Dyskretna transformata Fouriera
zadania na ćwiczenia
Zad. 1. Udowodnij, że jeśli FN : (yk) → (Yn), to a) FN : (y−k) → (Y−n),
b) FN : (yk) → (Y−n), c) FN : (y−k) → (Yn).
Zad. 2. Wykaż, że jeśli FN : (yk) → (Yn), to zachodzą własności:
a) (yk) jest parzysty (nieparzysty) ⇐⇒ (Yn) jest parzysty (nieparzysty), b) (yk) jest rzeczywisty ⇐⇒ Y−n =Yn dla każdego n ∈ Z.
Zad. 3. Niech (xk) i (yk) będą dwoma zespolonymi ciągami o okresie N i niech (Xk) i (Yk) oznaczają ich DFT. Udowodnij, że
a) transformata splotu cyklicznego, tzn. ciągu zdefiniowanego wzorem
zk =
N −1
X
q=0
xqyk−q, k ∈ Z,
ma postać
FN : (zk) → (Zn= N XnYn), b) transformata iloczynu ciągów (xk) i (yk) ma postać
FN : (pk = xkyk) → (Pn =
N −1
X
q=0
XqYn−q).
Zad. 4. Udowodnij, że jeśli FN : (yk) → (Yn), to
N −1
X
k=0
|yk|2 = N
N −1
X
n=0
|Yn|2.
Zad. 5. Wyznacz dyskretną transformatę Fouriera ciągu xk = k; k = 0, 1, . . . , N − 1.