Symetrie i prawa zachowania Wykład 6 Karol Kołodziej

(1)

Karol Kołodziej Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski, Katowice

http://kk.us.edu.pl

(2)

Największym problem przy badaniu układów mechanicznych nie jest napisanie równań ruchu, ale ich scałkowanie.

Wielkości zachowane występujące w danym układzie pozwalają ograniczyć liczbę niezbędnych całkowań i dostarczają istotnych informacji na temat samego układu.

(3)

Np. prawo zachowania energii mówi nam, jaka będzie prędkość wahadła przy przejściu przez najniższy punkt.

(4)

Postaramy się znaleźć wzajemny związek pomiędzy wielkościami zachowanymi a symetriami układu ﬁzycznego.

(5)

Postaramy się znaleźć wzajemny związek pomiędzy wielkościami zachowanymi a symetriami układu ﬁzycznego.

(6)

Zaczniemy od deﬁnicjipędu uogólnionegosprzężonego do współrzędnej qj

p_j ≡ ∂L

∂˙qj

, j = 1, 2, ..., n.

(7)

p_j ≡ ∂L

∂˙qj

, j = 1, 2, ..., n.

(8)

p_j ≡ ∂L

∂˙qj

, j = 1, 2, ..., n.

Przykład 1:Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do współrzędnej kartezjańskiej xj swobodnego punktu materialnego poruszającego się w przestrzeni trójwymiarowej.

(9)

p_j ≡ ∂L

∂˙qj

, j = 1, 2, ..., n.

Funkcja Lagrange’a ma postać L= 1

2m~v² = 1

2m˙x1²+ ˙x2²+ ˙x3²

= 1 2m˙x_i˙x_i.

(10)

p_j ≡ ∂L

∂˙qj

, j = 1, 2, ..., n.

Funkcja Lagrange’a ma postać L= 1

2m~v² = 1

2m˙x1²+ ˙x2²+ ˙x3²

= 1 2m˙x_i˙x_i.

(11)

Pęd uogólniony sprzężony do xj

p_j =∂L

∂˙x_j = 1 2m2 ˙xi

∂˙x_i

∂˙x_j = m ˙x_iδ_ij = m˙x_j, j = 1, 2, 3, jest j-tą składową zwykłegopędu ~p = m~v.

(12)

p_j =∂L

∂˙x_j = 1 2m2 ˙xi

∂˙x_i

Przykład 2:Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do kąta wychylenia ϕ wahadła matematycznego.

(13)

p_j =∂L

∂˙x_j = 1 2m2 ˙xi

∂˙x_i

x y

m l ϕ

h

Funkcja Lagrange’a ma postać L= T − V = 1

2m˙x²+ ˙y²− mgh.

(14)

p_j =∂L

∂˙x_j = 1 2m2 ˙xi

∂˙x_i

x y

m l ϕ

h

2m˙x²+ ˙y²− mgh.

( x = l sin ϕ

y = −l cos ϕ ⇒

( ˙x = l ˙ϕcos ϕ

˙y = l ˙ϕsin ϕ

(15)

p_j =∂L

∂˙x_j = 1 2m2 ˙xi

∂˙x_i

x y

m l ϕ

h

2m˙x²+ ˙y²− mgh.

( x = l sin ϕ

y = −l cos ϕ ⇒

( ˙x = l ˙ϕcos ϕ

˙y = l ˙ϕsin ϕ

(16)

Przepiszmy funkcję Lagrange’a uwzględniając podane równania transformacyjne i wstawiająch= l − l cos ϕ

L = 1

2m˙x²+ ˙y²− mgh

= 1

2ml²ϕ˙²cos²ϕ+ l²ϕ˙²sin²ϕ− mg (l − l cos ϕ) . Stały wyraz mgl w funkcji Lagrange’a jest nieistotny, gdyż zarówno deﬁnicja pędu jaki i równania ruchu zawierają tylko pochodne L,

(17)

