Lista 1. KINEMATYKA Fizyka I – Ćw. BLiW - niestacjonarne 1

Prędkośćśrednia

1. Rowerzyści w czasie wycieczki rejestrowali swoją prędkość.

a) Rowerzysta A godzinę jechał z prędkością v1 = 25 km/h podczas drugiej na skutek zmęczenia jechał z prędkością v2 = 15 km/h.

b) Rowerzysta B pierwsze 20 km jechał z prędkością v₁ = 25 km/h, a kolejne 20 km z prędkością v2 = 15 km/h.

c) Rowerzysta C godzinę jechał z prędkością v1 = 25 km/h a następne 20 km z prędkością v₂ = 15 km/h.

Oblicz prędkości średnie rowerzystów.

2. Biegacz przebiegł połowę trasy z prędkością v1 = 18km/h, a drugą połowę z inną prędkością v₂. Gdyby biegł cały czas ze stałą prędkością v = 12km/h, to czas potrzebny na przebycie całej trasy nie zmieniłby się. Oblicz wartość prędkości v2.

Względnośćruchu

3. Po rzece płynie łódka ze stałą względem wody prędkością u, prostopadłą do kierunku prądu. Woda w rzece płynie wszędzie równolegle do brzegów, ale wartość jej prędkości V zaleŜy od odległości y od brzegu i dana jest wzorem: V = v0sin(y/L), gdzie v0 jest stałą, a L szerokością rzeki. Znaleźć wektor prędkości łódki względem brzegu.

4. Prędkość łódki względem wody wynosi v. Jak naleŜy skierować łódź, aby przepłynąć rzekę w kierunku prostopadłym do brzegu? Woda w rzece płynie z prędkością u.

5. Dwa samochody poruszają się po dwóch prostoliniowych i wzajemnie prostopadłych drogach w kierunku ich przecięcia ze stałymi szybkościami v1 = 50 km/h i v2 = 100 km/h.

Przed rozpoczęciem ruchu pierwszy samochód znajdował się w odległości s1=100km od skrzyŜowania dróg, a drugi w odległości s₂ = 50km. od ich przecięcia. Po jakim czasie od chwili rozpoczęcia ruchu odległość między samochodami będzie najmniejsza?

Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony

6. Ciało swobodnie spadające pokonuje połowę drogi w ciągu ostatniej sekundzie ruchu.

Z jakiej wysokości spada to ciało?

7. Motocyklista rusza ze stałym przyspieszeniem a = 0.5 m/s². Po 0.6 min od chwili rozpoczęcia ruchu zatrzymuje go policjant. Czy motocyklista będzie płacił mandat z powodu przekroczenia dozwolonej prędkości 60 km/h?

8. W chwili, gdy zapala się zielone światło, samochód osobowy rusza z miejsca ze stałym przyspieszeniem a równym 2.2 m/s². W tej samej chwili wyprzedza go cięŜarówka, jadąca ze stałą prędkością 9.5 m/s.

(a) W jakiej odległości od sygnalizatora samochód osobowy dogoni cięŜarówkę?

(b) Ile wynosić będzie wówczas jego prędkość?

Rzuty

9. Ciało znajdujące się na wysokości h nad powierzchnią ziemi rzucono pionowo do góry z prędkością v0 = 5 m/s. Prędkość końcowa ciała (tuŜ przed upadkiem) wyniosła |vk| = 5v0. Wyznaczyć h. Na jaką maksymalną wysokość H nad powierzchnię ziemi wzniosło się ciało?

Ile czasu tc trwał ruch ciała?

10. Ciało rzucono pionowo w dół z wysokości H, nadając mu prędkość początkową v0 = 5m/s.

Ciało uderzyło o ziemię z prędkością v_k = 35 m/s. Z jakiej wysokości H zostało rzucone? Ile sekund trwał ruch ciała? Jaką prędkość v1 miało to ciało w chwili, gdy przebyło drogę s1 = H/6?

11. Ciało spada swobodnie na ziemię z wysokości H. Na jakiej wysokości prędkość tego ciała będzie n razy mniejsza od jego prędkości końcowej? Obliczenia numeryczne wykonaj dla H=27 m i n=3.

