Analiza matematyczna 2
lista zada« nr 6 caªki wielokrotne Rozgrzewka
1. Wykorzystaj dobr¡ pogod¦ i zagraj w rugby. W przerwie oblicz obj¦to±¢ piªki:
D =(x, y, z) : 2x2+ 2y2+ z2 ≤ 1 . 2. Gdyby jednak miaªo pada¢, oblicz zawczasu mas¦ kropli deszczu:
D =(x, y, z) : x2+ y2+ (z − x2− y2)2 ≤ 1 .
Wskazówka: za ka»dym razem za pomoc¡ sprytnej zamiany zmiennych typu x = u, y = v, z = co(u, v, w) mo»na sprowadzi¢
problem do pytania o obj¦to±¢ kuli.
wiczenia
1. Wspóªrz¦dne walcowe. Wyznacz jakobian zamiany zmiennych x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = t.
2. Stosuj¡c wspóªrz¦dne walcowe, oblicz obj¦to±¢ bryªy
D =(x, y, z) ∈ R3 : (x2− x(1 − z2) + y2)2≤ (1 − z2)2(x2+ y2), −1 ≤ z ≤ 1 3. Obj¦to±¢ bryª obrotowych. Stosuj¡c wspóªrz¦dne walcowe, wyra¹ obj¦to±¢ bryªy obrotowej
D =n
(x, y, z) ∈ R3 : p
x2+ y2≤ f (z), a ≤ z ≤ bo
w postaci caªki jednokrotnej. Zakªadamy, »e f jest ci¡gªa i dodatnia na przedziale [a, b].
4. Wykorzystaj uzyskany w poprzednim ¢wiczeniu wzór do obliczenia obj¦to±ci bryªy UFO =
(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2≤ 16 1 − z2 1 + 64z2
. 5. Stosuj¡c wspóªrz¦dne sferyczne, oblicz obj¦to±¢ (nieograniczonej) bryªy
D =(x, y, z) ∈ R3 : (x2+ y2+ z2)3(x2+ y2) ≤ z2, z ≥ 0 6. Oblicz (niewªa±ciwe) caªki iterowane
Z 1 0
Z 1 0
x2− y2 (x2+ y2)2dy
dx,
Z 1 0
Z 1 0
x2− y2 (x2+ y2)2dx
dy.
Czy wobec tego caªka podwójna Z Z
[0,1]×[0,1]
x2− y2
(x2+ y2)2dxdy jest zbie»na bezwzgl¦dnie?
7. (a) Spróbuj wyznaczy¢ warto±¢ (niewªa±ciwej) caªki podwójnej Z Z
(0,∞)×(0,∞)
sin(x + y) − (x + y) cos(x + y)
(x + y)2 dxdy
zamieniaj¡c j¡ na caªk¦ iterowan¡. W obliczeniach pomocne mog¡ by¢ to»samo±ci (sin tt )0 =
t cos t−sin t
t2 oraz R0∞sin tt dt = π2.
(b) W powy»szej caªce zamie« zmienne zgodnie ze wzorami x = u−v, y = v. Wynikiem powinna by¢ caªka
Z Z
Ω
sin u − u cos u
u2 dudv, Ω = {(u, v) : u > 0, 0 < u < v} . Spróbuj wyznaczy¢ warto±¢ tej caªki caªkuj¡c wpierw po v, a nast¦pnie po u.
Mateusz Kwa±nicki
