Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta - cd

Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta - cd

1. Pokazać, że układ

e₀(t) = 1

√π, e_n(t) =

2

πcosnt, n = 1, 2, . . . jest ortonormalny zupełny w przestrzeni L²(0, π).

2. Pokazać, że układ

e_n(t) =

2

πsinnt, n = 1, 2, . . . jest ortonormalny zupełny w przestrzeni L²(0, π).

3. Wypisać nierówność Bessela dla układu trygonometrycznego w przestrzeni L²(−π, π).

4. Zbadać, które z podanych układów tworza baz
e ortogonaln
a w l
², a które nie:

(i) (1, 2, 0, . . . ), (0, 0, 1, 2, 0, . . . ), (0, 0, 0, 0, 1, 2, 0, . . . ), . . . ,

(ii) (1,−1, 0, 0, . . . ), (1, 1, 0, 0, . . . ), (0, 0, 1, −1, 0, 0, . . . ), (0, 0, 1, 1, 0, 0, . . . ) . . . .

5. Wykazać zupełność nastepuj
acych układów:
(i){sinnx}^∞_n=1 w przestrzeni L²(0, π),

(ii) {sin(2n − 1)x}^∞_n=1 w przestrzeni L²(0,^π₂), (iii) {1, t³, t⁶, . . .} w przestrzeni L²(0, 1), (iv) {1, t², t⁴, t⁶. . .} w przestrzeni L²(0, 1).

Czy ostatni z tych układów jest zupełny w L²(−1, 1)?

6. Wykazać, że jeśli szereg trygonometryczny funkcji f ma postać:

a₀ 2 +

∞ n=1

(a_ncosnx + b_nsinnx) ,

gdzie

a_n = 1 π

 _π

−πf (x)cosnx dx n = 0, 1, 2, . . . , b_n= 1

π

 _π

−πf (x)sinnx dx n = 1, 2, . . . , to

c₀ = 1

2a₀, c_m = 1

2(a_m− ibm) , c_−m = 1

2(a_m+ ib_m) , gdzie m = 1, 2, . . . i c₀, c_m, c_−m sa wyrażone wzorami Eulera-Fouriera.

7. Podać postać tożsamości Parsevala w przypadku rzeczywistym i zespolonym dla funkcji Arkusz 11

f ∈ L²(π, π) i jej szeregu Fouriera określonego wzgledem trygonometrycznego układu orto-
normalnego.

8. Wyznaczyć współczynniki Fouriera i zadać zbieżność szeregu Fouriera dla funkcji określo- nych w przedziale <−π, π) wzorami:

(i) f (t) = t, (ii) f (t) = |t|, (iii) f (t) = sgnt, (iv) f (t) = e^t.

9. Podać postać tożsamości Parsevala dla trzech pierwszych funkcji z poprzedniego zadania w przypadku rzeczywistym i zespolonym. Wykonać bezpośredni rachunek.

10. W przestrzeni L²(−π, π) obliczyć współczynniki Fouriera i rozwinać w szereg trygonome-
tryczny funkcje f(t) = t(π − t) określon
a na przedziale < 0, π > . Rozważyć dwa przypadki:
(i) przedłużenie parzyste funkcji,

(ii) przedłużenie nieparzyste funkcji.

Zbadać zbieżność otrzymanego szeregu.

11. Wykazać, że jeśli funkcja f : ^R → ^R jest nieparzysta i 2π-okresowa, to jej szereg Fouriera zależy tylko of funkcji sinus, a jeśli jest parzysta, to od funkcji cosinus.

12. Niech g : ^R → R bedzie 2π-okresowa i g(x) =
^π−x₂ ^2 dla x ∈< 0, 2π). Znaleźć jej szreg Fouriera i zbadać jego zbieżność.

13. Niech f : ^R → R dana bedzie wzorem f(x) = sin3x. Znaleźć jej szereg Fouriera i zba-
dać jego zbieżność.

14. Funkcje f :< 0, π >→
R dana wzorem f(x) = e
^x przedstawić w postaci sumy szeregu

_∞

n=1b_nsinnx.

15. Funkcje g(x) = sinx przedstawić w postaci sumy szeregu a
₀ +^∞_n=1a_ncosnx na przedziale (0, π).

16. W przestrzeni L²(0, 2π) wyznaczyć rzut ortogonalny funkcji f (t) = t² na podprzestrzeń liniowa rozpi
et
a na funkcjach

1, cost, sint, cos2t, sin2t, . . . i obliczyć norme tego rzutu.

Arkusz 12

17. W przestrzeni L²(−1, 1) wyznaczyć rzut ortogonalny funkcji f(t) = e^−t na podprzestrzeń liniowa rozpi
et
a na funkcjach

1, t, t², . . . i obliczyć norme tego rzutu.

18. W przestrzeni L²(0, 1) wyznaczyć rzut ortogonalny funkcji f (t) = t na podprzestrzeń li- niowa rozpi
et
a na funkcjach układu Rademachera i obliczyć norm
e tego rzutu.

19. Wykazać, że

∞ k=0

(−1)^k 2k + 1 = π

4.

(Wsk. Rozwinać w szereg trygonometryczny Fouriera funkcj
e f(x) = x określon
a na przedziale
(−π, π), zbadać jej zbieżność i policzyć wartość dla x = ^π₂.)

20. Użyć równości Parsevala, aby wykazać, że (i)^∞_{n=1 n}¹₂ = ^π₆²,

(ii) ^∞_{n=1 n}¹₄ = ^π₉₀⁴.

(Wsk. Skorzystać z odpowiedniej postaci równości Parsevala dla szeregu trygonometrycznego i rozwinać w szereg funkcje f(t) = t i f(t) = t
² na <−π, π > dla i) i ii) odpowiednio.)

21. Niech f ∈ L²(−π, π). Znaleźć rzut ortogonalny f na podprzestrzeń M = lin {e^−int, . . . , e^int} , n∈N i znaleźć odległość f od M.

(Wsk. Wykazać, że wektory ^e_2π^intn

k=−n sa ortonormalne.)

Arkusz 13