16DRAP - Parametry zmiennych losowych cz.2
Twierdzenie. 1. Niech ϕ : R → R będzie dowolną funkcją.
(a) Jeżeli zmienna losowa dyskretna X jest skupiona na zbiorze A = {x1, x2, . . .}, to wartość oczekiwana ϕ(X) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy zbieżny jest szereg P
x∈A|ϕ(x)|P (X = x); wtedy Eϕ(X) wyraża się wzorem Eϕ(X) =
X
x∈A
ϕ(x)P (X = x) .
(b) W dodatku dla mierzalnej ϕ, jeśli ϕJeżeli zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości f, to wartość oczekiwana ϕ(X) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja ϕ · f jest bezwzględnie całkowalna. Wtedy Eϕ(X) wyraża się wzorem
Eϕ(X) = Z +∞
−∞
ϕ(x)f (x)dx.
Twierdzenie. 2. Jeśli X jest zmienną losową przyjmującą wartości całkowite nieujemne, to EX =P∞
n=1P(X n).
Twierdzenie. 3. Jeśli X 0, to
EX = Z ∞
0
(1 − FX(t))dt = Z ∞
0
P(X > t)dt Twierdzenie. 4. Jeżeli X 0 oraz p > 0, to
EXp = p Z +∞
0
tp−1P(X > t)dt, przy czym istnienie jednej strony implikuje istnienie drugiej i ich równość.
A Zadania na ćwiczenia
Zadanie A.1. Niech zmienna losowa Z ma rozkład jednostajny na odcinku [0, 2]. Znaleźć wartość oczekiwaną sumy oraz iloczynu pierwiastków równania x2+ (2Z2+ 3)x −12Z = 0.
Zadanie A.2. Pracownicy pewnej firmy przystąpili do ubezpieczenia grupowego. Ubezpieczyciel zgadza się pokrywać 100% kosztów leczenia podczas trwania polisy do wysokości 1 miliona PLN. Zmienna losowa X opisująca koszty leczenia ma funkcję gęstości
f (x) = (1
9x(4 − x), jeżeli 0 < x < 3,
0, w przeciwnym przypadku,
gdzie x jest liczbą w milionach. Obliczyć średni koszt leczenia, jaki będzie musiał pokryć ubezpieczyciel.
Zadanie A.3. Wypłata z rocznej obligacji uzależniona jest od liczby bankructw w tym okresie w ustalonym zbiorze 100 spółek. Na koniec roku wynosi ona: 130 zł, o ile zdarzyły się nie więcej niż 2 bankructwa, 100 zł, jeśli były 3 lub 4 bankructwa, 90 zł, jeżeli zdarzyło się 5 lub 6 bankructw i 50 zł, jeśli było więcej niż 6 bankructw. Rynek wycenia obligacje na poziomie dającym oczekiwaną stopę zwrotu i = 10%. Zakładamy, że prawdopodobieństwa bankructwa każdej ze spółek w ciągu roku wynoszą 2% i są wzajemnie niezależne. Wypłata z obligacji jest pewna, a inwestor kupuje ją po bieżącej cenie rynkowej. Po godzinie od zakupu na rynek dotarła informacja o bankructwie jednej ze spółek. O ile procent zmniejszy się cena rynkowa obligacji wskutek reakcji na tę wiadomość?
Zadanie A.4. Dystrybuanta zmiennej losowej X dana jest wzorem
F (x) =
0 dla x < 0;
x3 dla 0 ¬ x ¬ 1;
1 dla x > 1.
Oblicz najszybciej jak potrafisz EX.
Zadanie A.5. Strzelec strzela do tarczy aż do momentu pierwszego trafienia. Niech X będzie zmienną losową przyjmującą wartości równe liczbie strzałów do momentu trafienia celu. Zakładając, że prawdopodobieństwo trafienia jest za każdym razem równe 23, oblicz EX
(a) korzystając z definicji;
(b) korzystając z Twierdzenia 2.
Jak nazywa się rozkład zmiennej losowej X? Wskazówka: dla x ∈ (−1; 1)P∞
k=1kxk−1= 1/(1 − x)2.
Zadanie A.6. Oblicz E(min(X, a)) i E(max(X, a)) dla zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ i dowolnej liczbie dodatniej a.
Zadanie A.7. Dwie osoby przychodzą na miejsce spotkania w przedziale czasowym [0, 1]. Znaleźć wartość średnią czasu oczekiwania osoby, która przyszła pierwsza.
1
B Zadania domowe
ZADANIA PODSTAWOWE
Zadanie B.1. Zmienna losowa X posiada dystrybuantę:
F (x) =
0 dla x < −1
1
2x3+12 dla − 1 ¬ x ¬ 1 1 dla x > 1
Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej losowej X. Czy można skorzystać ze wzoru:
EX =R∞
0 (1 − FX(t))dt =R∞
0 P(X > t)dt?
Zadanie B.2. Zad. 7, §4.4.
Zadanie B.3. Korzystając z twierdzeń 3 i 4 wyznacz wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym Exp(λ). Przypomnienie: gęstość i dystrybuanta zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym:
f (x) =
(0 dla x ¬ 0;
λe−λx dla x > 0, F (x) =
(0 dla x ¬ 0;
1 − e−λx dla x > 0.
Czy wyznaczenie tych wartości z definicji wymagałoby więcej obliczeń?
Zadanie B.4. Załóżmy, że zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 2]. Niech Y = max(X,34), a Z = min(X,34). Oblicz EY i EZ.
Zadanie B.5. Zad 10. §4.4
C Zadania dla chętnych
Zadanie C.1. Zad 8. §4.4 Zadanie C.2. Zad. 19, §4.4 Zadanie C.3. Zad. 27, §4.4.
2
Odpowiedzi do niektórych zadań
B.1 0, nie.
B.4 EY = 1649, EZ = 3964.
3
