Projekt pn. IKS - Inwestycja w Kierunki Strategiczne na Wydziale Matematyki i Informatyki UMK realizowany w ramach Poddziaªania 4.1.2 Programu Operacyjnego Kapitaª Ludzki
Kurs wyrównawczy - rachunek prawdopodobie«stwa I rok II st. matematyka, sp.: zas, mef, nam, mii
Prowadz¡cy: dr Agnieszka Goroncy
6. Mocne Prawo Wielkich Liczb
Zad. 6.1 Niech X1, X2, . . . b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o jednako- wym rozkªadzie wykªadniczym E(2). Oblicz granic¦ prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn =
n
P
i=1
Xi2
n
P
i=1
Xi .
Zad. 6.2 Niech X1, X2, . . . b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym roz- kªadzie jednostajnym na odcinku (−π2,π2]. Zbadaj zbie»no±¢ prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn=
n
P
i=1
(Xi+ 1)2
n
P
i=1
cos(Xi) .
Zad. 6.3 Niech X1, X2, . . . b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym roz- kªadach jednostajnych na odcinku (1, 3). Zbadaj zbie»no±¢ prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn =
2n
Y
k=1
Xk(−1)k+1
!n1 .
Zad. 6.4 Niech X1, X2, . . . b¦d¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o jednakowym roz- kªadzie wykªadniczym E(2). Zbadaj zbie»no±¢ P -p.w. ci¡gu
Yn=
n
P
i=1
max(X2i, X2i−1)
n
P
i=1
(X2i+ X2i−1) .
Zad. 6.5 Niech X1, X2, . . . oraz Y1, Y2, . . . b¦d¡ dwoma ci¡gami niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadach odpowiednio E(2) i dyskretnym zadanym nast¦puj¡co:
P (Yi = −1) = 1/2, P (Yi = 0) = 1/3. P (Yi = 1) = 1/6.
Dodatkowo dla ka»dego i zmienne Xi, Yi s¡ niezale»ne. Wyznacz granic¦ P -prawie wsz¦dzie ci¡gu
Zn =
n
P
i=1
XiYi
n
P
i=1
(Xi2+ Yi2) .
Projekt wspóª nansowany przez Uni¦ Europejsk¡ w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego
