Wytrzymałość Materiałów

Wytrzymałość Materiałów

Skręcanie prętów o przekrojach kołowych

Siły przekrojowe, deformacja, naprężenia, warunki bezpieczeństwa i sztywności, sprężyny śrubowe.

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

dr hab. inż. Kinga Nalepka

B2, III p., pok. 312

Siły przekrojowe - naprężenia

© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 2

dA C

- rozciąganie/ściskanie

- ścinanie

- zginanie

- skręcanie

Ścięcie pręta poddanego skręcaniu materiał sprężysto plastyczny

materiał kruchy

F.P. Beer, Mechanics of Materials

Moment obrotowy – zależności fizyczne

M

Praca wykonana przez moment obrotowy [Nm] na kącie obrotu [rad]:

·

· ⇒ · !

– moc [W=Nm/s]

! – prędkość kątowa [rad/s] ⇒ !

– moc [kW]

" – prędkość obrotowa [obr/min]

# · 10

'W)

* 2, 60 rad s

⇒ 30 · 10

, #

*

N∙m s 1 s

≅ 9550 #

* N∙m

Odkształcenie postaciowe

© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 4

Prosty pręt pryzmatyczny o kołowym przekroju poprzecznym utwierdzony na jednym końcu (cała ścianka poprzeczna) obciążono na swobodnej ściance parą sił o momencie

.

Pomijamy siły masowe.

Oś x wzdłuż osi pręta, a y i z stanowią osie główne centralne przekroju

poprzecznego.

R

R

:

;′

;

;

=

>

>′ =′

>′′

: ?

Odkształcenie postaciowe ( ?)

Kąt o jaki zmieni się kąt zawarty pomiędzy dwoma włóknami materialnymi przechodzącymi przez wspólny punkt, które przed przyłożeniem obciążenia były wzajemnie prostopadłe.

@ A tan @ D

D′′

F

D′′

G D

D′′ H I

F

D′′

⟹ ? G :

: – kąt skręcenia

R

Konfiguracja początkowa

Konfiguracja końcowa

K H K Kąt skręcenia rośnie liniowo wraz z

odległością od utwierdzenia:

Naprężenie styczne

I L · ⇒ I L,

9

NL H

P

Q

R

H

P

Q

L NR

@

H, T

H Zgodnie z prawem Hooke’a, naprężenie styczne jest proporcjonalne do odkształcenia postaciowego:

T N · @, G – moduł sprężystości poprzecznej (moduł Kirchhoffa)

9

T · H P

Q

T N · L · H

Naprężenie styczne jest skierowane prostopadle do promienia wodzącego rozważanego punktu i rośnie proporcjonalnie wraz z długością tego promienia

@ L · H ^(4.1)

(4.2)

(4.2)

⇒

UV

?

P

Warunek bezpieczeństwa

© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 6

T

R

H

T

S

Z [

,

R

H

Y

- moment skręcający R

- biegunowy moment bezwładności.

H

– odległość krawędzi zewnętrznej przekroju od jego środka ciężkości.

[

- dopuszczalne

naprężenie przy skręcaniu.

S

- wskaźnik

wytrzymałości przekroju przy skręcaniu.

R

R

,K

4 ,D

64 R

R

R

,D

32

S

R

D 2 ⁄

S

,D

16

R

,D

32 ,

32 R

,aD

b

32

S

,aD

b 16D Wskaźniki nie

są addytywne

przekrój kołowy

przekrój pierścieniowy

D D

UV

UV

UV

c

c

c

Warunek sztywności

gdzie :

:

^- dopuszczalny kąt skręcenia (rad) g

- dopuszczalny kąt skręcenia na

jednostkę długości (rad/mm, rad/m)

I

I c

c NR

I L · , L NR

,

I

· c

NR

Z I

L NR

Z L

Kąt skręcenia rośnie liniowo wraz z odległością od utwierdzenia:

L - jednostkowy kąt skręcenia

Największy kąt skręcenia:

Warunki sztywności

:

Przykład obliczeń inżynierskich

© K. Nalepka, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe. 8

Dla pręta stalowego jak na rysunku sporządzić wykresy:

momentu skręcającego (M

),

maksymalnych naprężeń stycznych ( τ

) kąta skręcenia ( ϕ ^).

Szukane:

Wykresy: M

, τ

, ϕ Dane:

D= 100 mm, G =8 10

MPa

c

c

0.65 m

c

0.2 m c

0.3 m

c

c

d O &

d

5 kNm

O

15 kNm

&

14 kNm

Sprężyny śrubowe o małym skoku

– naprężenia, warunek bezpieczeństwa

m

n >

m m

o

q

n

UV m q

r · n · > u d

nw

D

h

nw

d

D/2 nw

z

y O

m

m

nw

q q

UV m q

UV m q

r · n · >

s ·

n · >⁄

s ·

⁄ ux

o

s ·

s · ux y

n s · ⁄ y

y · n s · r · n · >

s ·

y · n s ·

r · n · >

s ·

u >

Sprężyny śrubowe o małym skoku – ugięcie ( λ )

10

Praca wykonana nad sprężyną (L) Energia zmagazynowana w sprężynie (E)

z u

· n · {

| u ·

· :

m

n >

:

· }

~ · •

•

s ·

t

} s · > · "

| ux ·

· }

~ · s ·

|

· }

· ~ · •

| y · n · > · }

~ · s ·

| y · n · >

· "

~ ·

{ r · n · >

· "

~ ·

nw nw

λ P

λ L

≡

nw ^{u t … "} nw D

l – długość drutu sprężyny (po rozwinięciu) n – liczba zwoi,

M

} s>"

M

…

u · n · { z

© T. Machniewicz, Wytrzymałość Materiałów: Skręcanie prętów o przekrojach kołowych. Sprężyny śrubowe.