L = 1

2m˙x²+ ˙y²− mgh

= 1

2ml²ϕ˙²cos²ϕ+ l²ϕ˙²sin²ϕ− mg (l − l cos ϕ) . Stały wyraz mgl w funkcji Lagrange’a jest nieistotny, gdyż zarówno deﬁnicja pędu jaki i równania ruchu zawierają tylko pochodne L, dlatego możemy go pominąć

(18)

L = 1

2m˙x²+ ˙y²− mgh

= 1

2ml²ϕ˙²cos²ϕ+ l²ϕ˙²sin²ϕ− mg (l − l cos ϕ) . Stały wyraz mgl w funkcji Lagrange’a jest nieistotny, gdyż zarówno deﬁnicja pędu jaki i równania ruchu zawierają tylko pochodne L, dlatego możemy go pominąći po skorzystaniu z jedynki

trygonometrycznej rozpatrywać funkcję Lagrange’a postaci L= 1

2ml²ϕ˙²+ mgl cos ϕ.

(19)

L = 1

2m˙x²+ ˙y²− mgh

= 1

2ml²ϕ˙²cos²ϕ+ l²ϕ˙²sin²ϕ− mg (l − l cos ϕ) . Stały wyraz mgl w funkcji Lagrange’a jest nieistotny, gdyż zarówno deﬁnicja pędu jaki i równania ruchu zawierają tylko pochodne L, dlatego możemy go pominąć i po skorzystaniu z jedynki

trygonometrycznej rozpatrywać funkcję Lagrange’a postaci L= 1

2ml²ϕ˙²+ mgl cos ϕ.

(20)

Obliczmy pęd uogólniony sprzężony do ϕ p_ϕ = ∂L

∂ϕ˙ = ∂

∂ϕ˙

1

2ml²ϕ˙²+ mgl cos ϕ

= 1

2ml²2 ˙ϕ = l · ml ˙ϕ = l· mv^ϕ,

gdzie w ostatniej równości uwględniliśmy związek pomiędzy prędkością kątową ˙ϕ i prędkością liniową w kierunku kąta ϕ, v_ϕ = l ˙ϕ.

(21)

∂ϕ˙ = ∂

∂ϕ˙

1

= 1

2ml²2 ˙ϕ = l · ml ˙ϕ = l· mv^ϕ,

Widzimy, że pęd uogólniony sprzężony do kąta ϕ jestmomentem pęduwahadła względem punktu zawieszenia nici.

(22)

∂ϕ˙ = ∂

∂ϕ˙

1

= 1

2ml²2 ˙ϕ = l · ml ˙ϕ = l· mv^ϕ,

Nadal jest on jednak wielkością czysto mechaniczną.

(23)

∂ϕ˙ = ∂

∂ϕ˙

1

= 1

2ml²2 ˙ϕ = l · ml ˙ϕ = l· mv^ϕ,

Nadal jest on jednak wielkością czysto mechaniczną.

(24)

Inaczej będzie w przypadku, gdy fukcja Larange’a L zawiera potencjał uogólniony zależny od prędkości, co ilustruje kolejny przykład.

Przykład 3:Znajdźmy pęd uogólniony sprzężony do kartezjańskiej współrzędnej xj wektora położenia cząstki o masie m i ładunku elektrycznym q znajdującej się w polu elektromagnetycznym o potencjale skalarnym ϕ(~r, t) i potencjale wektorowym ~A(~r, t).

(25)

Jak pokazaliśmy wcześniej (Wykład 4) potencjał uogólniony ma w tym przypadku postać

V(~r, ~v, t) = qϕ(~r, t) − ~A(~r, t) · ~v.

(26)

Jak pokazaliśmy wcześniej (Wykład 4) potencjał uogólniony ma w tym przypadku postać

V(~r, ~v, t) = qϕ(~r, t) − ~A(~r, t) · ~v.

(27)

2m˙xi˙xi − q (ϕ − Aⁱ˙xi) . Obliczmy pęd uogólniony sprzężony do xj, j = 1, 2, 3, p_j = ∂L

∂˙xj

= 1 2m2 ˙xi

∂˙x_i

∂˙xj

+ qA_i ∂˙x_i

∂˙xj

= m ˙x_iδ_ij + qA_iδ_ij = m˙x_j+ qA_j,

(28)

∂˙xj

= 1 2m2 ˙xi

∂˙x_i

∂˙xj

+ qA_i ∂˙x_i

∂˙xj

= m ˙x_iδ_ij + qA_iδ_ij = m˙x_j+ qA_j, co możemy zapisać wektorowo

~

p= m~v + q ~A .

(29)

∂˙xj

= 1 2m2 ˙xi

∂˙x_i

∂˙xj

+ qA_i ∂˙x_i

∂˙xj

~

p= m~v + q ~A .

Oprócz części mechanicznej, mamy tu składnik związany z potencjałem wektorowym pola elektromagnetycznego.

(30)

∂˙xj

= 1 2m2 ˙xi

∂˙x_i

∂˙xj

+ qA_i ∂˙x_i

∂˙xj

~

p= m~v + q ~A .

Oprócz części mechanicznej, mamy tu składnik związany z potencjałem wektorowym pola elektromagnetycznego.

(31)

Jeśli funkcja Lagrange’a zależy tylko od prędkości ˙qj, a nie zależy od odpowiedniej współrzędnej uogólnionej qj, to taką współrzędną nazywamywspółrzędną cykliczną.

Dla współrzędnej cyklicznej z deﬁnicji zachodzi

∂L

∂q_j = 0,

(32)

∂L

∂q_j = 0,

a po skorzystaniu z odpowiedniego równania Lagrange’a II rodzaju otrzymamy

d dt

∂L

∂˙q_j

|{z}pj

− ∂L

∂q_j

|{z}

0

= 0 ⇒ dpj

dt = 0 ⇒ p_j = const.

(33)

∂L

∂q_j = 0,

a po skorzystaniu z odpowiedniego równania Lagrange’a II rodzaju otrzymamy

d dt

∂L

∂˙q_j

|{z}pj

− ∂L

∂q_j

|{z}

0

= 0 ⇒ dpj

dt = 0 ⇒ p_j = const.

(34)

Widzimy, żepęd uogólniony sprzężony do współrzędnej cyklicznej jest zachowany.

Postarajmy się powiązać ten fakt z pewną symetrią układu ﬁzycznego opisywanego funkcją Lagrange’a L.

(35)

Jeśli funkcja Lagrange’a nie zależy od współrzędnej uogólnionej qj, to możemy dokonać dowolnego przesunięcia (translacji) tej

współrzędnej o stałą wielkość aj

q_j → qj^′ = q_j + a_j ⇒ ˙q_j = ˙q^′_j

(36)

q_j → qj^′ = q_j + a_j ⇒ ˙q_j = ˙q^′_j

i funkcja Lagrange’a po transformacji będzie miała dokładnie taką samą postać, jak przed transformacją.

(37)

q_j → qj^′ = q_j + a_j ⇒ ˙q_j = ˙q^′_j

Mówimy, żeukład ma symetrię translacyjną ze względu na współrzędną qj.

(38)

q_j → qj^′ = q_j + a_j ⇒ ˙q_j = ˙q^′_j

Mówimy, żeukład ma symetrię translacyjną ze względu na współrzędną qj.

(39)

Widzimy, żeprawo zachowania pędu w pewnym kierunku możemy dość prosto powiązać z symetrią układu ﬁzycznego ze względu na translacje w tym samym kierunku.

Podobnie,niezmienniczość obrotowa układu ﬁzycznego względem pewnej osi symetrii,

(40)

Podobnie,niezmienniczość obrotowa układu ﬁzycznego względem pewnej osi symetrii,która wiąże się z niezmienniczością względem przesunięć kąta obrotu,

(41)

Podobnie,niezmienniczość obrotowa układu ﬁzycznego względem pewnej osi symetrii,która wiąże się z niezmienniczością względem przesunięć kąta obrotu,prowadzi do zachowania odpowiedniej składowej momentu pędu.

