Dyskretna transformata Fouriera zadania na ćwiczenia

Dyskretna transformata Fouriera

zadania na ćwiczenia

Zad. 1. Udowodnij, że jeśli F_N : (y_k) → (Y_n), to a) F_N : (y_−k) → (Y_−n),

b) FN : (yk) → (Yn), c) FN : (y−k) → (Yn).

Zad. 2. Wykaż, że jeśli F_N : (y_k) → (Y_n), to zachodzą własności:

a) (y_k) jest parzysty (nieparzysty) ⇐⇒ (Y_n) jest parzysty (nieparzysty), b) (y_k) jest rzeczywisty ⇐⇒ Y−n = Y_n dla każdego n ∈ Z,

c) (y_k) jest parzystym ciągiem liczb rzeczywistych ⇐⇒ (Y_n) jest parzystym cią- giem liczb rzeczywistych,

d) (y_k) jest nieparzystym ciągiem liczb rzeczywistych ⇐⇒ (Y_n) jest nieparzystym ciągiem liczb czysto urojonych.

Zad. 3. Niech (x_k) i (y_k) będą dwoma zespolonymi ciągami o okresie N i niech (X_k) i (Y_k) oznaczają ich DFT. Udowodnij, że

a) transformata splotu cyklicznego, tzn. ciągu zdefiniowanego wzorem

z_k =

N −1

X

q=0

x_qy_k−q, k ∈ Z,

ma postać

F_N : (z_k) → (Z_n= N X_nY_n), b) transformata iloczynu ciągów (x_k) i (y_k) ma postać

F_N : (p_k = x_ky_k) → (P_n =

N −1

X

q=0

X_qY_n−q).

Zad. 4. Udowodnij, że jeśli F_N : (y_k) → (Y_n), to

N −1

X

k=0

|y_k|² = N

N −1

X

n=0

|Y_n|².

Zad. 5. Wyznacz dyskretną transformatę Fouriera ciągu x_k = k; k = 0, 1, . . . , N − 1.

1