Seminarium dyplomowe (3 mie, 2012/2013)
1. POWTÓRZENIE
Standaryzacja zmiennych losowych, Centralne Twierdzenie Graniczne.
Zad. 1.1 Niech X ma rozkªad N(1, 2). Oblicz P(X < 0), P(X < 1), P(X > −1), P(|X| > 1).
Zad. 1.2 Zwa»ono 10 paczek masªa i otrzymano wyniki (w gramach): X1, . . . , X10. Za- kªadamy, »e jest to próbka losowa z rozkªadu normalnego N(250, 102). Niech ¯X b¦dzie ±redni¡ obliczon¡ na podstawie tej próbki, tzn. ¯X = 101 P10
i=1Xi (a) Oblicz E ¯X i V ar ¯X.
(b) Jakie jest prawdopodobie«stwo, »e ¯X przekroczy 251?
(c) Oblicz E( ¯X − 250)2.
Zad. 1.3 Rozkªad prawdopodobie«stwa dziennej sprzeda»y produktu A w pewnym skle- pie jest w przybli»eniu normalny, N(200, 402). Rozkªad dziennej sprzeda»y produktu B jest w przybli»eniu N(150, 302). Zakªadamy, »e wysoko±ci sprzeda»y produktów A i B s¡ niezale»ne. Oblicz
1. prawdopodobie«stwo, »e dzienna sprzeda» A b¦dzie wi¦ksza ni» dzienna sprze- da» B;
2. prawdopodobie«stwo, »e dzienna sprzeda» ka»dego z produktów A i B przekro- czy 150PLN;
3. prawdopodobie«stwo, »e dzienna sprzeda» produktów A i B razem przekroczy 350PLN.
Zad. 1.4 Niech X1, X2, . . .b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (0, 1). Znale¹¢ granic¦ wedªug rozkªadu ci¡gu
X1+ . . . + Xn− n2
√n .
Zad. 1.5 Rzucamy 2000 razy nieprawidªow¡ monet¡, dla której prawdopodobie«stwo wyrzucenia orªa wynosi 34 a reszki 14. Jakie jest przybli»one prawdopodobie«stwo,
»e liczba wyrzuconych orªów b¦dzie:
a) nie wi¦ksza ni» 1475, b) wynosi¢ conajmniej 1510, c) zawarta pomi¦dzy 1465 a 1535?
Zad. 1.6 Prawdopodobie«stwo wizualnego spostrze»enia sputnika ziemi z okre±lonego punktu obserwacyjnego jest równe 0,1 przy ka»dym locie nad punktem obserwacyj- nym. Znale¹¢ liczb¦ lotów, jak¡ powinien wykona¢ nad punktem obserwacyjnym sputnik, aby z prawdopodobie«stwem 0,9 liczba spostrze»e« wizualnych sputnika byªa nie mniejsza ni» 10.
1