(42)

Ilustruje to następujący, rozpatrywany już wcześniej, przykład.

(43)

Ilustruje to następujący, rozpatrywany już wcześniej, przykład.

(44)

wewnętrznej powierzchni stożka o kącie półrozwartości α.

y

x

z

α

m

ϕ r

~ g

Funkcja Lagrange’a we współrzęd- nych cylindrycznych ma postać L= 1

2m^h(1 + ctg α) ˙r²+ r²ϕ˙²ⁱ− mgr ctg α

(45)

y

x

z

α

m

ϕ r

~ g

Widzimy, że ϕ jest współrzędną cykliczną.

(46)

y

x

z

α

m

ϕ r

~ g

Widzimy, że ϕ jest współrzędną cykliczną.W takim razie pϕ = ∂L

∂ϕ˙ = mr²ϕ˙ = const, ale pϕ = r · m r ˙ϕ

|{z}vϕ

= L_z = const.

(47)

y

x

z

α

m

ϕ r

~ g

Widzimy, że ϕ jest współrzędną cykliczną.W takim razie pϕ = ∂L

∂ϕ˙ = mr²ϕ˙ = const, ale pϕ = r · m r ˙ϕ

|{z}vϕ

= L_z = const.

(48)

Dzięki odpowiedniemu wyborowi układu współrzędnych, niezmienniczość obrotowa rozpatrywanego układu ﬁzycznego względem osi Oz została sprowadzona do niezmienniczości ze względu na przesunięcia kąta ϕ,a równanie Lagrange’a

d dt

∂L

∂ϕ˙ − ∂L

∂ϕ = 0,

które jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu,

(49)

d dt

∂L

∂ϕ˙ − ∂L

∂ϕ = 0,

które jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu,zostało sprowadzone do równania różniczkowego pierwszego rzędu

p_ϕ = mr²ϕ˙ ⇔ ϕ˙ = p_ϕ mr².

(50)

d dt

∂L

∂ϕ˙ − ∂L

∂ϕ = 0,

które jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, zostało sprowadzone do równania różniczkowego pierwszego rzędu

p_ϕ = mr²ϕ˙ ⇔ ϕ˙ = p_ϕ mr².

Tym samym liczba całkowań niezbędnych do rozwiązania równania ruchu została zredukowana o jeden.

(51)

d dt

∂L

∂ϕ˙ − ∂L

∂ϕ = 0,

które jest równaniem różniczkowym drugiego rzędu, zostało sprowadzone do równania różniczkowego pierwszego rzędu

p_ϕ = mr²ϕ˙ ⇔ ϕ˙ = p_ϕ mr².

Tym samym liczba całkowań niezbędnych do rozwiązania równania ruchu została zredukowana o jeden.

(52)

Związek pomiędzy prawami zachowania a symetriami układu ﬁzycznego ma charakter uniwersalny, czego dowiodła Emmy Noether (1882–1935).

Zanim sformułujemy twierdzenie Noether przeanalizujmy sytuację, której ono dotyczy.

(53)

Rozważmy transformację współrzędnych układu o n stopniach swobody

q_i → qi^′ = q^′_i(q1, q2, ..., q_n, t, α) , i = 1, 2, ..., n,

(54)

q_i → qi^′ = q^′_i(q1, q2, ..., q_n, t, α) , i = 1, 2, ..., n, która jestróżniczkowalna w sposób ciągływzględem ciągłego parametru α iodwracalna

q_i^′→ qi = q_i q1^′, q2^′, ..., q^′_n, t, α, i = 1, 2, ..., n.

(55)

q_i → qi^′ = q^′_i(q1, q2, ..., q_n, t, α) , i = 1, 2, ..., n, która jestróżniczkowalna w sposób ciągływzględem ciągłego parametru α iodwracalna

q_i^′→ qi = q_i q1^′, q2^′, ..., q^′_n, t, α, i = 1, 2, ..., n.

