x x’    7m-x=x’-2m q(x) R R V

PRĘTY:

OBCIĄŻENIA:

MOMENTY:

TNĄCE:

REAKCJE PODPOROWE:

1 2 3 4

3,000 2,500 1,500 2,000 H=9,000

1 2 3 4

10,000

3,750

3,750 -20,000

1 2 3 4

10,417 10,417 10,41712,146

-20,000

-20,000 -20,000-20,000-20,000 -20,000

1 2 3 4

3,472 3,472

3,472

3,472 5,729

-11,458 5,729

-11,458 -11,458 -14,271 -11,458

-14,271

1 2 3 4 5

3,472 2,257

14,271

₁ ₂ ₃

V_A R_B R_C

x x’

7m-x=x’-2m

q(x)

Obciążenie ciągłe - rzędna nad przegubem

―――q_D ＝

1.5 m ――――――

10 ――kN m

((1.5 m 2.5 m))+ q_D≔―――⋅ = 10 ――kN

m

4 m 1.5 m 3.75 ――kN m Równania równowagi - wyznaczenie reakcji podporowych

＝

ΣX 0 H_A≔0

Równanie, w którym korzystamy z własności przegubu

(suma momentów względem przegubu dla części belki na prawo od tego przegubu).

＝

ΣM_Dp 0 R_C⋅1.5 m−20 kN m⋅ −―1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ＝ 2 q_D 1.5 m ―1

3 1.5 m 0

≔

R_C ―――――――――――=

+

⋅

20 kN m ―1⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 2 q_D 1.5 m ―1

3 1.5 m

1.5 m 14.271 kN

＝

ΣM_A 0 R_B⋅3 m+R_C⋅7 m−20 kN m⋅ −―1⋅ ⋅ ⋅ ＝ 2 10 ――kN

m 4 m ⎛

⎜⎝―1⋅ + 3 4 m 3 m⎞

⎟⎠ 0

≔

R_B ――――――――――――――――――=

+ +

⋅

−R_C 7 m 20kN m⋅ ―1⋅ ⋅ ⋅ 2 10 ――kN

m 4 m ⎛

⎜⎝―1⋅ + 3 4 m 3 m⎞

⎟⎠

3 m 2.257 kN

＝

ΣY 0 V_A+R_B+R_C−―1⋅ ⋅ ＝ 2 10 ――kN

m 4 m 0

≔

V_A −R_B−R_C+―1⋅ ⋅ = 2 10 ――kN

m 4 m 3.472kN Równania sił wewnętrznych

α₁-α₁ x ((0 ;3m))∈

≔ N_α1 H_A=0

≔

T_α1 V_A=3.472 kN

≔

M_α1((x)) V_A⋅x M_α1((0)) 0= kN M_α1((3m)) 10.417= kN m⋅ α₂-α₂ x ((3 m ;7m))∈

Równanie opisujące obciążenie ciągłe

―――q ((x)) ＝

−

7 m x ――――――

10 ――kN m

((1.5 m 2.5 m))+ q ((x))≔―――10 kN ⋅

4 m² ((7 m−x))

≔

q ((x)) −2.5 x ――kN +

m² 17.5 ――kN

m q ((3m)) 10 ――= kN

m q ((7 m)) 0 ――= kN m

≔ N_α2 H_A=0

≔

T_α2((x)) V_A+R_B−q ((x)) (( −⋅ x 3 m))−―1⋅ ⋅ 2

⎛⎜⎝10 ――kN− m q ((x))⎞

⎟⎠ (( −x 3 m))

―――→

T_α2((x))

expand , float 4

, collect x

+

− +

⋅

41.25 kN 5.729⋅kN ――――17.5 kN x⋅ ⋅

m ―――――1.25 kN x⋅ ⋅ ² m²

≔

T_α2((x)) ―――――1.25⋅kN⋅x² − + m² ――――17.5⋅kN⋅x

m 46.979 kN

=

T_α2((3 m)) 5.729 kN T_α2((5.5 m)) −11.459= kN T_α2((7 m)) −14.271= kN

≔

M_α2((x)) V_A⋅x+R_B⋅(( −x 3 m))−q ((x)) ―⋅ 1 −

2 (( −x 3 m))² ―1⋅ ⋅ ⋅ 2

⎛⎜⎝10 ――kN − m q ((x))⎞

⎟⎠ (( −x 3 m))² ―2

3 M_α2((x))―――→

expand simplify

, float 4

+

− +

+ +

⋅

⋅

−56.25 m kN −6.771 m⋅ ⋅kN 41.25 kN x⋅ ⋅ 5.729⋅kN⋅x ―――――8.75 kN x⋅ ⋅ ²

m ―――――0.4167 kN x⋅ ⋅ ³ m²

...

