1
Wykład IV Mechanika
Twierdzenie o wiriale
Jedna cząstka
Wiriał: w(t)mr(t)v(t)
( ) ( ) ( ) ( )
) ( ) ) ( ( )
( 2
t F t r t v dt m
t v t d r m t dt v
t r md dt
t
dw
Zakładamy
r r r r r r r r
F n
ˆ, , ˆ )
( , - stała, n – liczba całkowita
r rF n V
r n V r
V r
F n ( 1)
) 1 ( )
( )
( 1
( ) 2 ( ) ( 1) ( ) t V n t dt T
t
dw ,
2 v2
T m
Uśrednianie po czasie:
0 ( )
lim1 )
(t dt f t
f
Jeśli f(t) ograniczone: ( ) (0) 0 ) lim
(
f f
dt t
df
Jeśli wirial jest ograniczony, to ( ) 0 dt
t
dw , co daje
2
n siły ciążenia i Coulomba
2 T ( t )
V ( t )
1
n siły harmoniczne
T ( t )
V ( t )
Przykład
Prędkość Ziemi na orbicie
R v GM t
R t GMm
mv
) ) (
2(
0
)
(
)
1
(
)
(
2 T t n V t
Ten sam wynik dostajemy z warunku równowagi sił:
2 2
R GMm R
mv
2
Wykład IV cd. Mechanika
Wiele cząstek
Wiriał:
i
i i
ir t v t
m t
w( ) ( )( )
,
i i iv T m
2
2
j i j i
ij j i
j i j i
ij i i
i i i
i
v t r t F t T t r t F t T t r t r t F t
dt m
t
dw
, , ,
,
2
( ) ( ) ( )
2
) 1
(
2
)
(
)
(
)
(
2
)
(
)
(
)
) (
(
Założyliśmy nieobecność sił zewnętrznych
j i j
ij
i F
F
,
i skorzystaliśmy z III zasady dynamiki.
Zakładamy
ij ij ij ij ij j i ij ij n ij ij
ij r
r r r r r r r r r r F
ˆ, , , ˆ
)
(
ij ij rn rijFij n Vij
r n V r
V r
F ( 1)
) 1 ( )
( )
( 1
( ) 2 ( ) ( 1) ( )
t V n t dt T
t
dw
,
j i j i
Vij
V
,
2 ,
1
Przykład 1
W krysztale, gdzie siły są w przybliżeniu harmoniczne (n = 1), średnia energia kinetyczna jonów sieci krystalicznej jest równa ich średniej energii potencjalnej.
Przykład 2
Temperatura gwiazdy, która znajduje się w równowadze, wzrasta na skutek wypromienio- wywania energii! Całkowita energia gwiazdy ETV. Gdy gwiazda jest w równowadze
V T
E . Ponieważ 2T V , E T . Gdy więc spada E, która jest ujemna, wzrasta T , a zatem wzrasta gwiazdy temperatura, która jest miarą energii kinetycznej cząstek tworzących gwiazdę.
0 ) ( ) 1 ( ) ( 2 ) 0
( T t n V t
dt t dw