(56)

Ponadto, dla wygody zakładamy, że q^′_i(q1, q2, ..., q_n, t, α)

α=0 = q_i, i = 1, 2, ..., n, co oznacza, że rozpatrywana transformacja ewoluuje w sposób ciągły wraz z parametrem α od transformacji identycznościowej, która odpowiada α = 0.

(57)

Przykładem takiej transformacji jest

translacja punktu materialnego o stały wektor ~a:

~

r → ~r^′= ~r + α ~a ⇒ ~r = ~r^′− α ~a,

(58)

~

r → ~r^′= ~r + α ~a ⇒ ~r = ~r^′− α ~a, przy czym

~r^′

α=0 = ~r,

(59)

~

r → ~r^′= ~r + α ~a ⇒ ~r = ~r^′− α ~a, przy czym

~r^′

α=0 = ~r,

(60)

obrót punktu o kąt α względem osi Oz układu kartezjańskiego:

x y

y^′

x^′ α

β

~ r

~r^′

( x^′ = r cos(β + α) y^′= r sin(β + α) ( x = r cos β

y = r sin β







x^′ =rcos β cos α − r sin β sin α = xcos α − y sin α y^′ =rsin β cos α + r cos β sin α = xsin α + y cos α z^′ = z

(61)

obrót punktu o kąt α względem osi Oz układu kartezjańskiego:

x y

y^′

x^′ α

β

~ r

~r^′

( x^′ = r cos(β + α) y^′= r sin(β + α) ( x = r cos β

y = r sin β







x^′ =rcos β cos α − r sin β sin α = xcos α − y sin α y^′ =rsin β cos α + r cos β sin α = xsin α + y cos α z^′ = z

(62)







x^′ = x cos α − y sin α y^′ = x sin α + y cos α z^′= z

⇒







x= x^′cos α + y^′sin α y = −x^′sin α + y^′cos α z = z^′

(63)







⇒







a dla α = 0 otrzymamy transformację identycznościową.

(64)







⇒







Zapiszmy powyższe równania w formie macierzowej:



 x^′ y^′ z^′



 =





cos α − sin α 0 sin α cos α 0

0 0 1







 x y z



 ⇔ ~r^′= A~r,



 x y z



 =





cos α sin α 0

− sin α cos α 0

0 0 1







 x^′ y^′ z^′



 ⇔ ~r = A^T~r^′,

(65)







⇒







Zapiszmy powyższe równania w formie macierzowej:



 x^′ y^′ z^′



 =





cos α − sin α 0 sin α cos α 0

0 0 1







 x y z



 ⇔ ~r^′= A~r,



 x y z



 =





cos α sin α 0

− sin α cos α 0

0 0 1







 x^′ y^′ z^′



 ⇔ ~r = A^T~r^′,

(66)

L(q, ˙q, t) = L q q^′, t, α,˙q q^′, t, α, t≡ L^′ q^′,˙q^′, t, α. Obliczmy pochodną

∂L^′

∂α = Xn

i =1

∂L

∂q_i

∂α + ∂L

∂˙qi

∂α

= Xn

i =1

d dt

∂L

∂˙qi

∂q_i

∂α + ∂L

∂˙qi

d dt

∂q_i

∂α

,

(67)

∂L^′

∂α = Xn

i =1

∂L

∂q_i

∂α + ∂L

∂˙qi

∂α

= Xn

i =1

d dt

∂L

∂˙qi

∂q_i

∂α + ∂L

∂˙qi

d dt

∂q_i

∂α

, gdzieskorzystaliśmy z równań Lagrange’a II rodzajui zamieniliśmy kolejność różniczkowania

∂L

∂q_i = d dt

∂L

∂˙q_i

, ∂˙qi

∂α = d dt

∂q_i

∂α.

(68)

∂L^′

∂α = Xn

i =1

∂L

∂q_i

∂α + ∂L

∂˙qi

∂α

= Xn

i =1

d dt

∂L

∂˙qi

∂q_i

∂α + ∂L

∂˙qi

d dt

∂q_i

∂α

∂L

∂q_i = d dt

∂L

∂˙q_i

, ∂˙qi

∂α = d dt

∂q_i

∂α.