≔

M_α2((x)) ―――――0.4167⋅kN⋅x³ − + − m² ―――――8.75⋅kN⋅x²

m 46.979 kN⋅x 63.021 kN m⋅

=

M_α2((3 m)) 10.417 kN m⋅

=

M_α2((5.5 m)) 0.004 kN m⋅ M_α2((5.5 m)) 0＝

=

M_α2((7 m)) −19.99 kN m⋅ M_α2((7 m)) −20 kNm＝

UWAGA: Obliczone wartości momentów zginających (podane po lewej) trzeba traktować jako przybliżone i skorygować, bo zawierają błędy wynikające z przyjętej dokładności obliczeń. Poprawione wartości podane są po prawej. Pierwsza wartość 10.417kNm jest taka sama, jak z przedziału α₁ i nie trzeba jej korygować. Wartość 0 przyjęto w przegubie. Wartość -20kNm została przyjęta z przekroju α₃ analizowanego poniżej, gdzie równanie momentów zginających jest dużo prostsze.

Wyznaczenie ekstremum momentu zginającego

＝

＝

T_α2((x)) ―――――1.25 kN x⋅ ⋅ ² − + m² ――――17.5 kN x⋅ ⋅

m 46.979 kN 0 a ―――≔1.25⋅kN

m² b −―――≔ 17.5⋅kN

m c 46.979≔ kN Δ≔b²−4 a c 71.355 ――⋅ ⋅ = kN² m²

≔

x₁ ―――−b− ‾‾Δ =

⋅

2 a 3.621 m x₂≔―――−b+ ‾‾Δ =

⋅

2 a 10.379 m

=

M_α2⎛⎝x1⎞⎠ 12.147 kN m⋅

- alternatywne obliczenia z prawej strony α₂ α₂ x' ((3 m ;7m))∈

―――q' ((x')) ＝

−

x' 2 m ――――――

10 ――kN m

((1.5 m 2.5 m))+ q' ((x'))≔―――⋅ 10 ――kN

m

4 m (( −x' 2m))

≔

q' ((x')) ――――2.5⋅kN⋅x'−

m² ―――5.0⋅kN

m q' ((2 m)) 0 ――= kN

m q' ((6 m)) 10 ――= kN m

≔ N_α2' 0

≔

T_α2'((x')) −R_C+―1⋅ ⋅

2 q' ((x')) (( −x' 2 m))

―――→

T_α2'((x'))

expand , float 4

, collect x'

+

− +

⋅

5.0 kN −14.27⋅kN ――――5.0 kN x'⋅ ⋅

m ―――――1.25 kN x'⋅ ⋅ ² m²

≔

T_α2'((x')) ―――――1.25⋅kN⋅x'² − − m² ――――5.0⋅kN⋅x'

m 9.27⋅kN

=

T_α2'((2 m)) −14.27kN T_α2'((3.5 m)) −11.458= kN T_α2'((6 m)) 5.73= kN

≔

M_α2'((x')) R_C⋅(( −x' 2 m))−―1⋅ ⋅ ⋅ − 2 q' ((x')) (( −x' 2m))² ―1

3 20 kN m⋅

―――→

M_α2'((x'))

expand simplify

, float 4

− +

+ +

+

⋅

⋅

−16.67 m kN −28.54 m⋅ ⋅kN −5.0 kN x'⋅ ⋅ 14.27⋅kN⋅x' ――――2.5 kN x'⋅ ⋅ ²

m ―――――0.4167 kN x'⋅ ⋅ ³ m²

...

≔

M_α2'((x')) −―――――0.4167⋅kN⋅x'³ + + − m² ――――2.5⋅kN⋅x'²

m 9.27⋅kN⋅x' 45.21 kN m⋅

=

M_α2'((2 m)) −20.004kN m⋅ M_α2'((2 m)) −20 kNm＝

=

M_α2'((3.5 m)) −0.006kN m⋅ M_α2'((3.5 m)) 0＝

=

M_α2'((6 m)) 10.403 kN m⋅ M_α2'((6 m)) 10.417 kNm＝

UWAGA: Obliczone wartości momentów zginających (podane po lewej) trzeba traktować jako przybliżone i skorygować, bo zawierają błędy wynikające z przyjętej dokładności obliczeń. Poprawione wartości podane są po prawej. Wartość -20kNm została przyjęta z przekroju α₃ analizowanego poniżej, gdzie równanie momentów zginających jest dużo prostsze. Podobnie watość 10.417kNm przyjęto z przedziału α₁. W obu tych punktach nie może występować skok na wykresie momentów (stąd odpowiedznie wartości z sąsiednich przedziałów muszą być równe), bo nie ma tam przyłożonych obciążeń w postaci momentów skupionych). Wartość 0 przyjęto w przegubie.

