1. Obliczy´ c ca lk e krzywoliniow , a na p laszczy´ , znie OXY po krzywej L:

Lista nr 8 I´ S, sem.II, studia stacjonarne, 2014/15

Ca lka krzywoliniowa nieskierowana

1. Obliczy´ c ca lk e krzywoliniow _, a na p laszczy´ _, znie OXY po krzywej L:

a) Z

L

6y

x dl, gdzie L : y = 1

2 x ² , 0 ≤ x ≤ 1;

b) Z

L

2y cos(x) dl, gdzie L : y = sin(x), 0 ≤ x ≤ π/2;

c) Z

L

y ² √

1 + x dl, gdzie L : y = 2 3 x √

x, 0 ≤ x ≤ 3;

d) Z

L

x dl, gdzie L : y = p

1 − x ² , 0 ≤ x ≤ 1;

e) Z

L

|x + y| dl, gdzie L : y = |x|, −1 ≤ x ≤ 1;

f) Z

L

r 1 + 9

4 x dl, gdzie L : y = x √

x, 0 ≤ x ≤ 4;

g) Z

L

e

√

x

+y

dl, gdzie L : y = p

1 − x ² , 0 ≤ x ≤ 1.

2. Obliczy´ c ca lk e krzywoliniow _, a na p laszczy´ _, znie OXY lub w przestrzeni OXY Z po krzywej L danej w postaci parametrycznej:

a) Z

L

xy dl, gdzie L : x = a ch(t), y = a sh(t), 0 ≤ t ≤ 1;

b) Z

L

(x ² + y ² + z ² ) dl, gdzie L : x = a cos(t), y = a sin(t), z = bt, 0 ≤ t ≤ 2π;

c) Z

L

xz

1 + 2y dl, gdzie L : x = t, y = t ² , z = 2

3 t ³ , 0 ≤ t ≤ 1;

d) Z

L

z dl, gdzie L : x = 3 cos(t), y = 3 sin(t), z = 4t, 0 ≤ t ≤ 2π.

3. Obliczy´ c ca lk e krzywoliniow _, a _, Z

L

(x + y) dl, gdzie L jest brzegiem tr´ ojk ata o wierzcho lkach A(0, −1), B(2, 0), C(0, 2). _,

4. Obliczy´ c ca lk¸ e Z

L

xydl, je˙zeli L jest brzegiem kwadratu |x| + |y| = 1.

5. Obliczy´ c ca lk¸ e Z

L

dl

p 4 − x ² − y ² , gdzie L jest odcinkiem l¸ acz¸ acym punkty A(0, 0) i B(1, 2).