Wyrażenie pod sumą po prawej stronie wzoru na ^∂L_∂α^′ jest pochodną iloczynu

∂L^′

∂α = Xn d

dt

∂L

∂˙q

∂q_i

∂α

= d dt

Xn ∂L

∂˙q

∂q_i

∂α

! .

(69)

∂L^′

∂α = Xn

i =1

∂L

∂q_i

∂α + ∂L

∂˙qi

∂α

= Xn

i =1

d dt

∂L

∂˙qi

∂q_i

∂α + ∂L

∂˙qi

d dt

∂q_i

∂α

∂L

∂q_i = d dt

∂L

∂˙q_i

, ∂˙qi

∂α = d dt

∂q_i

∂α.

Wyrażenie pod sumą po prawej stronie wzoru na ^∂L_∂α^′ jest pochodną iloczynu

∂L^′

∂α = Xn d

dt

∂L

∂˙q

∂q_i

∂α

= d dt

Xn ∂L

∂˙q

∂q_i

∂α

! .

(70)

Układ ﬁzyczny ma symetrię ze względu na rozpatrywaną transformację, jeśli nowa funkcja Lagrange’a L^′(q^′, ˙q^′, t, α) jest równa wyjściowej funkcji L (q, ˙q, t) wyrażonej przez nowe współrzędne

L(q, ˙q, t) = L^′ q^′, ˙q^′, t, α= L q^′, ˙q^′, t.

Biorąc pod uwagęniezmienniczość cechowania równań Lagrange’a II rodzaju,warunek symetrii będzie również spełniony jeśli po prawej stronie tej równości dodamy zupełną pochodną czasową dowolnej różniczkowalnej funkcji współrzędnych, czasu i parametru α

L^′ q^′, ˙q^′, t, α= L q^′,˙q^′, t+ d

dtF q^′, t, α.

(71)

Układ ﬁzyczny ma symetrię ze względu na rozpatrywaną transformację, jeśli nowa funkcja Lagrange’a L^′(q^′, ˙q^′, t, α) jest równa wyjściowej funkcji L (q, ˙q, t) wyrażonej przez nowe współrzędne

L(q, ˙q, t) = L^′ q^′, ˙q^′, t, α= L q^′, ˙q^′, t.

Biorąc pod uwagęniezmienniczość cechowania równań Lagrange’a II rodzaju,warunek symetrii będzie również spełniony jeśli po prawej stronie tej równości dodamy zupełną pochodną czasową dowolnej różniczkowalnej funkcji współrzędnych, czasu i parametru α

L^′ q^′, ˙q^′, t, α= L q^′,˙q^′, t+ d

dtF q^′, t, α.

(72)

Różniczkując powyższy związek po α otrzymamy

∂

∂αL^′ q^′, ˙q^′, t, α = ∂

∂αL q^′, ˙q^′, t+ ∂

∂α d

dtF q^′, t, α

= ∂

∂α d

dtF q^′, t, α, gdyż ze względu na symetrię

∂

∂αL q^′,˙q^′, t= ∂

∂αL(q, ˙q, t) = 0.

(73)

∂

∂αL^′ q^′, ˙q^′, t, α = ∂

∂αL q^′, ˙q^′, t+ ∂

∂α d

dtF q^′, t, α

= ∂

∂α d

∂

∂αL q^′,˙q^′, t= ∂

∂αL(q, ˙q, t) = 0.

Zamieniając kolejność różniczkowania otrzymamy następujący warunek symetrii

∂

∂αL^′ q^′, ˙q^′, t, α= d dt

∂

∂αF q^′, t, α.

(74)

∂

∂αL^′ q^′, ˙q^′, t, α = ∂

∂αL q^′, ˙q^′, t+ ∂

∂α d

dtF q^′, t, α

= ∂

∂α d

∂

∂αL q^′,˙q^′, t= ∂

∂αL(q, ˙q, t) = 0.