12. Z wieŜy o wysokości H=10 m wystrzelono z prędkością V = 100m/s pod kątem α = 30°

pocisk. Z jaką prędkością uderzył pocisk o ziemię? Jaki kąt tworzył tor pocisku z płaszczyzną ziemi? Napisz równanie toru pocisku.

13. Kamień wyrzucono z katapulty z prędkością początkową 20 m/s w górę pod kątem 45°.Wyznaczyć połoŜenie i prędkość kamienia po czasie 1.2 s.

14. W meczu tenisowym Agnieszka Radwańska serwując nadała piłce znajdującej się na wysokości 2.37m prędkość poziomą 23.6 m/s stojąc w odległości 12 m od siatki. Czy piłka przejdzie nad siatką?

ROZWIĄZANIA Zadanie 1

a) t

v_śr = S gdzie: S - cała przebyta droga, t – czas ruchu.

W czasie pierwszej godziny rowerzysta przejechał drogę

S

₁ =

v

₁

t

₁ ^{(gdzie t}1=1 h), a w czasie drugiej godziny

S

₂ =

v

₂

t

₂ ^{(gdzie t2}=1 h). Zatem:

2 1

2 2 1 1

2 1

2 1

t t

t v t v t t

S S t v

_śr

S

+

= + +

= +

= Uwzględniając, Ŝe t1 = t2 = t otrzymujemy, Ŝe

h v km

v_śr v 20 /

2

2

1+ =

=

Uwaga: Tylko w przypadku t1 = t2 prędkośćśrednia jest średniąarytmetycznąprędkości.

b)

2 2

1 1

2 1

2 1

2 1

v S v S

S S t t

S S t v_śr S

+

= + +

= +

=

Uwzględniając, Ŝe S1 = S2 = S otrzymujemy:

h v km

v v

v

_śr 2

v

18.75 /

2 1

2

1 =

= + c)

h km v

t S S t v t t

S S t

v_śr S 19.29 /

2 2 1

2 1 1

2 1

2

1 =

+

= + +

= +

=

Zadanie 2

Przyjmując , Ŝe:

t

1 - czas pokonania pierwszej połowy drogi z prędkością

v

₁

t

2 - czas pokonania drugiej połowy drogi z prędkością

v

₂ t - czas pokonania całej drogi z prędkością

v

moŜemy zapisać:

t t t

₁+ ₂ = czyli:

v S v

S v

S

+ =

2 1

12 12

stąd:

km h v

v

v vv

9

2 ₁

1

2 =

= −

Zadanie 3

Ruchy w kierunku x oraz y są niezaleŜne stąd wektor prędkości łódki ma postać:

[ ] ⁼ _ ^{ ⋅} _ ^

= u

L v y

v v

v ^r

_x

;

_{y 0}

sin π ;

Jest to wektor o wartości:

2 2

0sin u

L v y

v  +



 



 ⋅

=

π

Wektor ten nachylony jest do brzegu pod kątem

α

, którego tangens jest równy:

L v y

u v

tg v

x y

= ⋅

=

π

α

0sin

Z analizy tangensa wynika, Ŝe przy brzegach (y = 0 lub y = L) łódka jest skierowana prostopadle do nurtu rzeki bo ^tgα →∞, a na środku rzeki (y L

12

= ) kąt α jest najmniejszy i . v0

tgα = u Zadanie 4

Aby prędkość wypadkowa była skierowana prostopadle do brzegu, prędkość łodzi vr

względem wody powinna być skierowana do brzegu pod kątem α takim, Ŝe:

v

= u α cos lub inaczej

.

2 2

u u v u

tg α

=

v

^wyp = −

Zadanie 5

Wprowadźmy układ współrzędnych taki, Ŝe pierwszy samochód porusza się w kierunku dodatnim osi x, a drugi w kierunku dodatnim osi y. Niech skrzyŜowanie dróg będzie początkiem tego układu współrzędnych. W tym układzie równania ruchu obu samochodów przyjmą postać:

( ) ( )

^{t s v t}

y

t v s t x

2 2

1 1

+

−

= +

−

=

Odległość f między samochodami w funkcji czasu moŜna obliczyć z twierdzenia Pitagorasa:

( ) ( ) (

2 2

)

^2.

