Dyskretna transformata Fouriera zadania na kolokwium

Dyskretna transformata Fouriera

zadania na kolokwium

Zad. 1. Wyznacz DFT ciągów

1. x_k= sin k, k = 0, 1, . . . , N − 1, 2. xk= e^k, k = 0, 1, . . . , N − 1.

3. x_k= 2k + 3, k = 0, 1, . . . , N − 1.

Zad. 2. Niech (x_k) i (y_k) będą dwoma ciągami zespolonymi okresowymi, o okresie N , spełniającymi warunki:

∀_k∈Z xN −k = xk i yN −k= yk.

Udowodnij, że DFT (X_n) i (Y_n) są rzeczywiste i można je wyznaczyć jako pojedynczą transformatę rzędu N .

Zad. 3. Wykaż, że jeśli FN : (yk) → (Yn), to zachodzą własności:

a) (y_k) jest parzystym ciągiem liczb rzeczywistych ⇐⇒ (Y_n) jest parzystym cią- giem liczb rzeczywistych,

b) (y_k) jest nieparzystym ciągiem liczb rzeczywistych ⇐⇒ (Y_n) jest nieparzystym ciągiem liczb czysto urojonych.

Zad. 4. (2002) Rozważmy dwie dyskretne transformaty Fouriera:

F_N : (y_k) → (Y_n) i F_N : (Y_n) → (z_q).

Wyraź zq jako funkcję yk.

Zad. 5. (2002) Wyznacz dyskretną transformatę Fouriera ciągu x_k = (k + 1)(k + 2), k = 0, 1, . . . , N − 1.