Rozdział 4
Ciągi nieskończone
W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy matematycznej.
4.1 Ciągi nieskończone
Analogicznie jak ciągi skończone określamy ciągi nieskończone.
Definicja ciągu nieskończonego. Niech X będzie niepustym zbiorem.
Funkcję a : N → X nazywamy ciągiem nieskończonym lub ciągiem.
Parę uporządkowaną (n, a(n)), gdzie n ∈ N, nazywamy n–tym wyrazem ciągu, n – wskaźnikiem tego wyrazu, a(n) – wartością tego wyrazu. Piszemy an zamiast a(n).
Ciąg a : N → X zapisujemy również (a1, a2, ...) lub (an)∞n=1 lub (an)n∈N lub krótko (an), piszemy również an, n = 1, 2, ....
Jeśli wszystkie wartości ciągu (an)n∈N należą do R to ciąg ten nazywamy liczbowym.
Uwaga 4.1.1. Ciągi można określi˙c za pomocą wzoru, np.
an= 1
√5
"
1 +√ 5 2
!n
− 1 −√ 5 2
!n#
, n ∈ N.
Można ciąg określić indukcyjnie, np. a1 = 1, a2 = 1 oraz an = an−1+ an−2 dla n > 2.
Ciąg ten nazywamy ciągiem Fibonacci’ego (1).
Ciągi można określać przez podanie ”przepisu” wyliczania jego wyrazów, np. an jest sumą wszystkich liczb pierwszych mniejszych od n, gdzie przyjmujemy a1 = a2 = 0.
Uwaga 4.1.2.Ponieważ ciągi są funkcjami, więc wszystkie pojęcia dotyczące funkcji prze- noszą się na ciągi, w szczególności, pojęcie różnowartościowości ciągu i zbioru wartości.
Dla ciągów liczbowych mamy określone pojęcia ograniczoności ciągu, ograniczoności z góry i z dołu, kresu górnego i dolnego, najmniejszej i największej wartości, pojęcia sumy,
1Przyjmując X = R2, x = (1, 1) oraz f : X × N → X określone wzorem f (x, y, n) = (x + y, x) dostajemy ciąg ϕn = (an, bn), n ∈ N określony indukcyjnie przez x i f . Wówczas (an) jest szukanym ciągiem.
61
różnicy, iloczynu, ilorazu ciągów, iloczynu ciągu przez liczbę. Mamy również określone pojęcie monotoniczności ciągu w szczególności pojęcia ciągu ściśle rosnącego, rosnącego, malejącego, ściśle malejącego.
Łatwo przez indukcję skończoną pokazujemy
Własność 4.1.3. Niech (an) będzie nieskończonym ciągiem liczbowym.
(a) Ciąg (an) jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego n ∈ N zachodzi an6 an+1. (b) Ciąg (an) jest ściśle rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego n ∈ N zachodzi an< an+1. (c) Ciąg (an) jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego n ∈ N zachodzi an> an+1. (d) Ciąg (an) jest ściśle malejący wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego n ∈ N zachodzi an> an+1.
Uwaga 4.1.4. Będziemy mówić, że prawie wszystkie wyrazy ciągu mają określoną wła- sność, gdy własność tę mają wszystkie wyrazy ciągu z wyjątkiem skończonej ich ilości.
Mówimy, że dla dostatecznie dużych liczb naturalnych zachodzi określona własność, gdy istnieje N ∈ R, że własność ta zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych większych od N .
W szczególności: prawie wszystkie wyrazy ciągu mają określoną własność wtedy i tylko wtedy, gdy mają tę własność dla dostatecznie dużych wskaźników.
Na przykład ciąg an = n ma prawie wszystkie wyrazy większe od 2 i dla dostatecznie dużych wskaźników, jego wartości są większe od 2. Nie można tego samego powiedzieć o ciągu an = (−1)nn. Ten ostatni ciąg ma nieskończenie wiele wyrazów dodatnich i nieskończenie wiele wyrazów ujemnych.
4.2 Granica ciągu
Definicja granicy ciągu. Niech (an)n∈N będzie ciągiem liczbowym nieskończonym oraz g ∈ R. Mówimy, że liczba g jest granicą tego ciągu, gdy dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ R takie, że dla każdego n ∈ N spełniającego warunek n > N zachodzi |an− g| < ε. Fakt ten zapisujemy lim
n→∞an = g lub limn→∞an= g lub an −→
n→∞g lub an → g.
Ciąg (an)n∈N nazywamy zbieżnym do g, gdy ma granicę równą g. Ciąg nazywamy zbieżnym, gdy ma granicę, w przeciwnym przypadku ciąg nazywamy rozbieżnym.