2 1

1

v t s v t

s t

f

= − + + − +

Czas tmin, po którym funkcja osiąga minimum wartości moŜna obliczyć z warunku zerowania się pochodnej tej funkcji po czasie:

0 ) (

' =

= f t dt

df

Z tego warunku uzyskujemy wyraŜenie na tmin:

min 5 48

4

2 2 2 1

2 2 1 1

min = =

+

= +

h

v v

v S v t S

Zadanie 6

Z treści zadania wynika, Ŝe mamy do czynienia ze spadkiem swobodnym, czyli:

2 2

) 1 2 (

1 2 1

2 1

−

=

=

t g h

gt h

Pierwsze równanie wyraŜa drogę h przebytą przez spadające swobodnie (v₀ =0) ciało w czasie t.

Drugie równie zawiera informację o tym, Ŝe w czasie o 1s krótszym ciało przebędzie drogę o długości 2h

1 , co oznacza, Ŝe w ostatniej sekundzie pokona pozostałą drogę teŜ o długości h 2 1 . Rozwiązanie tego układu równań to:

(

^{2 2}

)

^{[ ]}

1 2

2 s

t = +

= −

m h≈57 . Zadanie 7

Z treści zadania wiemy, Ŝe motocyklista porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej, więc:

( ) h

km

h km s

at m at v t

v

64.8

3600 1 001 . 180

0 + = =18 = ≈

=

Motocyklista zapłaci mandat bo przekroczył dozwoloną prędkość.

Zadanie 8

Wprowadźmy oś X skierowaną w kierunku ruchu obu pojazdów. Przyjmijmy, Ŝe zero tej osi jest w miejscu występowania świateł, czyli w miejscu gdzie pojazdy spotkały się po raz pierwszy. Zapiszmy równania ruchu obu pojazdów w tym układzie.

Samochód osobowy porusza się ruchem jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej, a samochód cięŜarowy ruchem jednostajnym z prędkością v_c, więc połoŜenie samochodu osobowego

xs oraz cięŜarowego x_cmoŜna zapisać równaniami:

t v x

at x

c c s

=

= ²

2 1

Po czasie tsp oba pojazdy spotkają się ponownie, więc ich połoŜenia będą jednakowe:

sp c sp

sp c sp s

t v at

t x t x

=

=

2

2 1

) ( ) (

stąd

a s

t_sp 2v^c 8.6

=

=

Aby obliczyć drogę s jaką oba samochody pokonają do miejsca ich spotkania wystarczy podstawić obliczony czas tsp do xs lub xc. Wykorzystajmy xc:

] [ 2 82

) 2 (

2

a m v a v v t v t x

S = _{c sp} = _{c sp} = _c ^c = ^c = Prędkość samochodu osobowego wyniesie wtedy:

] [ 19 2 2

)

( ₀

ms a v

a v at at v t

v_{s sp} = + _sp = _sp = ^c = _c =

Zadanie 9

Oznaczmy przez t1 czas ruchu ciała w górę aŜ do przebycia drogi h¹. Dla tych wielkości mamy następujący układ równań:







−

=

−

=

2 1 1

0 1

1 0

2 1 0

gt t

v h

gt v

Rozwiązując ten układ otrzymujemy:

g h v g

t v

, 2

2 0 1 0

1 = =

Oznaczmy przez t2 czas ruchu ciała w dół z wysokości H = h+h1. Z warunków zadania mamy:







=

= +

2 0

2 2 1

5

2 1 gt v

gt h

h

stąd

g t v t t

g gt v

h h H

g h v gt g h

t v

0 2 1

2 2 0

2 1

2 0 1

2 2 0

2

6

2 25 2

1

12 2

5 1

= +

=

=

= +

=

=

−

=

= ⇒

Zadanie 10

Oznaczając przez t czas ruchu ciała mamy następujący układ równań opisujący rzut pionowy w dół z prędkością początkową v0:







+

= +

=

2 0

0

2 1gt t v H

gt v v_k

Rozwiązując ten układ otrzymujemy:

g v H v

g v

t v

^{k k}

, 2

2 0 2

0 = −

= −

Dalej, oznaczmy przez t1 czas ruchu na drodze s1. Następujący układ równań opisuje kinematykę ruchu rzuconego ciała na drodze s1:







