Dwa s lowa o zadaniu M1360
W „Delcie” nr 9 z 2012 r. pojawi lo sie֒ zadanie: Udowodni´c, ˙ze dla r´o˙znych liczb dodatnich a, b i liczby ca lkowitej n >1 zachodzi nier´owno´s´c
1 n+ 1 ·
bn+1−an+1
b − a < an+ bn
2 .
Jest te˙z tam dow´od nier´owno´sci. Chcia lbym doda´c uzasadnienie geometryczne, czy te˙z wyja´sni´c jej znaczenie geometryczne.
Przepiszmy nier´owno´s´c sw postaci n+11 ·(bn+1−an+1) < 12 ·(b − a)(an+ bn) .
(a, 0) (b, 0)
(b, bn)
(a, an)
Bez straty og´olno´sci rozwa˙za´n mo˙zna przyja֒´c, ˙ze a < b. Ot´o˙z prawa strona to pole trapezu o pod- stawach an, bn i wysoko´sci b−a . Lewa to (zgni lo- zielone) pole pod wykresem funkcji xn ograniczo- nej do przedzia lu [a, b] . Poniewa˙z funkcja xn na p´o lprostej [0, ∞) jest ´sci´sle wypuk la, wie֒c jej wy- kres znajduje sie֒ pod dowolna֒ cie֒ciwa֒, a to ozna- cza, ˙ze obszar pod wykresem jest zawarty w trape- zie o wierzcho lkach (a, 0) , (b, 0) , (b, bn) i (a, an) . No i co tu dowodzi´c?
Po rozwia֒zaniu podanym w miesie֒czniku jest uwaga o nier´owno´sci a+ b
2 < n s
bn+1−an+1
(n + 1)(b − a) r´ownowa˙znej bn+1−an+1
n+ 1 >(b − a) a + b 2
n
.
(a, 0) (c, 0) (c, cn)
(b, 0) (b, bn)
(a, an)
Niech c = a+b2 . Tym razem pole pod wykresem funkcji xn ma okaza´c sie֒ wie֒ksze od pola prosto- ka֒ta o podstawie b − a i wysoko´sci a+b2 n
= cn. Wynika to z tego, ˙ze je´sli 0 < h < c , to
cn−(c − h)n< (c + h)n−cn, (W) co jest r´ownowa˙zne nier´owno´sci
cn < 1
2((c + h)n+ (c − h)n) ,
wie֒c wynikaja֒cej natychmiast ze ´scis lej wypuk lo´sci funkcji xn. Z nier´owno´sci (W) wynika od razu, ˙ze symetria wzgle֒dem punktu (c, cn) przekszta lca obszar zielony na zbi´or zawarty w obszarze czerwonym, ale nie wype lniaja֒cy obszaru czerwonego.
1
Dwa s lowa o zadaniu M1360 Micha l Krych Wypuk lo´s´c funkcji xn na p´o lprostej [0, ∞) mo˙zna wywnioskowa´c z tego, ˙ze jej pochodna, czyli nxn−1, jest ´sci´sle rosna֒ca na [0, ∞) lub — je´sli kto´s nie lubi po- chodnych — z cia֒g lo´sci funkcji xn i nier´owno´sci 12(xn+ yn) > x+y2 n
prawdziwej dla r´o˙znych liczb dodatnich x, y . Mo˙zna ja֒ dowie´s´c indukcyjnie. Krok indukcyjny polega na pomno˙zeniu obu stron nier´owno´sci 12(xn+ yn) > x+y2 n
przez liczbe֒ do- datnia֒
xn+1+yn+1
xn+yn i stwierdzeniu, ˙ze (xn+1 + yn+1) x+y2 n
> (xn+ yn) x+y2 n+1 , czyli 2(xn+1+ yn+1) > (xn+ yn)(x + y) . Ostatnia nier´owno´s´c jest r´ownowa˙zna takiej (xn−yn)(x − y) > 0 , prawdziwej w oczywisty spos´ob.
2
![Adaptacyjna (z lo˙zona) kwadratura Simpsona ASQ pr´obuje dostosowa´c podzia l przedzia lu ca lkowania [a, b] na podprzedzia ly do wielko´sci b ledu ca lkowania funkcji f na podprze-, dzia lach](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)