Uwaga 4.2.1. Niech (an)n∈N będzie ciągiem liczbowym, g ∈ R. Wówczas limn→∞ an = g wtedy i tylko wtedy, gdy
∀ε>0∃N ∈R∀n∈N, n>N |an− g| < ε.
Ponadto w definicji granicy ciągu można zmieniać ”dla każdego N ∈ R” na ”dla każ- dego N należącego do zbioru nieograniczonego z góry” oraz nierówności ostre ”<”, ”>”
4.2. GRANICA CIĄGU 63 odpowiednio na nierówności nieostre ”6”, ”>” z wyjątkiem jednej nierówności ”ε > 0”
i uzyskany warunek będzie równoważny definicji. W szczególności definicja granicy ciągu jest równoważna następującej:
∀ε>0∃N ∈N∀n∈N, n>N |an− g| 6 ε.
Uwaga 4.2.2. Bezpośrednio z definicji granicy ciągu dostajemy, że jeśli (an)n∈N jest cią- giem liczbowymi oraz a ∈ R, to
(a) lim
n→∞an= a wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞(an− a) = 0.
(b) lim
n→∞an= 0 wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞|an| = 0.
Własność 4.2.3. Niech (an)n∈N, (bn)n∈N będą nieskończonymi ciągami liczbowymi zbież- nymi odpowiednio do a, b ∈ R. Wówczas dla każdego ε > 0 istnieje N ∈ N takie, że dla każdego n ∈ N, n > N zachodzi |an− a| < ε oraz |bn− b| < ε.
Dowód. Istotnie, wobec uwagu 4.2.1 dla ustalonego ε > 0 istnieją N1, N2 ∈ N takie, że dla n > N1 mamy |an − a| < ε oraz dla n > N2 mamy |bn − b| < ε. Zatem bioręc N = max{N1, N2} dla n > N mamy |an− a| < ε oraz |bn− b| < ε. To daje tezę.
Podamy teraz podstawowe własności ciągów zbieżnych.
Własność 4.2.4. Niech (an)n∈N, (bn)n∈N będą ciągami liczbowymi oraz a, b ∈ R.
(a) Jeśli lim
n→∞an= a i lim
n→∞an = b, to a = b.
(b) Jeśli lim
n→∞an= a, lim
n→∞bn = b oraz an 6 bn dla prawie wszystkich n ∈ N, to a 6 b.
(c) Jeśli an = bn dla prawie wszystkich n ∈ N, to
n→∞lim an= a wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞bn = a.
(d) Jeśli istnieje k ∈ N takie, ze an = bn+k dla prawie wszystkich n ∈ N, to
n→∞lim an= a wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞bn = a.
Dowód. Ad. (a) Wystarczy pokazać, że dla każdego η > 0 mamy |a − b| < η (2).
Weźmy dowolne η > 0. Niech ε = η/2. Z założenia i własności 4.2.3, istnieje N1 ∈ R takie, że dla n ∈ N, n > N1 zachodzi |an− a| < ε oraz |an− b| < ε, więc mamy (a), gdyż
|a − b| = |(a − an) − (b − an)|6 |an− a| + |an− b| < ε + ε = η.
Ad. (b) Ponieważ dla prawie każdego n ∈ N zachodzi an 6 bn, więc istnieje N2 ∈ N takie, że dla n ∈ N, n > N2 zachodzi an 6 bn.
Wystarczy pokazać, że dla każdego η > 0 zachodzi a − b < η. Weźmy dowolne η > 0.
Niech ε = η/2. Wówczas istnieje N3 ∈ R takie, że dla n ∈ N, n > N3 zachodzi |an− a| < ε
2Wtedy |a − b| jest ograniczeniem dolnym zbioru R+, więc musi być |a − b|6 0. Ponieważ |a − b| > 0, więc |a − b| = 0.
oraz |bn− b| < ε. W szczególności dla n > max{N2, N3} mamy 0 6 bn− an oraz a − an< ε i bn− b < ε. Stąd wynika (b), gdyż z powyższego mamy
a − b 6 (a − b) + (bn− an) = (a − an) + (bn− b) < ε + ε = η.
Ad. (c) Ze względu na symetrię warunków, wystarczy udowodnić, że ze zbieżności
n→∞lim an= a wynika zbieżność lim
n→∞bn = a.
Podobnie jak w dowodzie punktu (b) istnieje N4 ∈ N takie, że dla n > N4 zachodzi an= bn. Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas istnieje N5 ∈ R, że dla n ∈ N takich, że n > N5
zachodzi |an− a| < ε. W szczególności dla n > max{N4, N5} mamy |bn− a| = |an− a| < ε.
To, wobec dowolności ε > 0 oznacza, że lim
n→∞bn= a i daje (c).