Wyznaczenie ekstremum momentu zginającego

＝

＝

T_α2'((x)) ―――――1.25 kN x'⋅ ⋅ ² − − m² ――――5.0 kN x'⋅ ⋅

m 9.27⋅kN 0

a ―――≔1.25⋅kN

m² b −―――≔ 5.0⋅kN

m c −9.27≔ kN Δ≔b²−4 a c 71.35 ――⋅ ⋅ = kN² m²

≔

x₁ ―――−b− ‾‾Δ =

⋅

2 a −1.379 m x₂≔―――−b+ ‾‾Δ =

⋅

2 a 5.379 m M_α2'⎛⎝x2⎞⎠ 12.135= kN m⋅ UWAGA: Wartość jest przybliżona i różni się nieco od obliczonej wcześniej oraz od pokazanej na wykresie z RM-Win.

- obliczenia z prawej strony α₃ α₃ x' ((0 m ;2m))∈

≔

N_α3' 0 T_α3'≔0 M_α3'≔−20 kN m⋅

Sprawdzenie warunków różniczkowych w przekroju α₂ (obliczenia od lewej strony)

≔

M_α2((x)) ―――――0.4167⋅kN⋅x³ − + − m² ―――――8.75⋅kN⋅x²

m 46.979 kN⋅x 63.021 kN m⋅

――d →

dx M_α2((x)) 46.979⋅kN−――――17.5 x kN⋅ ⋅ +

m ―――――1.2501 x⋅ ²⋅kN

m² ――d ＝

dx M_α2((x)) T_α2((x)) Pochodna równania momentu zginającego jest taka sama, jak równanie siły tnącej w tym przedziale. Drobne niedokładności wynikają z przyjętych przybliżeń.

≔

T_α2((x)) ―――――1.25⋅kN⋅x² − + m² ――――17.5⋅kN⋅x

m 46.979 kN

――d →

dx T_α2((x)) ――――2.5 x kN⋅ ⋅ −

m² ―――17.5 kN⋅

m ――d ＝

dx T_α2((x)) −q ((x))

Pochodna równania siły tnącej różni się tylko znakiem od równania obciążenia ciągłego w tym przedziale.

≔

q ((x)) −2.5 x ――kN +

m² 17.5 ――kN m

Sprawdzenie warunków różniczkowych w przekroju α_2' (obliczenia od prawej strony)

≔

M_α2'((x')) −―――――0.4167⋅kN⋅x'³ + + − m² ――――2.5⋅kN⋅x'²

m 9.27⋅kN⋅x' 45.21 kN m⋅

――d →

dx' M_α2'((x')) 9.27⋅kN+――――5.0 kN x'⋅ ⋅ −

m ―――――1.2501 kN x'⋅ ⋅ ²

m² ――d ＝

dx' M_α2'((x')) −T_α2'((x')) Pochodna równania momentu zginającego różni się tylko znakiem od równania siły tnącej w tym przedziale. Drobne niedokładności wynikają z przyjętych przybliżeń.

≔

T_α2'((x')) ―――――1.25⋅kN⋅x'² − − m² ――――5.0⋅kN⋅x'

m 9.27⋅kN

――d →

dx' T_α2'((x')) ――――2.5 kN x'⋅ ⋅ −

m² ―――5.0 kN⋅

m ――d ＝

dx' T_α2'((x')) −q' ((x'))

Pochodna równania siły tnącej zginającego jest taka sama, jak równanie obciążenia ciągłego w tym przedziale.

≔

q' ((x')) ――――2.5⋅kN⋅x'−

m² ―――5.0⋅kN m

UWAGA: Proszę zwrócić uwagę na różnice w znakach przy obliczeniach od strony lewej i prawej. Wynika to z różnych układów współrzędnych. Współrzędną x odmierzamy z lewej do prawej, a x' na odwrót.