Wykład X Mechanika

(1)

1

Wykład X Mechanika

Formalizm kanoniczny

Formalizm kanoniczny wyprowadzamy z formalizmu Lagrange’a, traktując jako zmienne niezależne q_i i

i

i q

p L



  , i1,2,N. Funkcję Hamiltona, która ma kluczowe znaczenie w formalizmie kanonicznym, otrzymujemy dokonując transformacji Legandre’a funkcji Lagrange’a

     



q q₁,q₂,,q_N , q q₁,q₂,,q_N , p p₁,p₂,,p_N



,

Należy rozumieć q jako funkcję zmiennych niezależnych q i p oraz t , q(q,p,t). Równania Hamiltona (kanoniczne)

Na dwa sposoby zapisujemy różniczkę funkcji Hamiltona:

1) dt

t t q p dq H

q t q p dp H

p t q p dH H

N

i

i i

i

i 





 



















) , , ( )

, , ( )

, , (

1

2)

 

^dt

t q L q d dq L q dp L

q p q d t

q q dL p q d dH

N

i

i i i i N

i

i i i i N

i

i 





 







 



 









  



1 1 1

) )

, , ( )

( 

 



 

^dt

t dq L q dp L q t dt

q L d p q dq

dp L q p q d dH

N

i

i i i i N

i

i i i i N

i

i i i

i 





 







 

 





 



 



 





  



1 1 1

)  



Zakładamy, że zachodzą równania Lagrange’a

i i i

i

q p L q

t q q L q

t q q L dt

d  



 



 

 





 ( , , ) ( , , ) 0

2’)

 

^dt

t dq L p dp q dH

N

i

i i i

i 









1



Porównując 1) i 2’) dostajemy:

Przykład

2

( , ) ( )

2

H p q p V q

 m , q ^{H p q}^{( , )} ^p

p m

 

 , p ^{dV q}^{( )}

  dq

) , , ( )

, , ) ( , , ) (

, , (

1 1

t q q L p q t

q q q L

t q q q L t

q p H

N

i i i N

i i

i   



    













( , , ) ( , , )

, , 1, 2,

i i

H p q t H p q t H L

q p i N

p q t t

   

     

   

(2)

2

Wykład X cd. Mechanika

Zasada zachowania energii

t t q p H t

t q p q H

q t q p p H

p t q p H dt

t q p

dH ^N

i

i i i

i 

 







 



















) , , ( )

, , ( )

, , (

1



zakładamy, że zachodzą równania Hamiltona Zasada najmniejszego działania

2 2 1 1 1

) ( , ) ( , ) , , (

2

1

q t q q t q t q p H p q dt S

t

t N

i i

i   



 



 



 





       



q q q1, 2, ,q_N , p p p1, 2, ,p_N , q  q1, q2, ,q_N , p p1,p2, ,p_N



Poszukujemy q(t) i p(t), które minimalizują działanie S. Wymaga to, aby zmiana działania

Sna skutek infintezymalnej transformacji













) ( ) ( ) (

t p t p t p

t q t q t q



 , q(t₁)q(t₂)0 znikała.

] , [ ] ,

[p p q q S p q

S

S    



  

 









 

 



 



 



 



 



 





 

















2

1 2

1

1 0

1 1

t

t N

i

i i i i i i t

t N

i

i i t

t N

i

i i i i i i i i

p q p H q p

q H dt

p q

q q p H p p H q p q dt

S













N p i

t q p q H

q t q p p H

S

i i

i

i  

 ( , , ), 1,2,

), , ,

0 ( 



 









 

Nawiasy Poissona¹

Mamy dowolna wielkość f(p,q,t) i obliczamy jej pochodną czasową zakładając, że q(t) ip(t) spełniają równania ruchu

t f q H p

f p H q

f t

q f q p f p

f dt

t q p

df ^N

i i i i i

N

i

i i i

i 





 







 



 







 







 













1 1

) , ,

(  

  

 

 







 



 ^N 

i i i i pi

B q

A q B p B A

A

1

, - nawias Poissona

1 Siméon Denis Poisson 1781-1840



H f



t f dt

t q p

df( , , )  ,



 

(nie wymagamy p(t₁)p(t₂)0)

(3)

3

Wykład X cd. Mechanika

Własności nawiasów Poissona Antysymetria:

   

A,B  B,A

Liniowość:



AB,C

    

 A,C  B,C

Tożsamość Jacobiego²:



^{A B C}^,



^,

 

^



^{C A B}^,

^{ }

^,



^



^{B C A}^,

^

^,

^ 

^⁰

Dowodzi się prostym, lecz dość długim obliczeniem

Całka ruchu: 0  dt

df f - całka ruchu

Twierdzenie Poissona

Jeśli f(p,q,t) i g(p,q,t) są całkami ruchu, toh(p,q,t)

 

f,g też jest całką ruchu.

Dowód

    

^H

 

^f ^g



t g h f

t H h dt

dh , , ,

, 



 

 



1)

 











 











 



t f g t g

f t

g

f, , ,

2)

                   











 











 









 t

g f t f g f

H g g H f f H g H g f g

f

H, , , , , , , , , , , ,

   

t g g

dt H dg t f f

dt H df









 







0 , , 0 , ,

1) + 2) 0 dt dh

Przykład

y z

x yp zp

J   - składowa x momentu pędu

z x

y zp xp

J   - składowa y momentu pędu

 

z x y y x y x x y y z y x y y x x x y

x p

J z J p J y J p J x J z J p J y J p J x J p J J

J 























  ,

0







 







y J x J p J p

J x y

y y x x

 

x y z

z x y y z x y

x yp xp J

p J z J z J p J J

J   







  ,

Jeśli zachowywane są x-owa i y-owa składowe momentu pędu, to zachowywana jest także z-owa składowa momentu pędu.

2 Karl Gustav Jacob Jacobi 1804-1851