Pary (x, y) liczb ca lkowitych spe lniajaιce r´ownanie xy2− y3− xy + x2+ 5 = 0 saι wsp´o lrzeιdnymi wierzcho lk´ow pewnego wielokaιta

AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA

”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2011/12 MATEMATYKA - ETAP I

ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW 1. Pary (x, y) liczb ca lkowitych spe lniajaιce r´ownanie

xy²− y³− xy + x²+ 5 = 0

sa_ι wsp´o lrze_ιdnymi wierzcho lk´ow pewnego wieloka_ιta. Oblicz jego pole.

2. Oblicz sume_ι n pocza_ιtkowych wyraz´ow cia_ιgu (a_n), w kt´orym a₁ = 3, a₂ = 33, a₃ = 333, a₄ = 3333, . . . .

3. W p´o lokra_ιg o promieniu R wpisano trapez, w kt´orym ramie_ι jest nachylone pod ka_ιtem α do podstawy be_ιda_ιcej ´srednica_ι okre_ιgu. Oblicz pole trapezu.

4. Rozwiaι˙z r´ownanie

n→+∞lim (x + x³+ x⁵+ . . . + x²ⁿ⁻¹) = 2 3.

ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW

5. Wyznacz r´ownanie krzywej beιdaιcej zbiorem ´srodk´ow wszystkich cieιciw paraboli y = x² − 2 przechodza_ιcych przez pocza_ιtek uk ladu wsp´o lrze_ιdnych. Naszkicuj te_ι krzywaι.

6. Narysuj w uk ladzie wsp´o lrzeιdnych zbi´or

S = {(x, y) : log_x|y − 2| > log_|y−2|x}.

7. a) Zbadaj w zale˙zno´sci od parametru k, ile rozwia_ιza´n ma uk lad r´owna´n

( kx + (k + 1)y = k − 1 4x + (k + 4)y = k.

b) Dla jakich warto´sci parametru k ten uk lad ma dok ladnie jedno rozwia_ιzanie nale˙zaιce do wneιtrza tr´ojkaιta o wierzcho lkach

A = (0, 0), B = (2

3, 0), C = (0, 2).