Zamieniając kolejność różniczkowania otrzymamy następujący warunek symetrii

∂

∂αL^′ q^′, ˙q^′, t, α= d dt

∂

∂αF q^′, t, α.

(75)

Wstawmy teraz do warunku symetrii wyprowadzony uprzednio wzór

∂L^′

∂α = d dt

Xn

i =1

∂L

∂˙q_i

∂q_i

∂α

! ,

wówczas otrzymamy równość d

dt Xn

i =1

∂L

∂˙qi

∂q_i

∂α

!

= d dt

∂F

∂α.

(76)

∂L^′

∂α = d dt

Xn

i =1

∂L

∂˙q_i

∂q_i

∂α

! ,

dt Xn

i =1

∂L

∂˙qi

∂q_i

∂α

!

= d dt

∂F

∂α.

Przenieśmy wszystko na lewą stronę równości i wstawmy α = 0 d

dt Xn

i =1

∂L

∂˙qi

∂q_i

∂α α=0

− ∂F

∂α

α=0

!

= 0,

(77)

∂L^′

∂α = d dt

Xn

i =1

∂L

∂˙q_i

∂q_i

∂α

! ,

dt Xn

i =1

∂L

∂˙qi

∂q_i

∂α

!

= d dt

∂F

∂α.

Przenieśmy wszystko na lewą stronę równości i wstawmy α = 0 d

dt Xn

i =1

∂L

∂˙qi

∂q_i

∂α α=0

− ∂F

∂α

α=0

!

= 0,

(78)

a zatem wyrażenie w nawiasie, które oznaczymy J musi być wielkością stałą

J≡ Xn

i =1

∂L

∂˙qi

∂q_i

∂α

α=0− ∂F

∂α

α=0

= const.

W ten sposób udowodniliśmytwierdzenie Noether,które brzmi następująco.

(79)

J≡ Xn

i =1

∂L

∂˙qi

∂q_i

∂α

α=0− ∂F

∂α

α=0

= const.

Jeśli funkcja Lagrange’a jest niezmiennicza względem różniczkowalnej w sposób ciągły trasformacji współrzędnych

q_i → qi^′ = q_i^′(q¹, q2, ..., q_n, t, α) , i = 1, 2, ..., n,

przy czym q_i^′|_α=0 = qi i są spełnione równania ruchu, to wielkość J określona powyżej jest stałą ruchu.

(80)

J≡ Xn

i =1

∂L

∂˙qi

∂q_i

∂α

α=0− ∂F

∂α

α=0

= const.

Jeśli funkcja Lagrange’a jest niezmiennicza względem różniczkowalnej w sposób ciągły trasformacji współrzędnych

q_i → qi^′ = q_i^′(q¹, q2, ..., q_n, t, α) , i = 1, 2, ..., n,

przy czym q_i^′|_α=0 = qi i są spełnione równania ruchu, to wielkość J określona powyżej jest stałą ruchu.

(81)

tzn., że istnieją wielkości zachowane, którym nie odpowiadają ciągłe przekształcenia symetrii.Na przykład wektor Lenza

~Λ = p~× ~L mα −~r

r,

gdzie ~r jest wektorem położenia ciała względem centrum potencjału,

(82)

tzn., że istnieją wielkości zachowane, którym nie odpowiadają ciągłe przekształcenia symetrii. Na przykład wektor Lenza

~Λ = p~× ~L mα −~r

r,

gdzie ~r jest wektorem położenia ciała względem centrum potencjału,p~= m ˙~r jego pędem,

(83)

tzn., że istnieją wielkości zachowane, którym nie odpowiadają ciągłe przekształcenia symetrii. Na przykład wektor Lenza

~Λ = p~× ~L mα −~r

r,

gdzie ~r jest wektorem położenia ciała względem centrum potencjału, ~p = m˙~r jego pędem,a ~L = ~r × ~p momentem pędu,