Analiza matematyczna 2
lista zada« nr 12 wzór greena Rozgrzewka
1. Niech ~u = (1, 2, 3), ~v = (4, 5, 6). Oblicz iloczyn wektorowy ~w = ~u × ~v. Ile wynosi ~u · ~w oraz ~v · ~w.
2. Niech ∇ = (∂x∂ ,∂y∂ ,∂z∂) oraz ~F = (Fx, Fy, Fz). Jaki sens mo»na nada¢ napisom: ∇ · ~F , ∇ × ~F oraz ∇ · ∇?
Powinno zachodzi¢ ∇·(∇× ~F ) = 0 (porównaj z poprzednim zadaniem). Czy tak jest faktycznie?
Jak napisa¢ t¦ równo±¢ formalnie, korzystaj¡c z symboli rot i div?
wiczenia
1. Korzystaj¡c ze wzoru Greena, oblicz caªk¦ krzywoliniow¡
I
Γ
px2+ y2dx +
xy + y ln
x +p
x2+ y2
dy
, gdzie Γ jest dodatnio zorientowanym brzegiem obszaru
D =(x, y) ∈ R2 : 1 < x < e, 0 < y < ln x . 2. Sprawd¹, »e nast¦puj¡ce pola s¡ potencjalne:
F (x, y) = 3x~ 2y4− 6xy − 4, 4x3y3− 3x2+ 5 , G(x, y) =~
ln |xy|,|x||y| .
3. Oblicz potencjaªy pól z poprzedniego zadania. (Co mo»na powiedzie¢ o dziedzinie pola i poten- cjaªu w punkcie (b)?)
4. Niech
F (x, y) =~
y
x2+ y2, − x x2+ y2
.
Czy pole ~F jest potencjalne? Czy mo»na wyznaczy¢ potencjaª pola ~F ? Co mo»na powiedzie¢ o dziedzinie pola i potencjaªu? Oblicz wprost (tzn. parametryzuj¡c krzyw¡) caªk¦
I
Γ
F · d~~ r,
gdzie Γ jest dodatnio zorientowanym okr¦giem jednostkowym. Dlaczego wynik jest niezerowy?
5. Sprawd¹, »e pole ~F (x, y) = (p(x), q(y)) (tutaj p i q s¡ pewnymi funkcjami ci¡gªymi) jest poten- cjalne i oblicz jego potencjaª.
6. Oblicz caªk¦
Z
Γ
x
x + y + log(x + y)
dx + x x + ydy
,
je±li Γ jest krzyw¡ dan¡ w sposób uwikªany równaniem xy+ yx= 3 o pocz¡tku w punkcie (1, 2) i ko«cu w punkcie (2, 1). Wskazówka: nie trzeba parametryzowa¢ Γ!
7. Korzystaj¡c ze wzoru na pole powierzchni S sparamteryzowanej funkcjami (x(s, t), y(s, t), z(s, t)), gdzie (s, t) ∈ D, tzn. ze wzoru:
|S| = Z Z
S
1dS = Z Z
D
k~n(s, t)k dsdt, gdzie ~n(s, t) = ∂x
∂s,∂y
∂s,∂z
∂s
× ∂x
∂t,∂y
∂t,∂z
∂t
, udowodnij wzór na pole powierzchni otrzymanej przez obrót wykresu y = f(x), x ∈ [a, b] wokóª osi x. Zastosuj parametryzacj¦:
x(s, t) = s, y(s, t) = f (s) cos t, z(s, t) = f (s) sin t, gdzie a ≤ s ≤ b, 0 ≤ t ≤ 2π.
Mateusz Kwa±nicki
