Analiza matematyczna 2
lista zada« nr 3 caªki z parametrem Rozgrzewka
1. Niech j(x, a) = cos(a sin x), a ≥ 0, x ∈ [0, π]. Okre±lamy J (a) =
Z π
0
j(x, a)dx.
(a) Udowodnij, »e J jest funkcj¡ ci¡gª¡ parametru a.
(b) Udowodnij, »e J jest ró»nicznowalna oraz J0(a) = −
Z π
0
sin(a sin x) sin xdx.
wiczenia
1. Niech γ(x, a) = xa−1e−x dla x > 0, a > 0 i okre±lmy:
Γ(a) = Z ∞
0
γ(x, a)dx.
(a) Wykorzystaj zadanie z poprzedniej listy, by stwierdzi¢, »e caªka okre±laj¡ca Γ(a) jest zbie»na.
(b) Udowodnij, »e Γ jest ci¡gª¡ funkcj¡ parametru a.
Wskazówka: Skorzystaj z twierdzenia Lebesgue'a o zbie»no±ci zmajoryzowanej.
Wskazówka do wskazówki: Je±li lim an= a, an> 0, a > 0, to an ∈ [m, M ]dla pewnych m, M > 0 i wobec tego xa−1≤ xm+ xM.
(c) Udowodnij, »e Γ jest ró»niczkowana oraz »e Γ0 jest ci¡gªa.
(d) Udowodnij, »e Γ jest niesko«czenie wiele razy ró»niczkowalna i znajd¹ wzór na Γ(n)(a). (e) Korzystaj¡c ze wzoru na Γ00(a) udowodnij, »e Γ jest funkcj¡ wypukª¡.
(f) Udowodnij, »e Γ(a + 1) = a Γ(a).
Wskazówka: Caªkowanie przez cz¦±ci
(g) Udowodnij, »e Γ(n + 1) = n! dla wszystkich liczb naturalnych n.
2. Udowodnij, »e
Z ∞ 0
1 − e−x
x cos xdx = ln 2 2 . W tym celu zró»niczkuj caªk¦
Z ∞ 0
1 − e−ax
x cos xdx
po parametrze a. Czy umiesz uzasadni¢ poprawno±¢ wszystkich przej±¢?
Mateusz Kwa±nicki