Ad. (d) Załóżmy, że lim
n→∞an = a. Weźmy dowolne ε > 0 i niech N6 ∈ R będzie takie, że dla n ∈ N, n > N6 zachodzi |an− a| < ε. Ponieważ dla n > N6+ k mamy n − k > N6, więc |bn− a| = |an−k − a| < ε. To daje, że lim
n→∞bn= a.
Załóżmy, że lim
n→∞ bn = a. Weźmy dowolne ε > 0 oraz N7 ∈ R takie, że dla n ∈ N, n > N7 mamy |bn− a| < ε. Wówczas dla n ∈ N, n > N7 mamy n + k ∈ N i n + k > N7, więc |an− a| = |bn+k − a| < ε. To daje, że lim
n→∞an = a i kończy dowód. Zmiana kolejności wyrazów ciągu nie wpływa na istnienie granicy, świadczy o tym Własność 4.2.5. Niech (an)n∈N będzie ciągiem liczbowymi, niech a ∈ R oraz niech f : N → N będzie bijekcją. Wówczas
n→∞lim an= a wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞af (n) = a.
Dowód. Ponieważ f−1 : N → N również jest bijekcją, więc wystarczy udowodnić, że ze zbieżności lim
n→∞an = a wynika zbieżność lim
n→∞af (n)= a.
Załóżmy, że lim
n→∞an = a. Weźmy dowolne ε > 0. Wtedy istnieje N ∈ N, że dla n ∈ N, n > N zachodzi |an − a| < ε. Inaczej, dla każdego n ∈ N \ FN zachodzi |an − a| < ε.
Niech A = f−1(FN). Zbiór A jest skończony i niepusty, więc posiada maksimum (patrz twierdzenie 2.6.4). Oznaczmy N1 = max A. Wtedy dla n ∈ N, n > N1 mamy f (n) ∈ N \ FN, zatem |af (n)− a| < ε. To daje, że lim
n→∞af (n)= a i kończy dowód. Twierdzenie 4.2.6. (o trzech ciągach). Niech (an)n∈N, (bn)n∈N, (cn)n∈N będą ciągami liczbowymi takimi, że
an6 bn6 cn dla prawie wszystkich n ∈ N.
Jeśli g ∈ R oraz limn→∞an= g i lim
n→∞cn = g, to lim
n→∞bn= g.
Dowód. Z założenia, że an6 bn6 cn dla prawie wszystkich n ∈ N wynika, że istnieje N1 ∈ R, że dla n > N1 zachodzi an 6 bn 6 cn. Weźmy dowolne ε > 0. Z definicji granicy ciągu istnieje N2 ∈ R, że dla n > N2 zachodzi |an− g| < ε oraz |cn− g| < ε. Zatem dla n > max{N1, N2} mamy −ε < an− g oraz cn− g < ε, więc
−ε < an− g 6 bn− g 6 cn− g < ε.
To daje |bn− g| < ε. Reasumując lim
n→∞bn= g.
4.2. GRANICA CIĄGU 65 Własność 4.2.7. Każdy ciąg liczbowy zbieżny jest ograniczony.
Dowód. Niech (an)n∈N będzie ciągiem liczbowym zbieżnym do a ∈ R. Wtedy istnieje N ∈ N, że dla n ∈ N, n > N zachodzi |an−a| < 1, w szczególności a−1 6 an6 a+1. Zbiór {an: n ∈ N, n 6 N } jest skończony i niepusty, więc ma minimum i maksimum. Oznaczmy minimum tego zbioru przez m1 a maksimum przez M1. Kładąc m = min{m1, a − 1}
oraz M = max{M1, a + 1} dostajemy, że m jest ograniczeniem dolnym oraz M jest ograniczeniem górnym zbioru wartości ciągu (an)n∈N.
Twierdzenie 4.2.8. Każdy ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Dowód. Niech (an)n∈N będzie ciągiem monotonicznym i ograniczonym. Rozważmy przypadek, gdy ciąg ten jest rosnący. W przypadku, gdy ciąg jest malejący, rozumowanie jest analogiczne. Z założenia mamy, że zbiór A = {an : n ∈ N} jest ograniczony i oczywi- ście jest niepusty. Zatem istnieje a = sup A ∈ R. Pokażemy, że limn→∞an = a. Istotnie, weź- my dowolne ε > 0. Ponieważ a−ε < a, więc z definicji sup A istnieje ak ∈ A, że ak > a−ε.
Zatem, z monotoniczności ciągu (an)n∈N, dla n > k mamy a − ε < ak 6 an6 a < a + ε, czyli |an− a| < ε. To daje, że lim
n→∞an = a i kończy dowód.
