Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
Kolokwium nr 6: czwartek 4.04.2019, godz. 12:15–13:00 (sala HS), materiał zad. 1–226.
Całki niewłaściwe.
Zadania do omówienia na ćwiczeniach we wtorek 2.04.2019 (9:15-12:00).
Grupa 1 ma zajęcia w sali HS, grupa 2 ma zajęcia w sali EM, grupa 3 ma zajęcia w sali A.
Zbadać zbieżność całek niewłaściwych, obliczyć wartość tych, które są zbieżne:
193.
∞
Z
−1
dx
x2+ 1 194.
Z32
0
dx
√5
x 195.
∞
Z
1
dx
√5
x 196.
Z1
−1
x − 1 x2− 1dx
197.
∞
Z
2
dx
xlnx 198.
∞
Z
0
dx
e√3x 199.
∞
Z
0
cosxdx 200.
∞
Z
1
x1/xdx 201.
∞
Z
−∞
exdx
202.
1
Z
0
e1/xdx 203.
∞
Z
1
e−1/x
x3 dx 204.
∞
Z
2
dx
xln2x 205.
∞
Z
0
x3sinx4dx
206.
1
Z
−1
ln|x| dx 207.
+∞
Z
1
7x2+ 8x − 9 x4+ 3x3+ x2+ 3x dx
Zbadać zbieżność całek niewłaściwych:
208.
∞
Z
1
dx
x2+ sin2x 209.
1
Z
0
√ dx
x + arctgx 210.
∞
Z
2
dx x − sin√
x + 28
211.
∞
Z
0
dx
√3
x + x4 212.
∞
Z
0
1 +qx + |lnx|
x dx 213.
∞
Z
0
x2+ 1 x4+ 1dx
214.
∞
Z
0
√ dx
x3+ x 215.
∞
Z
0
arctgx
x2+ arctgxdx 216.
+∞Z
−∞
dx 1 + x2+ sin2x
217.
∞
Z
1
e−1/xdx 218.
∞
Z
0
√x + 1 −√
xdx 219.
∞
Z
0
√ 1
x + 1− 1
√xdx
220. Obliczyć wartość całki niewłaściwej
∞
Z
3
dx
x2− 1 lub wykazać, że całka ta jest roz- bieżna.
221. Obliczyć wartość całki niewłaściwej
∞
Z
2
x
x4− 1dx lub wykazać, że całka ta jest rozbieżna.
Lista 6 - 11 - Strony 11-13
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
222. Udowodnić zbieżność całki niewłaściwej
∞
Z
0
xedx x4+ x3.
223. Obliczyć wartość całki niewłaściwej
∞
Z
7
dx
x3+ x lub wykazać, że całka ta jest roz- bieżna.
224. Udowodnić zbieżność całki niewłaściwej
∞
Z
0
xπdx
√x9+ x8.
225. Udowodnić zbieżność całki niewłaściwej
∞
Z
0
√x5+ x3
√3
x11+ x7 dx.
226. Obliczyć wartość całki niewłaściwej
∞
Z
4
5x − 2
x3+ x2− 2xdx i po uproszczeniu wyniku określić, czy wartość ta jest większa czy mniejsza od 1.
Zadania do omówienia na ćwiczeniach we wtorek 2.04.2019 (8:15-9:00 sala HS).
Podać przykład takiej funkcji ciągłej f :R−→R, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość
824. f (n) = 1
n, ale całka
∞
Z
1
f (x)dx jest zbieżna.
825. f (n) = 1
n2, ale całka
∞
Z
1
f (x)dx jest rozbieżna.
826. f (n) = n, ale całka
∞
Z
1
f (x)dx jest zbieżna.
827. f (n) = 0, ale całka
∞
Z
1
f (x)dx jest rozbieżna.
828. f (n) = en, ale całka
∞
Z
1
f (x)dx jest zbieżna.
829. f (n) = 1, a przy tym
∞
Z
1
f (x)dx = 1 oraz
∞
Z
1
(f (x))2dx = 1000.
Lista 6 - 12 - Strony 11-13
Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19
830. Obliczyć wartość całki √
3
Z
−√ 3
x arctg1 xdx .
Rozwiązanie błędne:
Wykonujemy podstawienie x = 1/t, czyli t = 1/x i formalnie dx =−dt
t2 . Otrzymujemy (w międzyczasie całkując przez części):
√3
Z
−√ 3
x arctg1
xdx = −
1/√ 3
Z
−1/√ 3
arctgt
t3 dt = −
1/√ 3
Z
−1/√ 3
1
t3· arctgt dt =
= 1
2t2· arctgt
1/√ 3
t=−1/√ 3
−1 2·
1/√ 3
Z
−1/√ 3
1 t2· 1
t2+ 1dt =3 2·π
6−3 2·−π
6 −1 2·
1/√ 3
Z
−1/√ 3
1 t2− 1
t2+ 1 dt =
=π 2−1
2·
−1
t− arctgt
1/√ 3
t=−1/√ 3
=π 2−1
2·
−√ 3 −π
6−√ 3 −π
6
=π 2+√
3 +π 6 =
=2π 3 +√
3 .
Lista 6 - 13 - Strony 11-13
