ(a0) + σ(a1)x + . . . + σ(an)xn nazywamy homomorfizmem indukowanym przez σ.
UWAGA 3. Łatwo pokazać, że jest to rzeczywiście homomorfizm pierścieni A[x] i B[x].
Twierdzenie 5.7 (Kryterium porównawcze). Niech A, B będą dziedzinami całkowitości, a σ : A → B homomorfi- zmem między nimi. Ponadto niech f ∈ A[x] będzie niezerowym wielomianem pierwotnym takim, że deg fσ= deg f . Jeśli fσ jest nierozkładalny w B[x], to f jest nierozkładalny w A[x].
5.2 Zadania
Zadanie 5.1. Który z wielomianów jest nierozkładalny nad Q, Z? Odpowiedź uzasadnić (jeśli jest rozkładalny, wskazać nietrywialny rozkład).
(a) x3− 3x2− 6x + 3, (b) 3x6− 6,
(c) 3x6− 12,
(d) 2x5+ 10x3+ 5x2− 5, (e) x3+ x + 1,
(f) x3− 3x2+ 8x + 35
Zadanie 5.2. Niech D ∈ Z \ {−1, 0, 1} będzie liczbą bezkwadratową. Pokazać, że jeśli norma elementu a ∈ Z[√ D]
lub a ∈ Zh
1+√ D 2
i
, dla D ≡ 1 (mod 4), jest liczbą pierwszą, to a jest elementem nierozkładalnym w Z[√ D], odpowiednio Zh
1+√ D 2
i .
Zadanie 5.3. Który z wielomianów jest nierozkładalny nad Q(i), Z[i]? Odpowiedź uzasadnić (jeśli jest rozkładalny, wskazać nietrywialny rozkład).
(a) x4+ (5 + 3i)x3+ 2x2+ (1 + 7i)x + (1 + 3i), (Wskazówka: Pokazać, że 1 + i jest nierozkładalny w Z[i] i skorzystać z kryt. Eisensteina.)
(b) ix3+ i(2 + 2i)x2− 2ix + (1 + i)i (Wskazówka: Pokazać, że 1 + i jest nierozkładalny w Z[i] i skorzystać z kryt.
Eisensteina),
(c) 2x5+10x3+5x2−5 (Wskazówka: Pokazać, że 2+i jest nierozkładalny w Z[i] i skorzystać z kryt. Eisensteina.), (d) x2+ 1.
Zadanie 5.4. Stosując kryterium Eisensteina udowodnić nierozkładalność wielomianów:
(a) X5+ (2i − 2)X3+ 2iX + 1 + i w pierścieniu Q(i)[X] i Z[i][X].
(b) X5+ 5X4− (1 + 3i)X + 3 − i w pierścieniu Q(i)[X] i Z[i][X].
(c) X3+ (1 + 4√
−3)X + 7 w pierścieniu Q(√
−3)[X] i Z[1+
√−3 2 ].
(d) Y3+ 9X2Y2+ 3Y + 3X w pierścieniu Q[X, Y ] i Z[X, Y ].
(e) Y3+ 3X2Y2+ (5X2+ 7X)Y + 3X w pierścieniu R[X, Y ] i Z[X, Y ].
(f) 13 − 36X + 46X2− 28X3+ 7X4∈ Z[X].
(g) −25 − 9X + 3X2+ X3∈ Z[X].
(h) −14 + 5X − 10X2+ 10X3− 5X4+ X5∈ Z[X].
(i) (1 + i) + 2iX2+ 2X3+ X4∈ Z[i][X].
Zadanie 5.5. Korzystając z kryterium Eisensteina udowodnić, że wielomian X3− 3X2− 5X + 1 jest nierozkładalny w pierścieniu Q[X].
Zadanie 5.6. Udowodnić, że wielomian Xp−1+ Xp−2+ . . . + X + 1, gdzie p ≥ 2 jest nierozkładalny w pierścieniu Q[X] i w Z[X] wtedy i tylko wtedy, gdy p jest liczbą pierwszą.
6 Ciała
6.1 O rozszerzeniach ciał
Definicja 6.1. Ciałem nazywamy niepusty zbiór z dwoma działaniami wewnętrznymi (K, +, ·), gdzie (K, +) i (K \ {0}, ·) są grupami abelowymi oraz zachodzi:
∀ a, b, c ∈ K : a · (b + c) = (a · b) + (a · c) .
Definicja 6.2. Niech L będzie ciałem, a K ⊂ L podciałem ciała L, wówczas L nazywamy rozszerzeniem ciała K i oznaczamy L/K.
L jest przestrzenią liniową nad K, o wymiarze dimKL.
Definicja 6.3. [L : K] := dimKL nazywamy stopniem rozszerzenia L/K. Gdy [L : K] < ∞, to rozszerzenie L/K nazywamy skończonym.
Twierdzenie 6.1. Niech L/M oraz M/K będą rozszerzeniami skończonymi. Wówczas rozszerzenie L/K jest rozszerzeniem skończonym oraz:
[L : K] = [L : M ][M : K].
Każde ciało jest dziedziną całkowitości, tak więc elementy nierozkładalne należące do ciała są elementami pierwszymi tego ciała.
Definicja 6.4. Niech L/K będzie rozszerzeniem ciał oraz niech a ∈ L. Element a nazywamy algebraicznym, gdy:
∃ 0 6= f ∈ K[x] : f (a) = 0.
(Jeśli element a nie jest algebraiczny, to a nazywamy przestępnym).
Definicja 6.5. Rozszerzenie L/K nazywamy rozszerzeniem algebraicznym, gdy każdy element a ∈ L jest algebraiczny nad K.
Twierdzenie 6.2. Niech L/K będzie rozszerzeniem ciał. Element a ∈ L jest algebraiczny nad K wtedy i tylko wtedy, gdy [K (a) : K] < ∞.
Wniosek 6.2.1. Jeśli L/K jest rozszerzeniem skończonym, to L/K jest rozszerzeniem algebraicznym.
Definicja 6.6. Ciało K nazywamy algebraicznie domkniętym, gdy każdy wielomian f ∈ K[x] posiada pierwia- stek w ciele K.
Twierdzenie 6.3. Każde ciało K zawiera się w pewnym ciele algebraicznie domkniętym.
Definicja 6.7. Minimalne ciało w sensie inkluzji, o którym mowa w twierdzeniu 6.3, nazywa się algebraicznym domknięciem ciała K i oznaczamy ¯K.
Definicja 6.8. Niech L/K będzie rozszerzeniem ciał oraz niech a ∈ L będzie algebraiczny nad K. Wielomian f ∈ K[x] nazywamy minimalnym dla a, gdy:
∀ 0 6= g ∈ K[x] : g (a) = 0 ⇒ deg g ≥ deg f.
Fakt 6.1. Wielomian f ∈ K[x], jest minimalny dla a wtedy i tylko wtedy, gdy f jest nierozkładalny nad K.
Definicja 6.9. Niech L/K będzie rozszerzeniem ciał oraz niech a ∈ L będzie algebraiczny nad K. Element a nazywamy rozdzielczym nad K, gdy:
f0(a) 6= 0, gdzie f ∈ K[x] jest wielomianem minimalnym dla a.
Zauważmy, że gdy L/K jest rozszerzeniem ciał oraz, jeśli char K = 0, to każdy element algebraiczny nad K jest rozdzielczy nad K.
Definicja 6.10. Rozszerzenie L/K nazywamy rozszerzeniem rozdzielczym, gdy każdy element a ∈ L jest rozdzielczy nad K.
Definicja 6.11. Rozszerzenie L/K nazywamy rozszerzeniem normalnym, gdy L/K jest rozszerzeniem algebra- icznym oraz dla każdego a ∈ L, wielomian minimalny f ∈ K[x] rozkłada się na czynniki liniowe nad L.
Definicja 6.12. Rozszerzenie L/K nazywamy rozszerzeniem Galois, gdy L/K jest rozszerzeniem normalnym i rozdzielczym.
Definicja 6.13. Niech L/K będzie rozszerzeniem ciał. Grupą Galois rozszerzenia L/K nazywamy zbiór:
G (L/K) := {σ : L → L — automorfizm; ∀ x ∈ K : σ (x) = x} = AutK(L)
Lemat 6.1. Niech α ∈ L będzie elementem algebraicznym nad K. Niech f (x) ∈ K[x] będzie wielomianem mini- malnym dla α oraz niech deg f (x) = n. Wówczas:
1. K(α) = {a0+ a1α + . . . + an−1αn−1: dla ai∈ K, ∀ i = 0, . . . , n − 1}, 2. [K(α) : K] = n.
6.2 Zadania
Zadanie 6.1. Znaleźć wielomian o współczynnikach z Q(i):
(a) stopnia 2, którego pierwiastkiem jest liczba
α = 2i + 1 +√
5 − 2i√ 5
(b) stopnia 2, którego pierwiastkiem jest liczba
α = −3 2 − i +
s 1 +√
17
8 − i
s
−1 +√ 17 8 (c) stopnia 2, którego pierwiastkiem jest liczba
α = −6 − 4i + q
2 + 2√ 17 − i
q
−2 + 2√ 17
(d) stopnia 2, którego pierwiastkiem jest liczba
α = s√
10 + 1
2 + i
s√ 10 − 1
2 (e) stopnia 2, którego pierwiastkiem jest liczba
α = q
2√
10 + 2 + i q
2√ 10 − 2
(f) stopnia 2, którego pierwiastkiem jest liczba
α = −1 2+3
2i + s
5√ 5 − 10
4 − i
s 5√
5 + 10 4
(g) stopnia 2, którego pierwiastkiem jest liczba
α = −2 + 6i + q
−40 + 20√ 5 − i
q
40 + 20√ 5 (h) stopnia 3, którego pierwiastkiem jest liczba
α = √3 5 1
2 − i
√3 2
+√3
25
−3 − 3i√ 3
Zadanie 6.2. Udowodnić nierozkładalność nad Q(i) wielomianów otrzymanych w poprzednim zadaniu.
Zadanie 6.3. Udowodnić o każdej z liczb z zadania 6.1, że jest elementem algebraicznym nad ciałem Q(i) i obliczyć stopień rozszerzenia Q(i)(α)/Q(i).
Zadanie 6.4. Czy następujące rozszerzenia są rozszerzeniami Galois. Obliczyć stopień tych roszerzeń.
(a) Q(√ 3,√
5), (b) Q(√4
5,√ 3)/Q(√
5), (c) Q(√4
5,√ 3)/Q.