+

= +

=

2 1 1

0 1 0 1

2 1

6 v t gt

H

gt v v

Po obliczeniu

g v

t₁ = v¹ − ⁰ i wykorzystaniu wyraŜenia dla H (patrz wyŜej) drugie równanie z tego

układu otrzymuje postać:

2 0 1 0

1 0 2 0 2

2 1 2

6

1 







 −

− +

⋅

− =

⋅ g

v g v

g v v v

g v v_k

stąd po przekształceniach obliczamy

6 . 5 ₀²

2

1

v v = v^k +

Zadanie 11

Spadając z wysokości H w czasie t w momencie zetknięcia z ziemią ciało ma prędkość v^k , przy czym wielkości te związane są układem równań opisujących kinematykę spadku swobodnego:







=

=

2

2 1gt H

gt v_k

Stąd obliczamy:

gH v

_k = 2

Podobny układ równań z czasem ruchu t¹ układamy dla ruchu na drodze H-h:









=

−

=

2 1 1

2 1 1

gt h H

gt nv^k

Z pierwszego równania mamy:

ng gH g v

t n1 ^k 1 2

1 = =

Po wstawieniu do drugiego równania tak obliczonego t1 dostajemy wynik końcowy:

n H

h 



 



 −

= 1₂

1 .

Zadanie 12

Składowe wektora prędkości poruszającego się ciała jako funkcje czasu wyraŜają się następującymi równaniami:





−

=

=

gt v

t v

v t v

y x

α α

sin )

(

cos )

(

0 0

Dla składowych wektora połoŜenia jako funkcji czasu mamy:







+

−

=

=

H gt t

v t y

t v t x

2 0

0

2 sin 1 )

(

cos )

(

α α

Do wypisania składowych uŜyto standardowego układu współrzędnych tzn. oś X kierunek poziomy, oś Y kierunek pionowy. Równanie toru otrzymamy wyraŜając czas t przez x z pierwszego równania i podstawiając do drugiego:

2 2 0cos 2

9 x

x v tg H

y= + ⋅ − ⋅

α α

Obliczymy następnie czas trwania rzutu T rozwiązując równanie y(T)=0. Po uporządkowaniu równanie to przyjmuje postać równania kwadratowego:

2 0 sin

2 ₀

2 − − =

g T H g

T v

α

Dodatni pierwiastek tego równania jest równy:

sin . 1 2

1

sin _{2 2}

0

0 









 + +

=

α α

v gH g

T v

Zasięg rzutu:

sin . 1 2

1 sin cos )

( _{2 2}

0 2

0 









 + +

=

=

α α α

v gH g

T v x z

Obliczymy teraz prędkość v^k w momencie upadku i kąt β jaki wektor prędkości tworzy z powierzchnią ziemi, wykorzystując formuły:

) . (

) ) (

( )

( ²

2

T v

T tg v

i T v T v v

x y y

x k

= − +

=

β

Wyniki końcowe są następujące:

α α

β ^tg

v tg gH

gH v

v

_k

2 2 0 2 0

sin 1 2

2 +

= +

=

Zadanie 13

Oznaczając v0 = 20m/s,

α

^{= 45o}, t = 1,2s wykorzystujemy do rozwiązania znane wyraŜenia dla składowych wektora prędkości i wektora połoŜenia jako funkcji czasu t:





−

=

=

gt v

t v

v t v

y x

α α

sin )

(

cos )

(

0 0

oraz







−

=

=

2 0

0

2 sin 1 )

(

cos )

(

gt t

v t y

t v t x

α α

Podano składowe przy standardowym wyborze układu odniesienia: oś X równoległa do powierzchni ziemi, oś Y prostopadła do powierzchni ziemi, początek układu to punkt wyrzucenia kamienia.

Zadanie 14

Piłka tenisowa poruszając się wykonuje rzut poziomy z wysokości h = 2,37m z prędkością początkową v0 = 23,6m/s. Odległość d = 12m piłka przebędzie w czasie .

v0

t= d W tej chwili piłka

będzie na wysokości ² 2 1gt

h− . Jeśli ta wysokość będzie większa od wysokości siatki s, to piłka przejdzie nad nią, stąd otrzymujemy warunek:

2 .

1 ²

0





 + 

≥ v

g d s h