Twierdzenie 4.2.9. (o działaniach na granicach ciągów). Niech (an)n∈N, (bn)n∈N będą ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz niech lim
n→∞ an = a, lim
n→∞ bn = b, gdzie a, b ∈ R.
Wówczas:
(a) lim
n→∞(an+ bn) = a + b.
(b) lim
n→∞(an− bn) = a − b.
(c) Jeśli c ∈ R, to limn→∞ (can) = ca.
(d) lim
n→∞(anbn) = ab.
(e) Jeśli b 6= 0 oraz bn6= 0 dla n ∈ N, to limn→∞(abn
n) = ab. Dowód. Z założenia, że lim
n→∞ an = a, lim
n→∞ bn = b oraz własności 4.2.3, dla każdego η > 0 istnieje N (η) ∈ N takie, że
(4.1) dla n ∈ N takich, że n > N (η) zachodzi |an− a| < η oraz |bn− b| < η.
Ad. (a) i (b) Weźmy dowolne ε > 0. Z (4.1) dla n ∈ N, n > N (ε2) mamy
|(an+ bn) − (a + b)|6 |an− a| + |bn− b| < ε 2 +ε
2 = ε,
co daje (a). Ponadto |(an− bn) − (a − b)|6 |an− a| + |bn− b| < ε2 + ε2 = ε, co daje (b).
Ad. (c) Jeśli c = 0, to punkt (c) jest oczywisty. Załóżmy, że c 6= 0. Weźmy dowolne ε > 0. Z (4.1), dla n > N (|c|ε) mamy |can− ca| = |c||an− a| < |c||c|ε = ε. To daje (c).
Ad. (d) Weźmy dowolne ε > 0. Niech, w myśl własności 4.2.7, M > 0 będzie takie, że |bn| < M dla wszystkich n ∈ N. Wtedy, z własności 4.2.4(b) dostajemy, że |b| 6 M.
Zwiększając ewentualnie M można założyć, że |a| < M . Wówczas, z (4.1) dla n > N (2Mε ),
|anbn− ab| = |(anbn− abn) + (abn− ab)| 6 |an− a||bn| + |bn− b||a| < ε
2MM + ε
2MM = ε.
To daje (d).
Ad. (e) W myśl udowodnionej części (d), wystarczy pokazać, że lim
n→∞
1
bn = 1b. Ponieważ
n→∞lim bn = b oraz |b| > 0, więc z (4.1) dla n ∈ N, n > N (|b|2) mamy |b − bn| < |b|2 , zatem
|b| − |bn| 6 |b − bn| < |b|2 , czyli |bn| > |b|2. W konsekwencji
(4.2) 1
|bn| < 2
|b| dla n > N |b|
2
!
.
Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas dla n ∈ N, n > N (ε|b|22) mamy |bn− b| < ε|b|22, więc z (4.2) dla n > max{N (ε|b|22), N (|b|2)},
1 bn −1
b
= |bn− b|
|bn||b| < ε|b|2 2
2
|b|2 = ε.
To daje (e) i kończy dowód.
Własność 4.2.10. Jeśli (an)n∈N jest ciągiem ograniczonym oraz (bn)n∈N – ciągiem zbież- nym do zera, to (anbn)n∈N jest ciągiem zbieżnym do zera.
Dowód. Z założenia i uwagi 4.2.2 mamy lim
n→∞|bn| = 0. Ponieważ (an)n∈N jest ciągiem ograniczonym, więc istnieje M > 0 takie, że |an| < M dla n ∈ N. Stąd, −M|bn| 6 anbn6 M |bn|, zarem z twierdzenia o trzech ciągach 4.2.6 dostajemy tezę. Własność 4.2.11. Niech (an)n∈N będzie ciągiem liczbowym zbieżnym do a ∈ R. Wówczas
n→∞lim |an| = |a|.
Dowód. Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas istnieje N ∈ R takie, że dla n > N zachodzi
|an− a| < ε. Ponieważ ||an| − |a|| 6 |an− a|, więc dla n > N mamy ||an| − |a|| < ε. To,
wobec definicji granicy ciągu, daje tezę.
Wniosek 4.2.12. Jeśli lim
n→∞an = a, lim
n→∞ bn= b, gdzie a, b ∈ R, to
n→∞lim max{an, bn} = max{a, b}, lim
n→∞min{an, bn} = min{a, b}.
Dowód. Z własnści 2.2.3 mamy max{an, bn} = an+ bn
2 + |an− bn|
2 oraz min{an, bn} = an+ bn
2 −|an− bn|
2 ,
więc z własności 4.2.11 dostajemy tezę.
4.3. GRANICA CIĄGU POTĘG 67
4.3 Granica ciągu potęg
Lemat 4.3.1. (a) Jeśli α ∈ R, α > 0, to limn→∞1/nα = 0.
(b) lim
n→∞
√n
n = 1.
(c) Jeśli a > 0, to lim
n→∞
√n
a = 1.
Dowód. Ad. (a) Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas z zasady Archimedesa istnieje N ∈ N takie, że N > (1/ε)1/α Ponieważ α > 0, więc z twierdzenia 3.5.5(d), dla n > N mamy
1 nα − 0
=
1 n
α
<
1 N
α
= 1 Nα 6 ε.
Stąd dostajemy (a).
Ad. (b) Dla n> 2 mamy, hn2i∈ N, gdzie [x] oznacza całość z x. Ponieważ n > 1, więc
√n
n − 1 > 0. Zatem dla n > 2, z nierówności Bernoulliego, mamy
√n = (√n
n)n2 > (√n n)[n2]
= (1 + (√n
n − 1))[n2]
> 1 +hn2i(√n n − 1)
> 1 +n2 − 1(√n
n − 1) . W konsekwencji dla n > 2,
(4.3) 16 √n
n 6 1 + 2
√n − 1 n − 2 . W myśl cząści (a) i twierdzenia 4.2.9,
n→∞lim 2
√n − 1 n − 2 = lim
n→∞2 1
√n
1 − √1n 1 −n2 = 0.
Stąd i z twierdzenia o trzech ciągach (twierdzenie 4.2.6), wobec (4.3) mamy lim
n→∞
√n
n = 1.
Ad. (c) Jeśli a > 1, to z wniosku 3.3.6 dla n > a mamy 1 6 √n
a < √n
n, więc z twierdzenia o trzech ciągach i części (b) dostajemy lim
n→∞
√n
a = 1.
Jeśli a = 1, to teza jest oczywista.
Jeśli 0 < a < 1, to 1/a > 1, więc z wczaśniejszego przypadku mamy
n→∞lim
√n
a = lim
n→∞
1
qn
1/a = 1 1 = 1.
To daje (c) w tym przypadku i kończy dowód.
Wniosek 4.3.2. Jeśli a, b ∈ R, a > 0 oraz (bn)n∈N jest ciągiem zbieżnym do b, to
n→∞lim abn = ab.
Dowód. Pokażemy najpierw, że
(4.4) lim
n→∞abn−b = 1.
Rozważmy przypadek a > 1. Weźmy dowolne ε > 0. Ponieważ, w myś lematu 4.3.1(c) mamy lim
n→∞
√n
a = 1, więc lim
n→∞1/√n
a = 1, zatem istnieje k ∈ N takie, że (4.5) 0 < a1/k− 1 < ε oraz 0 < 1 − a−1/k < ε.
Z założenia lim
n→∞ bn = b dostajemy, że istnieje N ∈ N takie, że dla n ∈ N, n > N mamy
|bn− b| < 1/k. Weźmy dowolne n > N . Jeśli bn− b > 0, to bn− b < 1/k i ponieważ a > 1, więc z (4.5) i twierdzenia 3.5.5(c) mamy
|abn−b− 1| = abn−b− 1 < a1/k− 1 < ε.
Jeśli bn− b < 0, to −1/k < bn− b. Ponieważ a > 1, więc a−1/k < abn−b, zatem z (4.5),
|abn−b− 1| = 1 − abn−b < 1 − a−1/k < ε.
W konsekwencji |abn−b− 1| < ε dla n > N . To daje (4.4) w przypadku, gdy a > 1.
W przypadku a = 1 równość (4.4) jest oczywista.
W przypadku 0 < a < 1 mamy 1/a > 1, więc z wcześniejszego przypadku
n→∞lim abn−b = lim
n→∞
1
(1/a)bn−b = 1.
Reasumuj¸ac mamy (4.4).
Z (4.4) i twierdzenia 4.2.9(d) dostajemy
n→∞lim abn = lim
n→∞ababn−b = ab.
To daje tezę i kończy dowód.
Twierdzenie 4.3.3. Niech a, b ∈ R, a, b > 0 oraz a 6= 1. Jeśli (bn)n∈N jest ciągiem takim, że bn> 0 dla n ∈ N oraz limn→∞bn = b, to
n→∞lim logabn = logab.
Dowód. Rozważmy najpierw przypadek a > 1. Oznaczmy cn = logabn, n ∈ N oraz c = logab. Przypuśćmy przeciwnie, że c nie jest granicą ciągu cn. Wówczas istnieje ε0 > 0 takie, że dla każdego N ∈ R istnieje nN ∈ N, nN > N , że |cnN−c| > ε0. Ponieważ bn= acn oraz b = ac, więc
|bnN − b| = |acnN − ac| = |ac||acnN−c− 1|.
Wówczas
|bnN − b| > ac(aε0 − 1) > 0, gdy cnN − c > ε0
oraz
|bnN − b| > ac(1 − a−ε0) > 0, gdy cnN − c 6 −ε0.
4.4. GRANICE NIEWŁAŚCIWE CIĄGU 69 W konsekwencji bior¸ac ε = min{ac(aε0 − 1), ac(1 − a−ε0)}, dla każdego N ∈ R istnieje n ∈ N, n > N, że |bn− b| > ε. To jest sprzeczne z założeniem limn→∞ bn = b. Otrzymana sprzeczność daje tezę w tym przypadku.
Jeśli 0 < a < 1, to 1/a > 1 oraz z własności 3.6.3(d) mamy logabn = − log1/abn, więc
z pierwszej cząści dowodu mamy tezę.
Twierdzenie 4.3.4. Niech (an)n∈N, (bn)n∈Nbędą ciągami liczbowymi zbieżnymi oraz niech
n→∞lim an= a, lim
n→∞bn = b, gdzie a, b ∈ R.
(a) Jeśli a > 0 oraz an > 0 dla n ∈ N, to limn→∞abnn = ab. (b) Jeśli a = 0, b > 0 oraz an> 0 dla n ∈ N, to limn→∞abnn = 0.
Dowód. Ad. (a) Niech d ∈ R będzie takie, że d > 0, d 6= 1. Wtedy abnn = dbnlogdan oraz ab = db logdb, więc teza wynika z twierdzeń 4.3.3, 4.2.9(d) i wniosku 4.3.2.
Ad. (b) Ponieważ (bn) jest ciągiem zbieżnym do b > 0, zaś (an) jest zbieżny do 0, więc istnieje N ∈ R takie, że
bn > b/2 i 0 < an< 1 dla n > N.
Stąd mamy
(4.6) 0 < abnn < (an)b/2 dla n > N.
Weźmy dowolne ε > 0. Z lematu 4.3.1(a) mamy lim
n→∞ (1/n)b/2 = lim
n→∞ 1/nb/2 = 0, więc istnieje k ∈ N takie, że 0 < (1/k)b/2 < ε. Ponieważ lim
n→∞ an = 0, więc istnieje N1 ∈ R takie, że an< 1/k dla n > N1. Wówczas z (4.6) dla n > max{N, N1} mamy
0 < abnn < (1/k)b/2 < ε.
To daje tezę.
4.4 Granice niewłaściwe ciągu
Definicja granicy niewłaściwej ciągu. Niech (an)n∈N będzie ciągiem liczbowym.
Mówimy, że ciąg (an)n∈N ma granicę niewłaściwą +∞ lub dąży do +∞, gdy dla każdego A ∈ R istnieje N ∈ R, że dla każdego n > N zachodzi an > A. Fakt ten zapisujemy
n→∞lim an= +∞ lub limn→∞an = +∞ lub an −→
n→∞+∞ lub an→ +∞.
Mówimy, że ciąg (an)n∈N ma granicę niewłaściwą −∞ lub dąży do −∞, gdy dla każ- dego A ∈ R istnieje N ∈ R, że dla każdego n > N zachodzi an< A. Fakt ten zapisujemy
n→∞lim an= +∞ lub limn→∞an = −∞ lub an −→
n→∞−∞ lub an → −∞.
Uwaga 4.4.1. Niech (an)n∈N będzie ciągiem liczbowym. Wówczas lim
n→∞an = +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy
∀A∈R∃N ∈R∀n∈N, n>N an> A.
Z definicji granicy niewłaściwej ciągu dostajemy, że powyższy warunek jest równoważny następującemu:
∀A>0∃N ∈N∀n∈N, n>N an > A.
Ponadto w tej definicji granicy można zmieniać ”dla każdego N ∈ R” na ”dla każdego N należącego do zbioru nieograniczonego z góry” oraz nierówności ostre ”>” odpowiednio na nierówności nieostre, ”>” i uzyskany warunek będzie równoważny definicji dążenia ciągu do +∞.
Analogicznie mamy lim
n→∞an= −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy
∀A∈R∃N ∈R∀n∈N, n>N an< A.
Z definicji granicy niewłaściwej ciągu dostajemy, że powyższy warunek jest równoważny następującemu:
∀A<0∃N ∈N∀n∈N, n>N an < A.
Ponadto w tej definicji granicy można zmieniać ”dla każdego N ∈ R” na ”dla każdego N należącego do zbioru nieograniczonego z dołu” oraz nierówności ostre ”>”, ”<” odpowied- nio na nierówności nieostre, ”>”, ”6” i uzyskany warunek będzie równoważny definicji dążenia ciągu do −∞.
Dowód poniższego odpowiednika własności 4.2.4 dla granic niewłaściwych pozostawia- my czytelnikowi.
Własność 4.4.2. Niech (an)n∈N, (bn)n∈N będą ciągami liczbowymi oraz a ∈ R.
(a) Jeśli lim
n→∞an= a i lim
n→∞an = +∞, to a = +∞.
(a0) Jeśli lim
n→∞ an= a i lim
n→∞an = −∞, to a = −∞.
(b) Jeśli an = bn dla prawie wszystkich n ∈ N, to
n→∞lim an= +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞bn = +∞.
(b0) Jeśli an= bn dla prawie wszystkich n ∈ N, to
n→∞lim an= −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞bn = −∞.
(c) Jeśli istnieje k ∈ N takie, ze an = bn+k dla prawie wszystkich n ∈ N, to
n→∞lim an= +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞bn = +∞.
(c0) Jeśli istnieje k ∈ N takie, ze an = bn+k dla prawie wszystkich n ∈ N, to
n→∞lim an= −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞bn = −∞.
Podobnie jak własność 4.2.5 dowodzimy
4.4. GRANICE NIEWŁAŚCIWE CIĄGU 71 Własność 4.4.3. Niech (an)n∈N będzie ciągiem liczbowymi oraz niech f : N → N będzie bijekcją. Wówczas
(a) lim
n→∞an = +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞ af (n) = +∞.
(b) lim
n→∞an= −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞af (n) = −∞.
Zachodzi odpowiednik twierdzenia o trzech ciągach (twierdzenie 4.2.6).
Własność 4.4.4. Niech (an)n∈N, (bn)n∈N będą ciągami liczbowymi takimi, że an6 bn dla prawie wszystkich n ∈ N.
(a) Jeśli lim
n→∞an= +∞, to lim
n→∞bn= +∞.
(b) Jeśli lim
n→∞bn= −∞, to lim
n→∞ an= −∞.
Bezpośrednio z definicji granicy niewłaściwej dostajemy następujące własności granicy niewłaściwej.
Własność 4.4.5. Niech (an)n∈N, (bn)n∈N będą ciągami liczbowymi.
(a) Wówczas lim
n→∞ an= +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞(−an) = −∞.
(b) Jeśli an > 0 i lim
n→∞an= 0, to lim
n→∞
1
an = +∞.
(c) Jeśli an < 0 i lim
n→∞an= 0, to lim
n→∞
1
an = −∞.
(d) Jeśli lim
n→∞an= +∞ i lim
n→∞bn= +∞, to lim
n→∞(an+ bn) = +∞.
(e) Jeśli lim
n→∞an= −∞ i lim
n→∞ bn= −∞, to lim
n→∞(an+ bn) = −∞.
(f) Jeśli ciąg (an)n∈N jest ograniczony i lim
n→∞bn= +∞, to
n→∞lim (an+ bn) = +∞, lim
n→∞(an− bn) = −∞, lim
n→∞
an bn = 0.
(g) Jeśli lim
n→∞an= a, a ∈ R, a > 0 i limn→∞bn = +∞, to lim
n→∞(anbn) = +∞.
Udowodnimy teraz
Twierdzenie 4.4.6. Niech a ∈ R, a > 0, gdzie a 6= 1 oraz niech (bn)n∈N będzie ciągiem takim, że bn> 0 dla n ∈ N.
(a) Jeśli a > 1 i lim
n→∞bn = +∞, to lim
n→∞logabn = +∞.
(b) Jeśli a < 1 i lim
n→∞bn = +∞, to lim
n→∞logabn = −∞.
(c) Jeśli a > 1 i lim
n→∞bn = 0, to lim
n→∞logabn= −∞.
(d) Jeśli a < 1 i lim
n→∞bn = 0, to lim
n→∞logabn= +∞.
Dowód. Ad. (a) Przypuśćmy przeciwnie, że istnieje A ∈ R takie, że dla każdego N ∈ R istnieje nN ∈ N, nN > N , że logabnN 6 A. Stąd i z równości A = logaaA, mamy bnN 6 aA dla każdego N . Z założenia lim
n→∞ bn = +∞, więc istnieje N ∈ R takie, że dla każdego n > N zachodzi bn > aA. W szczególności nN > N , więc bnN 6 aA< bnN, co jest niemożliwe. Otrzymana sprzeczność daje (a).
Ad. (b) Ponieważ 0 < a < 1, więc 1/a > 1, zatem z części (a), lim
n→∞ log1/abn = +∞.
Z własności 3.6.3(d), logabn = − log1/abn, więc z własności 4.4.5(a) dostajemy (b).
Ad. (c) i (d) Z własności 3.6.3(b) mamy logabn= − loga(1/bn), więc z części (a) i (b)
oraz własności 4.4.5(a),(b) dostajemy tezę.
Twierdzenie 4.4.7. Niech (an)n∈N, (bn)n∈N będą ciągami liczbowymi, an> 0 dla n ∈ N.
(a) Jeśli lim
n→∞an= a, a > 1 oraz lim
n→∞bn= +∞, to lim
n→∞abnn = +∞.
(b) Jeśli lim
n→∞an= a, a < 1 oraz lim
n→∞bn= +∞, to lim
n→∞abnn = 0.
Dowód. Ad. (a) Niech b ∈ R, 1 < b < a. Weźmy dowolne A ∈ R. Wówczas z zasady Archimedesa dla potęgowania, istnieje k ∈ R takie, że bk > A. Ponieważ lim
n→∞ an = a i lim
n→∞ bn = +∞, więc istnieje N ∈ R, że dla n > N zachodzi an > b i bn > k. W konsekwencji z twierdzenia 3.5.5(c) i (d) dla n > N mamy
abnn > bbn > bk > A.
To daje (a).
Ad. (b) Ponieważ 0 < a < 1, więc 1/a > 1. Z drugiej strony abnn = 1/(1/an)bn. To, w
myśl części (a) i własności 4.4.5(f), daje tezę.
Uwaga 4.4.8. Niech (an)n∈N będzie ciągiem liczbowym i g ∈ R. Wówczas z definicji granicy (właściwej i niewłaściwej) ciągu dostajemy, że g = lim
n→∞ an wtedy i tylko wtedy, gdy
(∀A>g ∃N ∈R ∀n>N an< A) ∧ (∀B<g ∃N ∈R ∀n>N an> B) .
Twierdzenie 4.4.9. (Stolza). Niech (an)n∈N, (bn)n∈N będą ciągami liczbowymi. Jeśli
n→∞lim bn = +∞ i istnieje k ∈ N, że ciąg (bn)∞n=k jest ściśle rosnący, to
(4.7) lim
n→∞
an bn
= lim
n→∞
an− an−1 bn− bn−1
,
jeśli tylko istnieje granica po prawej stronie (skończona lub nieskończona).
Dowód. Niech
g = lim
n→∞
an− an−1 bn− bn−1.
Rozważmy najpierw przypadek, gdy g ∈ R. Weźmy dowolne ε > 0. Wówczas istnieje N , że
l − ε
2 < an− an−1
bn− bn−1 < l + ε
2 dla n > N.
4.4. GRANICE NIEWŁAŚCIWE CIĄGU 73 Można założyć, że N > k i wtedy bn− bn−1 > 0 dla n > N . Wówczas z powyższego,
g − ε
2 < (an− an−1) + · · · + (aN +1− aN)
(bn− bn−1) + · · · + (bN +1− bN) < g + ε
2 dla n > N, a więc dla n > N mamy
g − ε
2 < an− aN
bn− bN < g + ε 2, czyli
(4.8)
an− aN bn− bN − g
< ε
2.
Można założy, że bn> 0 dla n > N . Łatwo sprawdzamy, że
(4.9) an
bn − g = aN − gbN
bn + 1 − bN bn
!an− aN bn− bN − g
, a więc
an bn − g
6
aN − gbN bn
+
1 − bN bn
an− aN bn− bN − g
. Dla n > N mamy 0 < bN < bn, więc |1 − bbN
n| < 1. Ponieważ lim
n→∞
aN−gbN
bn = 0, więc istnieje N0 > N , że
aN − gbN bn
< ε
2 dla n > N0. Reasumując z (4.9) i (4.8) dla n > N0 mamy
an bn − g
< ε 2+ ε
2 = ε, co dowodzi (4.7) w rozważanym przypadku.
Załóżmy teraz, że g = +∞. Wówczas istnieje s ∈ N, że dla n > s mamy an− an−1 >
bn− bn−1 > 0, a więc (an)∞n=s jest ciągiem ściśle rosnącym i lim
n→∞ an = +∞. Można więc zastosować (4.7) w udowodnionym przypadku do ciągu (ban
n)n∈N,
n→∞lim bn an = lim
n→∞
bn− bn−1 an− an−1 = 0.
Stąd, ponieważ dla dostatecznie dużych n mamy ban
n > 0, więc lim
n→∞
an
bn = +∞.
Rozważmy na koniec przypadek g = −∞. Biorąc ˜an = −an dla n ∈ N, dostajemy
n→∞lim
˜
an− ˜an−1
bn− bn−1 = +∞
i z poprzedniego przypadku, lim
n→∞
˜ an
bn = +∞. To daje lim
n→∞
an
bn = −∞ i kończy dowód.
