Lista nr 1 Zadanie 1 podpunkty d) i e)
Jan Pruszyński 12 stycznia, 2015
1 Treść zadania 1.1
d) Wykaż, że jeżeli w przestrzeni probabilistycznej wszystkie stany mają takie samo prawdopodobieństwo dodatnie, to zbiór zdarzeń elementarnych jest skończony.
e) Wykaż, że jeżeli w przestrzeni probabilistycznej wszystkie stany mają prawdopo- dobieństwo równe zero, to zbiór zdarzeń jest nieprzeliczalny.
2 Rozwiązanie podpunktu d)
Dla dowodu nie wprost załóżmy, że zbiór Ω jest nieskończony i zawiera pewien podzbiór A przeliczalny, składający się z elementów ω1, ω2, ....
Zgodnie z założeniami mamy dla pewnego p > 0
P ({ωi}) = p, ∀i (1)
Z własności prawdopodobieństwa mamy P (A) ¬ 1 Ale jednocześnie
P (A) =
∞
X
i=1
P ({ωi}) =
∞
X
i=1
p = ∞
co daje nam sprzeczność i tym samym implikuje skończoną liczbę elementów zbioru Ωi kończy dowód.
1
3 Rozwiązanie podpunktu e)
Dla dowodu nie wprost załóżmy, że zbiór Ω jest nieskończony przeliczalny i składa się z elementów ω1, ω2, ....
Zgodnie z założeniami mamy
P ({ωi}) = pi = 0, ∀i
Korzystając z konstrukcji prawdopodobieństwa dla nieskończonej i przeliczalnej prze- strzeni stanów mamy
∞
X
i=1
pi = 1
Ale ∞
X
i=1
pi =
∞
X
i=1
0 = 0 6= 1
co daje nam sprzeczność. Analogiczną sprzeczność otrzymamy przy założeniu, że Ω jest zbiorem skończonym, a zatem przestrzeń stanów jest nieprzeliczalna, co kończy dowód.
2
